История развития математики в Древнем Египте и Индии

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 5.
РЕФЕРАТ
по предмету: «Математика»
на тему: «История развития математики в Древнем Египте и Индии»
Выполнила:
ученица 10 «Л» класса
Томилова Ирина.
Руководитель:
преподаватель математики
Турчина Елена Владимировна.
2011 г.
2
2
Содержание
Введение
3
1. Математика в Древнем Египте
4
1.1. Первые учебники
4
1.2. Методы вычислений
6
1.3. Геометрия страны пирамид
7
1.4. О формуле площади четырехугольника
8
1.5. Как могло появиться первое приближение числа π
1.6. Тайны великой пирамиды
2. Индийская математика
9
10
13
2.1. Алгебра и теория чисел
14
2.2. Геометрия
17
2.3. Тригонометрия
17
2.4. Индийская нумерация
19
2.5. Арифметические действия. Отрицательные и
иррациональные числа
21
Заключение
Список литературы
Приложение 1. Математические источники древних египтян
24
25
26
Приложение 2. Формула нахождения площади четырехугольника
27
Приложение 3. Выведение формулы площади круга
28
Приложение 4. Индийские математики
Приложение 5. Числовые знаки разных народов
Приложение 6. Основной способ умножения индийцев
29
30
31
3
3
Введение
Одна из важнейших задач понимания древнего мира — осмысление
многообразия и уникальности древних культур, отдаленных от нынешних
временем и пространством. Все они, взятые вместе и представляющие
некое цивилизационное целое, своим многообразием и уникальностью в
значительной степени повлияли на формирование и характер современной
цивилизации. Именно в этой роли, своими достижениями, базой для
создания нынешнего математического мира, их культурное единство и
обретает значимость. Трудно себе представить страны с более богатыми
культурными и научными знаниями и опытом, чем Египет и Индия.
Несколько
лет
назад
меня
заинтересовали
два
загадочных
государства – Египет и Индия. Математика – мой любимый школьный
предмет, который увлек меня в свои лабиринты знаний около десяти лет
назад. Работая над рефератом, я хотела бы больше узнать о развитии
математики в этих странах.
Цель реферата заключается в знакомстве с историей математики в
таких восточных странах, как Египет и Индия.
Задачи, которые мне нужно решить для достижения поставленной
цели:
1.
Сбор материала по теме реферата и его обработка.
2.
Обобщение обработанного материала.
3.
Выводы о проделанной работе.
4.
Оформление обобщенного материала.
5.
Подготовка презентации.
Ресурсы, используемые для написания реферата: литературные
источники, Интернет - ресурсы.
Актуальность работы: данную работу можно использовать на уроках
математики для общего развития учеников.
4
4
1. Древний Египет
Самые ранние математические тексты, известные в наши дни,
оставили две великие цивилизации древности – Египет и Месопотамия,
или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи,
решения которых требовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без
расчетов построить здание, будь то величественный дворец или простой
склад для зерна. И как поделить землю между родственниками, прибыль
между торговцами, найти правильный путь в пустыне или в море, если вы
не знакомы с правилами счета?
Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то
ни было внешних влияний, и именно этим объясняется ее самобытность.
Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Древние
греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали
себя учениками египтян. Вот так писал об этом в V в. До н. э. знаменитый
греческий историк Геродот:
«Они [египетские жрецы] говорили, что царь разделил землю между
всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из
этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от
какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к
царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны
были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше,
чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный
установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия,
которая затем из Египта была перенесена в Элладу».
1.1. Первые учебники
Общественное устройство Древнего Египта не менялось в течение
долгого времени. Сохранялись без изменений и научные знания, поэтому
сегодня ученым очень трудно точно определить дату того или иного
5
5
открытия. К тому же источников, по которым можно судить об уровне
математических знаний древних египтян, совсем не много. Назовем самые
известные из них.
Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего
первого владельца (см. приложение 1, рис. 1). Он был найден в 1858 г.,
расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см)
и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна
часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая
находится в Нью-Йорке.
Во-вторых, так называемый Московский папирус – его в декабре
1888 г. Приобрел в Луксоре русский египтолог Владимир Семёнович
Голенищев (см. приложение 1, рис. 2). Сейчас папирус принадлежит
Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина.
Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач.
И наконец, «Кожаный свиток египетской математики», с большим
трудом распрямленный в 1927 г. и во многом проливший свет на
арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее.
Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (XX – XVII вв. до
н. э.). Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и
1600 гг. до н. э. А папирус Райнда переписал писец Ахмес около 1650 г. до
н. э. автор оригинала неизвестен, установлено лишь, что текст создавался
во второй половине XIX в. до н. э. «Кожаный свиток» датируется XIX –
XVIII вв. до н. э.
Подобные
учебниками.
Как
папирусы,
сказано
по-видимому,
в
рукописи
служили
Ахмеса,
своего
она
рода
посвящена
«совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию
их сущности, познанию их тайн». Так высоко ценились в те далекие
времена математические знания! В папирусах есть задачи на вычисление –
6
6
образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел
имущества, на нахождение объема амбар или корзины, площади поля и т.
д. Для кого же предназначались такие учебники?
Папирус Райнда заканчивается такими словами: «Лови гадов,
мышей; выпалывай сорные травы засвежо, получай обильную пряжу.
Проси у бога Ра тепла, ветра и высокой воды». Поэтому некоторые
исследователи решили, что свиток адресован землевладельцам. Однако
многие из содержащихся в нем задач вовсе не нужны крестьянину. В
стране фараонов была особая группа людей, которой требовались
подобные знания, - это писцы. Писец – должность ответственная и весьма
привилегированная. Он обязан был обладать самыми разнообразными
математическими навыками, чтобы без труда разрешить любую задачу.
1.2. Методы вычислений
Все правила счета древних египтян основывались на умении
складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы.
Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой
операции – многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели
такие расчеты довольно громоздко.
Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали
дроби вида 1/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются
аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали»
египетские математики, - это 2/3. Иногда вместо деления m : n
производили умножение m ·
1
𝑛
. Для этого применяли специальные
таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность
египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой
превращались в сложные задачи.
7
7
Сравнительно небольшой круг задач в египетских папирусах
сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным,
например 33-я задача из папируса Райнда: «Некое количество, его 2/3, его
1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 37. Каково это количество?». Ответ
16 2⁄97 записан в аликвотных дробях: 16 +
1
56
+
1
679
+
1
776
.
При решении подобных задач для неизвестного использовали
специальный иероглиф со значением «куча». В задачах про «кучу»,
решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки
об уравнениях.
В
египетских
папирусах
встречаются
также
задачи
на
арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчёркивает
не только практический, но и теоретический характер древней математики.
1.3. Геометрия страны пирамид
Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой
арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии.
Они умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и
трапециевидной формы.
Известно, что в середине I тысячелетия до н. э. для построения
прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12
равных частей. Концы веревки связывали и затем натягивали ее на три
колышка. Если стороны относились как 3 : 4 : 5, то получался
прямоугольный треугольник. И это – единственный прямоугольный
треугольник, который знали в Древнем Египте. В папирусах нет задач, каклибо
связанных
с
теоремой
Пифагора,
хотя
до
расшифровки
математических текстов существовало мнение, что древние египтяне были
с ней знакомы.
8
8
Важным достижением геометрической науки египтян было очень
хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для
площади круга диаметра d:
S = (𝑑 −
1
9
1
𝑑)2 = (1 − )2 𝑑 2.
9
Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует
значение
π = 4(8/9)2 ≈ 3,1605. однако каким образом египтяне получили саму
формулу, из контекста неясно.
В Московском папирусе есть еще одна интересная задача:
вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4
1
». исследователи
2
толкуют ее по-разному, поскольку в тексте не указано, какой формы была
корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа π берется то же
самое приближенное значение 4(8/9)2 . Заметим, что на всём древнем
Востоке при вычислениях использовалось значение π = 3. Даже в Библии
есть указание на него. Так что в этом отношении египтяне намного
опередили другие народы.
Среди пространственных тел самым «египетским» можно считать
пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы
фараонов. Так вот, оказывается, кроме объемов куба, параллелепипеда,
призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объем усеченной
пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а
высота равна h. Они применяли формулу: 𝑉 =
(𝑎2 + 𝑎𝑏+ 𝑏2 )ℎ
3
.
1.4. О формуле площади четырехугольника
В папирусе Райнда приводится такое правило для вычисления
площади
произвольного
четырехугольника:
полусумму
длин
двух
противоположных сторон четырехугольника умножить на полусумму длин
9
9
двух других сторон. Разумеется, оно пояснялось на примере, а не с
помощью формулы, как на рисунке (см. приложение 2).
Но это правило неверно! Даже для параллелограмма оно не дает
истинного
значения
площади.
Ведь
если
изготовить
шарнирный
прямоугольник, а затем сжать его так, чтобы он превратился в
параллелограмм, то длины сторон не изменятся, а площадь уменьшится.
Вообще, для любого четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет место
неравенство 𝑆 ≤
𝑎+𝑐
2
×
𝑏+𝑑
2
. В равенство оно превращается только для
прямоугольника. Иначе говоря, египетское правило справедливо (и то не
точно, а лишь приближенно), когда четырехугольник мало отличается от
прямоугольника. По-видимому, именно такую форму имело большинство
земельных участков египтян, и для них ошибка, заключенная в этом
правиле, была незначительна.
1.5. Как могло появиться первое приближение числа π
Чтобы понять, каким образом древние ученые получили тот или
иной результат, нужно постараться представить себя на их месте, т. е.
попытаться решить поставленную задачу, используя только знания и
приемы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи
старинных текстов, однако решения, которые им удается найти, вовсе не
обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается
несколько возможных вариантов решения – реконструкций. Каждый
вправе отдать предпочтение одному из способов, но никто не может
утверждать, что именно им пользовались в древности.
По
поводу
формулы
площади
круга
нам
кажется
весьма
правдоподобной гипотеза автора многочисленных книг по истории
математики А. Е. Раик: площадь круга диаметра d сравнивается с
площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди
1
1
6
9
удаляются малые квадраты со сторонами 𝑑 и 𝑑 (см. приложение 3).
10
10
В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так. В первом
приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата
со стороной d и суммарной площадью четырех малых квадратов A со
1
1
2
1
8
стороной 𝑑: 𝑆 ≈ 𝑑 2 − 4 ( 𝑑) = 𝑑 2 (1 − ) = 𝑑 2 .
6
6
9
9
Далее из полученной площади нужно вычесть площадь восьми
1
квадратов В со стороной 𝑑, и тогда площадь круга будет приближенно
9
равна следующему выражению:
1 2
1 2
1
1 8
𝑆 ≈ (1 − ) 𝑑 − 8 ( 𝑑) = (1 − ) 𝑑 2 − × 𝑑 2 =
9
9
9
9 9
1
1
1 2
1
= (1 − ) 𝑑 2 − (1 − ) 𝑑 2 = (1 − ) 𝑑 2 .
9
9
9
9
В пользу изложенной здесь гипотезы свидетельствуют аналогичные
вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается
сосчитать
1
1
1
(1 − 9) − 9 (1 − 9).
Эта
формула
считается
высшим
достижением древнеегипетской математики.
1.6. Тайны Великой пирамиды
Еще в X веке историк-араб Масуди утверждал, что пирамиды
являются не только хранилищем всех знаний древних египтян по вопросам
астрономии, искусства и религии, но и содержат в себе «исторические и
пророческие предсказания». В 1865 году Роберт Мензиес высказал
предположение, что, если взять за основу священный дюйм египтян и
измерить
длину
внутренних
покоев
пирамиды,
то
мы
найдем
хронологические даты наиболее важных событий прошлого и будущего.
На основании сделанных в 1948-1949 годах открытий египтологисимволисты считают, что архитектура большинства храмов древнего
Египта содержит в себе целый ряд символов философского, исторического
и в особенности религиозного характера. По их мнению, расположение
фундаментов колоннад и даже надстройки поверхностных сооружений
11
11
этих памятников указывают на эзотерические знания, скрытые от простых
людей. В свою очередь известный астроном, директор Буржской
обсерватории аббат Море посвятил жизнь раскрытию загадок, которые
приносит ученым изучение древнеегипетских храмов и пирамиды Хеопса.
Полученные инженером Давидсоном результаты измерения Великой
пирамиды
оказались
поразительными.
Диагональ
пирамиды
дает
абсолютно точное ее направление по меридиану, причем точность этого
направления на теоретический северный полюс достигает 4 минуты 30
секунд: это точнее, чем Парижская обсерватория. Кроме того, этот
меридиан, проходящий через Хеопсову пирамиду, делит на две равные
части поверхность моря и суши, считая Америку и Тихий океан. Более
того: широта, проходящая через центр пирамиды, делит также на две
равные части весь земной шар, по количеству суши и воды. Таким
образом, за 2500лет до Р.Х. египтяне знали точное соотношение
поверхности всех материков и не случайно выбрали устье Нила для
постройки своих пирамид. При измерении самой пирамиды оказалось, что
периметр пирамиды, разделенный на двойную высоту, дает точное число
π, с точностью до одной стотысячной. Интересно, что священная мера
длины Египта, т.е. пирамидальный дюйм (по странному совпадению
равный современному английскому) есть одна миллиардная часть орбиты
Земли, пройденной ею в 24 часа. Другая линейная мера пирамиды –
локоть, равная 25 дюймам, или 635,66 миллиметра – это одна
десятимиллионная полярного радиуса Земли. Сумма двух диагоналей
пирамиды, выраженных в дюймах, дает число лет, в течение которых
северный полюс нашей земли совершает один полный оборот. Объем
пирамиды, помноженный на удельный вес камня, из которого она сделана,
дает теоретический вес земного шара. Та же мера обнаруживается еще раз
в покоях короля при измерениях «саркофага». Мы находим его объем в
соотношении с объемом земного шара. Этот объем, так сказать, эталон
веса, совпадает в точности с весом одного английского фунта (453,59г).
12
Архаические
единицы
мер
12
англичан
в
точности
соответствуют
«священным» единицам Древнего Египта!
Но если внешние измерения пирамиды дали такие удивительные
результаты, то измерения внутренних покоев пирамиды, сделанные
другими египтологами, оказались не менее неожиданными. Сравнивая эти
данные с текстом крайне загадочной и еще не вполне расшифрованной
«Книги Мертвых» Древнего Египта, египтологи пришли к заключению,
что Хеопсова пирамида является дополнением текстов этой книги и
содержит в своей архитектуре даты исторических событий нашей истории.
Особенно удивительно то, что пирамида дает с большой точностью дату
рождения Иисуса Христа, который в «Книге Мертвых» называется
«Владыкой пирамиды» и «Владыкой смерти и воскресения». Эта дата
получается при измерении уровня покоев королевы, названных «комнатой
второго и нового рождения». Измеряя высоту порога главной галереи, мы
находим дату распятия Христа, с которой – по «Книге Мертвых» начинается эпоха «спасения человечества». Таким образом, главная
галерея символизирует христианскую эру.
Галереи входа в пирамиду дают даты исхода Израиля из Египта и
другие исторические события до Рождества Христова. Главная галерея,
называемая также «Залом Истины», после целого ряда дат, относящихся к
далекому прошлому, дает дату, имеющую большую важность для нашей
эпохи, - 1 августа 1914 года (начало I мировой войны). Затем начинается
опускающаяся часть входа в королевские покои, причем измерение этого
спуска дает 11 ноября 1918 года. Измерения королевских покоев дают нам
соответственно годы 1928, 1936, 1945-й, 19-20 августа 1953-го и, согласно
Дональдсону, - 1955год. Характерно, что королевские покои названы в
«Книге Мертвых» «Покоями суда», «Присутствием Владыки жизни и
смерти» и «Концом всех времен». А все предсказания пирамиды
кончаются на 2000 году.
13
13
Если официальная наука еще не признала эти «совпадения», то всетаки она должна согласиться с тем, что Хеопсова пирамида не есть только
гробница фараона, но является и хранилищем знаний Древнего Египта.
Когда были расшифрованы иероглифы и открыты внутренний коридор
пирамиды вместе с покоями короля и королевы, то ученые засомневались:
возможно ли логически предположить, чтобы фараон построил такой
колоссальный гроб для своей мумии, руководствуясь исключительно
побуждениями тщеславия? Все «совпадения» слишком часто повторяются,
чтобы объяснить их слепой случайностью. Как можно объяснить такую
полноту знаний древних египтян и точность их измерений? Пирамида
хранит загадки, которые вряд ли когда-нибудь будут разгаданы.
2. Индийская математика
Уже в середине III тысячелетия до н. э. в долине реки Инд
существовала развитая цивилизация. Об уровне знаний той далекой эпохи
можно судить по результатам археологических изысканий. Например, при
раскопках были найдены обломок линейки с делениями и древнейший в
мире игральные кости кубической формы. На каждой стороне ямочками
обозначены числа от одного до шести. Торговцы тех далеких времен
пользовались
каменными
гирями
различной
величины.
Археологи
обнаружили большое число предметов правильной геометрической
формы. для построения окружностей индийцы, по-видимому, применяли
инструмент, похожий на современный циркуль.
Многие черты роднят цивилизацию долины Инда с другими
древними культурами – Египтом и государствами Междуречья. Везде
возникали одинаковые проблемы: приходилось делать расчеты при
строительстве дворцов, храмов, жилищ, складов для зерна, военных
укреплений, определять размеры и очертания полей, учитывать количество
материалов и продуктов – словом, решать схожие математические задачи.
14
14
Во II – I тысячелетиях до н. э. появились религиозно-философские
книги – веды («знания»). Один из разделов ведийской культуры назывался
«Шульба-сутра» («Правила веревки»). Этот трактат, составленный в VII –
V вв. до н. э. содержит правила измерений с помощью веревки,
применяемые при строительстве жертвенных алтарей и храмов.
В
первые
века
новой
эры
появились
астрономические
и
математические труды – сиддханты («учения»). Факты, изложенные в
первых сиддхантах, заимствованы у древних греков. Труд «Пулисасиддханта» (жителей Восточной Римской империи часто называли
ромеями). В сиддхантах использованы некоторые греческие термины.
Впрочем, научные связи Индии и Греции существовали еще в античные
времена.
В Средние века работали индийские математики и астрономы
Ариабхата (V – VI вв.) (см. приложение 4, рис.1), Брахмагупта (VII в.),
Магавира (IX в.), Шридхара (IX – X вв.), Бхаскара (XII в.) (см. приложение
4, рис.2), Нилаканта (XV – XVI вв.).
Большинство трактатов индийцев записано на санскрите – языке
науки, который объединял ученых, говоривших на разных наречиях.
Многие труды изложены в стихах, для того чтобы правила можно было
заучивать наизусть. Научные тексты обычно сопровождались подробными
комментариями, где каждое правило тщательно объяснялось.
2.1. Алгебра и теория чисел
Индийские
математики
создали
развитую
алгебраическую
символику. В Индии впервые появились особые знаки для многих
неизвестных величин свободного члена уравнения, степеней, основных
арифметических действий. Большинство символов представляли собой
первые слоги санскритских терминов. Например, неизвестную величину
15
15
индийцы называли «йаваттават» («столько-сколько»), ее обозначали
слогом «йа». Если неизвестных было несколько, то им давали
наименования различных цветов: чёрный – «калака», голубой – «нилака»,
жёлтый – «питака» - и записывали слогами «ка», «ни», «пи» и т. п.
Индийские математики достингли больших успехов в решении
задач, связанных с алгебраическими вычислениями. Ариабхата оставил
задачи,
сводящиеся
к
решению
линейного
уравнения
с
одним
неизвестным. У Магавиры, Бхаскары и других ученых есть задачи,
приводящие
к
системам
линейных
уравнений
с
несколькими
неизвестными. Вот одна из задач Магавиры: «Стоимость 9 лимонов и 7
лесных яблок равна 107; стоимость 7 лимонов и 9 лесных яблок равна 101.
О, математик, быстро назови мне цену лимона и лесного яблока». Задача
приводит к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
9𝑥 + 7𝑦 = 107,
{
7𝑥 + 9𝑦 = 101.
Метод
решения,
изложенный
Магавирой,
не
отличается
от
современного способа решения с помощью уравнивания коэффициентов.
Бхаскара предлагает такую задачу: «Один имеет 300 монет и 6
лошадей; другой имеет 10 таких лошадей, но у него недостает 100 монет.
Оба одинаково богаты. Какова цена лошади?». Условие выражается
уравнением 6x + 300 = 10x – 100. Отсюда Бхаскара находит, что лошадь
стоит 100 монет.
Задачи на квадратные уравнения есть уже в «Шульба-сутре», где
приведены уравнения вида 𝑎𝑥 2 = 𝑏, 𝑎𝑥 2 + 𝑥 = 𝑏. Однако их решения мы
впервые встречаем у Ариабхаты. Это задачи на сложные проценты и на
нахождение
числа
членов
арифметической
прогрессии.
Бхаскара
рассматривал специально подобранные уравнения третьей и четвертой
степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных
преобразований.
16
16
Индийские математики успешно решали неопределенные уравнения,
которые возникали в астрономических задачах. В отличие от Диофанта,
искавшего любые рациональные корни, индийцы дали способ решения
неопределенных уравнений в целых положительных числах. Линейное
уравнение в целых числах с двумя неизвестными ax + b = cy приводит уже
Ариабхата, но более подробно о нем рассказывают в своих сочинениях
Брахмагупта и Бхаскара.
Вершина достижений индийских математиков в теории чисел –
решение в целых положительных числах неопределённого уравнения
второй степени с двумя неизвестными 𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 𝑦 2 , где а – целое число,
не являющееся квадратом. Это уравнение рассматривали Брахмагупта и
бхаскара, который на примерах изложил метод, называемый теперь
циклическим. Позже в Европе с этим уравнением занимались П. Ферма, Л.
Эйлер, Ж. Л. Лагранж. Метод нахождения полного решения, открытый
Лагранжем в 1759 г., близок к индийскому.
Арифметические и геометрические прогрессии занимали видное
место в индийской математике. Некоторые задачи очень известны, к
примеру, задача о награде за изобретение шахмат, которая сводится к
нахождению суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.
Суммирование
математиков.
числовых
Ариабхата
рядов
интересовало
приводит
правила
многих
индийских
суммирования
рядов
треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, а Магавира – правила
суммирования
рядов
квадратов
и
кубов
членов
арифметической
прогрессии.
Большой интерес индийцы проявляли к комбинаторике. Вот,
например, задача Магавиры: «О друг, назови число различных ожерелий,
которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов
и жемчугов». А у Шридхары приводится такая задача: «Повар готовит
различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким,
17
17
вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех
разновидностей».
2.2. Геометрия
Знания и открытия индийских математиков в геометрии скромнее,
чем в арифметике, алгебре и теории чисел. Специальных сочинений по
геометрии в Индии не было, эти сведения сообщались в арифметических
трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.
Геометрические теоремы приводились без доказательств. Обычно
это был только чертеж со словом «смотри». Лишь в редких случаях его
сопровождали краткие пояснения. По-видимому, доказательства учащимся
сообщались устно. В геометрических задачах вопросы чаще всего
сводились к вычислениям и гораздо реже – к построениям.
Самые ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии
содержатся в руководстве по постройке алтарей и храмов – «Шульбасутре». Храмы возводили, подчиняясь ряду правил: здания должны были
иметь в основаниях определённые фигуры и быть сориентированы по
странам света. Для этого требовалось умение строить прямой угол,
квадрат, прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются
целыми числами. Индийцы знали, как построить квадрат, равновеликий
прямоугольнику, и квадрат, площадь которого кратна площади данного
квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема
Пифагора. Бхаскара приводит доказательство этой теоремы в виде чертежа
с надписью «Смотри».
2.3. Тригонометрия
На развитие астрономии в Индии, по-видимому, оказали влияние
труда Птолемея, которые индийцы преобразовали в систему расчетных
правил. Главным их достижением стала замена хорд синусами, что
позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами
18
18
прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено
начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими
соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме
выражаются как
𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1,
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = cos (90° − 𝛼),
sin(𝛼 ± 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 × 𝑐𝑜𝑠𝛽 ± 𝑐𝑜𝑠𝛼 × 𝑠𝑖𝑛𝛽.
Индийцы также знали формулы для кратных углов sin nα, cos nα, где
n = 2, 3, 4, 5.
Тригонометрия необходима для астрономических расчетов, которые
оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурьясиддханте» и у Ариабхаты. Она приведена через 3°45'. Позднее ученые
составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит
таблицу синусов через 1°.
Южноиндийские математики в XVI в. добились больших успехов в
области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они
занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления
более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила
разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном
трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила
разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно
сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII –
XVIII вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел И. Ньютон около 1666 г.,
а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в
1673г.
19
19
2.4. Индийская нумерация
Счет целых чисел в Индии с древних времен носил десятичный
характер.
Санскрит
—
индоевропейский
язык,
родственный
индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные
1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и
субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и
«навадаша», (девять-десять) и «экауна — вимсати» (без одного двадцать).
В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют
названия для 10n до n > 50.
Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры
«карошти», которыми пользовались в Северной Индии со времени
персидского завоевания до III в. н. э. вместе с сирийским письмом. Цифры
карошти были во многом похожи на финикийские: числа записывались
справа налево, знаки для 1 и 10 были весьма близки к финикийским,
имелся знак для 20, представляющий собой соединение двух знаков для 10,
и знак для 100, который, как и в финикийской нумерации, не повторялся, а
справа от него записывалось число сотен. Однако, в отличие от
финикийских цифр, здесь употреблялся специальный знак для 4. Цифры
карошти изображены в четвертом столбце таблицы числовых знаков
разных народов (см. приложение 5).
Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены
цифры «брахми». В пятом столбце той же таблицы изображены цифры
брахми, воспроизводящие надписи в пещере Назик. В отличие от цифр
карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское
письмо. Однако в обеих нумерациях было немало общего. Не говоря уже о
том, что первые цифры в обоих случаях изображали три палочки, а
четвертая — четыре палочки (в случае карошти — в виде креста), общим
было то, что до сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный
принцип,
а
начиная
с
сотен
этот
принцип
соединялся
с
20
мультипликативными:
в
20
нумерации
брахми
последний
принцип
применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.
Следует отметить, что первые три знака в обеих нумерациях
совпадают с китайскими; встречалась в Китае и четверка в виде креста.
Важным отличием цифр брахми от карошти было наличие специальных
знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли
собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с
помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне
и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков.
Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии
десятичной позиционной нумерации.
Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная
система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему
словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При
этом нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица —
предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля;
двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка —
словами «океаны», «стороны света» и т. д.
Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в
котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое
значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в.
Например, число 1021 записывалось словами «Луна — дыра — крылья —
Луна». Одно из названий нуля — «шунья» (пустое) стало впоследствии
основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский
язык, слово «шунья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же
значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было
оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и
21
21
английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово
«цифра», также первоначально означавшее нуль.
На основе цифр брахми выработались современные индийские
цифры
«деванагари»
(божественное
письмо),
применяющиеся
в
десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные
позиционные системы арабов и европейцев. Мы называем изобретенные
индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у
арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику,
основанную на десятичной системе — «индийским счетом» (хисаб алХинд).
2.5.Арифметические действия. Отрицательные и иррациональные
числа.
Если наши геометрические курсы в значительной степени восходят к
греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское
происхождение.
Именно
от
индийской
позиционной
нумерации
происходит наша нумерация. Индийцы первые разработали правила
арифметических действий, основанные на этой нумерации. К основным
арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание,
умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного
и кубического корней.
Вычисления индийцы производили на счетной доске, покрытой
песком или пылью, а то и прямо на земле. Поэтому арифметические
вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа
записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их
писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались.
Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления. Сложение и
вычитание производились как справа налево, т. е. от низших разрядов к
высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.
22
22
Для умножения существовало около десятка способов. При
основном способе умножения операцию можно было начинать как с
низшего, так и с высшего разряда. В процессе умножения цифры
множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры
произведения. Индийцы применяли и более удобные приемы умножения.
Например, расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников,
каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки
записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в
треугольниках и складывали их по диагоналям (см. приложение 6).
При делении делитель подписывался под делимым так, чтобы
первые их цифры находились одна под другой, и из цифр делимого,
написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя,
не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель
передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из
цифр остатка.
Извлечение квадратного корня в Индии, как и в Китае, основано на
разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении
кубического корня) не применялся метод Горнера.
Так как при выполнении арифметических действий приходилось
стирать промежуточные выкладки, проверить непосредственно, верны ли
окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения,
деления,
возведения
в
степень
и
извлечения
корня
индийцы
рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с
помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого
числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа.
Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с
остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у
Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9
23
23
суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел
проба произведения должна быть равна пробе произведения проб
множителей. Равенство проб является только необходимым, но не
достаточным
условием
правильности
действия,
чего
индийцы
не
отмечают.
Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н. э.),
систематически пользовались отрицательными числами и трактовали
положительное число как имущество, а отрицательное — как долг.
Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над
отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность
квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге «Ганита-сарасанграха» («Краткий курс математики») пишет: «Квадрат положительного
или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут
соответственно
положительными
и
отрицательными.
Так
как
отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не
имеет квадратного корня». Последние слова Маг-авиры показывают, что
он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но
пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об
отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с
китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения
мы не имеем. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не
применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы
называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а
отрицательные — «рина» или «кшайа» (долг).
24
24
Заключение
В соответствии с целью реферата мною были изучены исторические
сведения о математической науке Древнего Египта и Индии. Я узнала
много нового и интересного об истории математики в этих странах.
Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность
знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ. Это были
правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение.
И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и
приобретать более абстрактные черты.
В VIII в. учёные стран Ближнего и среднего Востока познакомились
с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на
арабский язык. В середине IX в. среднеазиатский учёный аль-Хорезми
написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские
трактаты
были
переведены
на
латынь,
многие
идеи
индийских
математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.
Для достижения поставленной цели мною были решены следующие
задачи:
1. Изучить литературные источники по проблеме исследования
истории математики в Древнем Египте и Индии.
2. Выявить особенности в развитии математики как науки в
каждой из этих стран.
При работе над рефератом у меня сформировалось собственное
мнение о том, что человечество не может развиваться без знания научного
и культурного прошлого своих предков.
25
25
Список литературы
1. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981.
2. Под ред. Юшкевича А. П. История математики с древнейших времён
до начала XIX столетия. М.: Наука, 1970.
3. Главн. ред. Аксёнова М. Д. Энциклопедия для детей. Т.11. М.:
Аванта+, 2003.
4. www.egypt-portal.com
26
26
Приложение 1.
Математические источники древних египтян.
Рис. 1. Фрагмент папируса Райнда.
Рис. 2. Фрагмент Московского папируса.
27
27
Приложение 2.
Формула нахождения площади четырехугольника.
b
a
𝑺 =
𝒂+𝒄
𝟐
×
𝒃+𝒅
𝟐
c
d
28
28
Приложение 3.
Выведение формулы площади круга.
d
d
29
29
Приложение 4.
Индийские математики.
рис. 1. Ариабхата
рис.2. Бхаскара
30
30
Числовые знаки разных народов [1]
Приложение 5.
31
31
Приложение 6.
Основной способ умножения индийцев.