y(1)

Практика цифровой
обработки оптических
сигналов
Учебное пособие
(краткий курс лекций)
Лычагов В.В., Рябухо В.П.
ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет
им. Н.Г. Чернышевского»
Кафедра оптики и биофотоники
Саратов, 2010
Постановка задачи
Лазерная флоуметрия биологических (и не только)
жидкостей
Спектр флуктуаций
фототока,
пропорциональных
изменению
интенсивности на
фотоприемнике
Спектральный анализ, цифровая фильтрация, корреляционный анализ,
статистический анализ…
Интерферометрия (лазерная, низкокогерентная,
спекл-, полного поля, микро-, голографическая и т.д.)
Измерения:
Толщин;
Профиля поверхности;
Деформаций;
Смещений;
Вибраций;
Параметров движения;
Оптических напряжений;
Скрытых дефектов;
…

Цифровая фильтрация, морфологический анализ, корреляционный анализ,
частотно-временные и частотно-пространственные преобразования…
Оптическая когерентная томография
(ОКТ)
Восстановление внутренней оптической 2D и 3-D структуры объекта по одномерным
сечениям
(формирование искусственных изображений)

Цифровая фильтрация, визуализация, частотно-временные и пространственновременные преобразования…
Фурье-спектроскопия

Расчет спектра излучения источника по его функции автокорреляции
посредством Фурье-преобразования
Фурьепреобразование
Фурье-преобразования, цифровая фильтрация…
Спектральный метод ОКТ
Обратное
преобразование
Фурье
Фурье-преобразования, цифровая фильтрация, корреляционный анализ,
морфологический анализ…
Аналого-цифровые
и цифро-аналоговые
преобразования
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Дискретизация по времени: теорема отсчетов
T – период дискретизации;

Fd=1 / T – частота
дискретизации;

Критерий (Теорема) Найквиста
(Шеннона, Котельникова):
Частота дискретизации сигнала
должна быть как минимум в два
раза больше максимальной
частоты, содержащейся в
сигнале

Fd ≥ 2*Fmax
Fn = Fd / 2
Fmax ≤ Fn
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Дискретизация по времени: периодичность спектра
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Дискретизация по времени: наложение спектров


Частота
дискретизации
достаточная,
чтобы адекватно
разрешить все
частоты сигнала
Частота
дискретизации
мала –
происходит
наложение
спектров
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Квантование по уровню: ошибка квантования






x(n) = x(t=nT) – дискретный сигнал
xq(n) – цифровой сигнал
e(n) = x(n) - xq(n) – шум квантования
xq(n) = x(n) + e(n)
T – период дискретизации
Q – шаг квантования
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Квантование по уровню: метод округления

Ошибка метода
округления
-Q/2 ≤ e(n) ≤ Q/2
Среднее значение
ошибки округления
равно 0
Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой
Квантование по уровню: метод усечения

Ошибка метода
усечения
0 ≤ e(n) ≤ Q
Среднее значение
ошибки усечения
равно Q/2
Диапазон входных напряжений АЦП +/-5В
Разрядность АЦП 12 бит
Шаг квантования 2.4мВ
Преобразование сигналов: цифровой – аналоговый
Интерполятор нулевого порядка
Ряд Фурье
Преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Спектральный анализ
Оценка спектра
Преобразование Фурье
Разложение в ряд Фурье
Коэффициенты ряда Фурье


k 1
k 1
x(t )  a0   ak cos( kwt )   bk sin( kwt )
T 2
2
a0 
x(t )dt

T T 2
T 2
2
ak 
xt  coskwt dt

T T 2
T 2
2
bk 
xt sin kwt dt

T T 2
t – здесь - время, но может быть чем
угодно
w – циклическая частота первой
гармоники
T – период изменения сигнала
T = 2p/w
k = 1, 2, 3, 4, …
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
cos(- kwt) = cos(kwt)
sin(- kwt) = - sin(kwt)
Ряд Фурье четной
функции содержит только
косинусоидальные члены:
Ряд Фурье нечетной
функции содержит только
синусоидальные члены:


x(t )  a0   ak cos( kwt )
k 1
x(t )  a0   bk sin( kwt )
k 1
Экспоненциальное представление ряда Фурье
xt  
связь с коэффициентами
действительного ряда Фурье:

jkwt
C
e
 k
k  
T 2
1
 jkwt


Ck 
x
t
e
dt

T T 2
 a k


 a0
Ck  
2
 a k


 jbk 
, k  1,2,...
2
 jbk 
, k  1,2,...
2
амплитудный и фазовый спектр:
C k  C k 
a k2  bk2
2
 bk
argCk    argCk   arctg 
 ak



Спектр
последовательности
прямоугольных
импульсов
 действительная часть
коэффициентов ряда Фурье –
коэффициенты при косинусе
 мнимая часть
коэффициентов ряда Фурье –
коэффициенты при синусе
 амплитудный спектр
сигнала
 спектр мощности сигнала
Разложение непериодических сигналов
Интегральное преобразование Фурье
T 
w  dw
kw  w
Ck  X w 
1
xt  
2p
X w  

jwt


X
w
e
dw



 jwt


x
t
e
dt


Свойства преобразования Фурье

Линейность:
X w   FT xt 
Y w   FT yt 
FT axt   byt   aX w   bY w 

Сдвиг сигнала во времени:
FT xt     e  jw X w 
e  jw X w   X w 
Свойства преобразования Фурье

Подобие:
1 w 
FT xat   X  
a a


Теорема Парсеваля:
 xt 

2
1
dt 
2p

 X w 

2
dw
Дискретное преобразование Фурье
1
Ck 
N
N 1
N 1
x e
i 0
xi   C k e
k, i = 0, 1, 2,…, N-1
x1, x2, x3,…xN-1 – отсчеты дискретного сигнала
2p
j
ki
N
i
2p
j
ki
N
e
k 0
e
j
j
2p
ki
N
2p
 N  k i
N
e
j
e
2p
 k  N i
N
j
2p
  k i
N
Ck  Ck  N
C N  k  C  k  C k
Быстрое Преобразование Фурье
N 1
X k    xi e
j
2p
ki
N
i 0
WN  e
j
2p
N
N 1
X k    xi W N
k = 0, 1, 2,… N-1
x(i), i = 0, 1, 2,... N-1
x1(i) = x(2i), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1
x2(i) = x(2i+1), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1
WN
ki
N 21
N 21
i 0
i 0
2 ki


x
2
i
W

N 
 WN
W Nk  N 2  W Nk
i 0
X k  
k  N i  N 
ki
WN2  WN 2
k  2i 1
k




x
2
i

1
W

X
k

W

N
1
N X 2 k 
N

k
 X 1 k   WN X 2 k , 0  k  2  1,
X k   
 X 1  k  N   WNk X 2  k  N , N  k  N  1.
 
2
2 2

Быстрое преобразование Фурье
Вычисление 8-точечного БПФ
X(0) = X1(0) + W0X2(0); X(4) = X1(0) – W0X2(0); … и так далее
Быстрое преобразование Фурье
Вычисление 8-точечного БПФ
операция
инверсии битов:
i
i2
i2-1
i-1
0
000
000
0
1
001
100
4
2
010
010
2
3
011
110
6
4
100
001
1
5
101
101
5
6
110
011
3
7
111
111
7
Проблемы спектрального анализа
Эффекты конечного размера реализации
Составляющая сигнала на
частоте f? не может быть
представлена в спектре.
Возможный вариант решения
проблемы – использование
дополняющих нулей.

«гребешковое искажение»
Исходная реализация
содержит N точек отсчитанных
через T секунд.
Дополненная реализация –
N+N` точек через те же T
секунд.
f 
1
N  N '1T
Эффекты конечного
размера реализации

Просачивание спектральных
составляющих и размывание спектра.
Выборка данных в течение
некоторого времени эквивалентна
умножению сигнала на функцию
(временное окно)
T

1
,
t

,

2
 t   
0, t  T .

2
спектр которой
(спектральное окно) равен
Wf  T
sin pfT
pfT
Проблемы спектрального анализа
Случайный характер измеряемых величин





Каждой выборке или реализации случайного процесса соответствует
выборочный спектр, так же имеющий случайный характер.
Для детерминированных сигналов выборочный спектр при увеличении
времени измерения сходится к истинному спектру сигнала.
Для случайных сигналов выборочный спектр не сходится к какомулибо предельному значению.
Для случайных сигналов можно говорить только об оценке спектра
Оценка спектра, являясь статистической величиной, может быть
охарактеризована смещением и дисперсией.
Немного статистики

Математическое ожидание величины x(i):
1
E xi   x i  
N

N 1
 xi 
i 0
Дисперсия ряда x(i):

  E xi   x i 
2


2

1

N
N 1
2






x
i

x
i

i 0
Если оценка спектра величина статистическая, то она должна иметь
функцию распределения плотности вероятности
Смещение оценки спектра:
B f   P f   EP f 
– истинный спектр случайного процесса
P f 
EP f  – статистическая оценка этого спектра
Метод периодограмм
x(i), i = 0 ... N-1
– дискретный временной ряд
Ck   DFT xi 
– коэффициенты дискретного
преобразования Фурье



Величина C k  называется периодограммой и представляет собой
оценку спектра мощности E P f  случайного сигнала в дискретном
представлении
Для больших N смещение периодограммы является незначительным и
E P f  сходится к P f
Дисперсия периодограммы не равна 0 и не стремится к нему при
увеличении N
2



 

Модифицированные периодограммы
метод Бартлетта
метод Уэлча

дисперсия оценки
по методу Уэлча
меньше, но
перекрывающиеся
сегменты
коррелируют
между собой.
Взвешивание


узкое временное окно (широкое спектральное окно, малое М) –
дисперсия оценки малая, но большое смещение;
широкое временное окно (узкое спектральное окно, большое М) –
дисперсия увеличивается, но смещение оценки становится малым
Небольшой пример
реализация шумового сигнала...
...он же, растянутый во времени
Небольшой пример
Корреляция и свертка:
функция корреляции,
коэффициент корреляции,
циклическая корреляция,
линейная корреляция,
быстрая корреляция,
импульсная характеристика системы,
теорема о свертке,
обращение свертки...
Корреляция двух рядов конечной длины
Краевой эффект
1
r12 
N
N 1
 x n x n 
n 0
1
2
Функция взаимной корреляции:
1
r12  j  
N
N 1
 x n x n  j 
n 0
1
2
Для сигналов, содержащих мощную
постоянную составляющую:
1
r12  j  
N
N 1
 x n  x x n  j   x 
n 0
1
1
2
2
Нормированная функция корреляции
Коэффициенты корреляции

коэффициент взаимной корреляции
N 1
12  j  

 x nx n  j 
n 0
2
N 1
N 1
n 0
n 0
 x12 n  x22 n

r12  j 
x1
11
r
функция автокорреляции
1
r11  j  
N

1
N 1
 x n x n  j 
n 0
1
1
коэффициент автокорреляции
11  j  
r11  j 
, 11  1
r11 0 
0r 0
x2
11
,
12  1
Циклическая и линейная корреляции
x1 x2 x3 x4
r(j)
x={x1,x2,x3,x4}
y3 y1 y2 y3 x1y3+x2y1+x3y2+x4y3
y={y1,y2,y3}
y1 y2 y3 y1 x1y1+x2y2+x3y3+x4y1
Циклическая корреляция
периодична с периодом,
равным длине более короткой
реализации
y2 y3 y1 y2 x1y2+x2y3+x3y1+x4y2
y3 y1 y2 y3 x1y3+x2y1+x3y2+x4y3
y1 y2 y3 y1 x1y1+x2y2+x3y3+x4y1
Для получения линейной корреляции
последовательности необходимо
дополнить нулями:
x1 x2 x3 x4
x={x1,x2,x3,x4,0,0}
y3
y1 y2 y3
N1 – длина первого вектора
N2 – длина второго вектора
x1y1+x2y2+x3y3
y2 y3
y3 x1y2+x2y3
y2 y3 x1y3
y={y1,y2,y3,0,0,0}
Длина конечного вектора: N1+N2-1
r(j)
y1 y2 y3 x4y1
y1 y2 y3
y1 y2 y3
y1 y2 y3
x3y1+x4y2
x2y1+x3y2+x4y3
x1y1+x2y2+x3y3
Быстрая корреляция

Расчет быстрой корреляции методом БПФ
Теорема о корреляции:


r12  j   DFT 1 X 1 k X 2 k 
Это выражение для циклической корреляции. Для получения линейной
корреляции нужно использовать дополняющие нули.

Расчет быстрой корреляции рекурсивным методом
1
r12 
N
N 1
 x n x n 
n 0
1
2
(новое значение) = (предыдущее значение) +
+1/N(произведение двух новых членов)-1/N(произведение первых двух членов)
Применение корреляции
в обработке одномерных данных

Расчет спектра мощности сигнала. Теорема Винера-Хинчина
P f   DFT r11 

Выделение периодических составляющих из зашумленных сигналов
Свертка. Связь входного сигнала, выходного сигнала и
импульсной характеристики системы
y(0) = h(0)x(0);
y(1) = h(1)x(0) + h(0)x(1);
y(2) = h(2)x(0) + h(1)x(1) + h(0)x(2);
…
y(n) = h(n)x(0) + h(n-1)x(1) + … + h(0)x(n)
n
y n    hn  m xm 
m 0
Графическая интерпретация операции свертки
x(m)
h(m)
x(m)
h(t-m)
x(m)
h(-m)
Свертка во временной и частотной областях
Теорема о свертке
X  f   DFT xn
Y  f   DFT yn
H  f   DFT hn
yn  xn  hn
yn  xnhn
Y  f   X  f H  f 
Y f   X  f  H f 
Свойства свертки

Коммутативность
x1 n  x2 n  x2 n  x1 n

Дистрибутивность
x1 n  x2 n  x3 n  x1 n  x2 n  x1 n  x3 n

Ассоциативность
x1 n   x2 n  x3 n  x1 n  x2 n  x3 n
Обращение свертки
x0 
y0
h0
h0 
Обращение
свертки
xn  
m 1
h0
Идентификация
системы
n 1
n
y n    hm xn  m 
y 0
x0
hn  
, n 1
yn    hmxn  m 
m 0
x0
Круговая и линейная свертка
x0
x1
x2
…
…
…
xN-1
0
N
h0
h1
h2
…
M
…
0
M-1
…
hM-1
0
…
…
N-1
0
, n 1
Вычисление свертки и корреляции методом
сегментации
Литература, которая может понадобиться:

Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального
анализа: Пер. с англ. – М.:Мир, 1983. – 312 с.

Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических
измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. – М.:Мир, 1983. – 568 с.

Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический
подход, 2-е издание: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
– 992 с.

Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. –
М.: Связь, 1979. – 416 с.

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов:
Пер. с англ. – М.:Мир, 1978. – 849 с.

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.: Техносфера,
2005. – 1072 с.

Прэтт Э. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. – М.:Мир, 1982. –
312 с.