Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами к решению задач механики сплошных сред Бураго Н.Г.1, Никитин И.С.2 1Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН 2Институт автоматизации проектирования РАН 5-июля-2014, Суздаль, Россия Типы адаптации сетки 1) Описание границ областей сложной переменной формы 2) Минимизация ошибок аппроксимации ( min |hdy/dx| ) Уравнения нелинейной термоупругости для генерации адаптивных сеток x x(x, t ) : min (ε, T)dV x xV x* (x, t ) V ε 0.5(F ×F - I) T ε 0 0 F x T T || y || ε 0 0 Бураго Н.Г., Иваненко С.А. Применение уравнений теории упругости к построению адаптивных сеток // Труды Всеросс. Конф. по прикладной геометрии, построению сеток и высокопроизводительным вычислениям, М.: ВЦ РАН, 2004, 28 июня- 1 июля. С. 107-118 Изотропная термо-упругая среда: ~ ~ ~ ~ min [K[( I3 1) / 2 I1 T] 2I 2 ]J* dV ~ V x ~xV~ x* ( ~ x , t) I1 ~ :I 0.5 I 2 ~ ': ~ ' ' ( : I)I / 3 ~T ~ 2 I3 det( F : F) J ~ J det( F) J* max( J,10 4) Управление отображением ~ ~ ~ ~ min [K[( I3 1) / 2 I1 T] 2I 2 ]J* dV ~ V Формоизменение: 0 Сжимаемость: K0 Эффект «температурного расширения» ~ T || y || Метод расчета адаптивных сеток [ M x x ( L : x ) : x f J ] d V 0 t V f J (1 ) (...) 0.5 x ~xV~ x* (~ x, t ) Алгоритм: явная двухслойная схема установления с масштабированием, уравнивающим вклады от L и J Подробности: ipmnet.ru/~burago Уравнения для задач механики жидкости и газа ( u ) art dV 0 t V u t (u u pI) g u v : udV ( v n) udS V S E t ((E p)u) r T q : TdV q nTdS V S σ v 2v (e (e : I)I / 3) art ( u) q kT T art ( E ) p ( 1)U E U u u / 2 e 0.5( u ( u)T ) Упрощенная явная схема SUPG FEM1 (Схема уравновешивающей вязкости) если n 1k n 2k d d (k ) art kn иначе M (d ) [ ( u ) k d ] n 2 1k n l 1 n 0 2 kl M (d ) [ k kl ] n 2 2k n l 1 2 | u | /c 1 u 0 то kn 0.5 kn 1.0 M k d kl0 J ( k ,l ) l 1 , ux , u y , uz , E M k kl J ( k ,l ) l 1 1Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline Upwind Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 32. (1982) pp. 199-259. (Искусственная диффузия “уравновешивает” конвекцию) Коррекция физической вязкости по А.А.Самарскому (“экспоненциальная подгонка”) ~ ~ ~ ~ q k T T σ v 2 v (e (e : I)I / 3) ~ / v / v art v / 1 art ~ kT / kT / art kT / 1 art Условие устойчивости (Курант-Фридрихс-Леви) h nk t min n k 1, N 2 (c | u n | (D 1)! n / h n k k k k n Резюме численного метода. Формулировка Галеркина. Симплекс-элементы. Адаптивная подвижная сетка. Все неизвестные в узлах. МКЭ аналог центрально-разностных схем. Явная схема (сжимаемая среда): “Уравновешивающая” конвекцию искусственная вязкость. Экспоненциальная подгонка физической вязкости. Неявная схема (несжимаемая среда): Метод штрафа или метод коррекции давления Явная схема для конвекции & неявная схема для диффузии. Адаптация: отдельный этап на каждом шаге по времени Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 0; 0.5; Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 1.0; 2.0; Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 3.0; 4.0; Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 4.0; Изолинии плотности; Адаптация по дивергенции скорости Адаптивные сетки для сверхзвуковых течений в каналах с препятствиями Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости 1. Термогравитационная конвекция вязкой несжимаемой жидкости Gr=1O7. Квазистационарное течение. Адаптация по градиенту завихренности. 2. Нестационарное течение Дорожка Кармана Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости Течения расплава в процессах роста кристаллов Адаптивная сетка для штамповки лопатки турбины. K T0 поддержание равномерного распределения узлов Подвижные адаптивные сетки в задаче Стефана о намерзании льда на холодную стенку Сквозной счет межфазной границы по А.А.Самарскому Наложенные сетки – зачем они? Примеры расчета сверхзвукового обтекания тел Сетка с вырезом Наложенные сетки Метод наложенных сеток (Overlapping or Chimera grids) Основная окаймляющая сетка + Наложенные сетки Расчет проводится шагами по явной схеме или итерациями по неявной схеме отдельно на основной сетке и на наложенных сетках, при этом после каждого шага (итерации) с помощью интерполяции проводится обмен расчетными данными между сетками в зоне наложения. Упрощенный метод наложенных сеток Цель: простое решение проблемы сложной геометрии Основная окаймляющая сетка + Наложенные сетки Наложенные сетки используются только для приближенного задания границ и граничных условий на основной сетке ========================== Вместо наложенных сеток можно использовать наложенные области, определяемые набором условий Фрагмент области решения около наложенной сетки поле скоростей (t=0) Фрагмент области решения около наложенной сетки поле скоростей (t=0.1) Фрагмент области решения около наложенной сетки поле скоростей (t=0.2) Фрагмент области решения около наложенной сетки поле скоростей (t=0.3) Фрагмент области решения около наложенной сетки изолинии вертикальной скорости Фрагмент области решения около наложенной сетки изолинии вертикальной скорости (t=0.1) Фрагмент области решения около наложенной сетки изолинии вертикальной скорости (t=0.2) Фрагмент области решения около наложенной сетки изолинии вертикальной скорости (t=0.3) Фрагмент области решения изолинии местного числа Маха (t=0.45) Полная область решения изолинии местного числа Маха (t=0.45) Полная область решения изолинии местного числа Маха (t=7.00) Полная область решения Основные искомые функции (t=7.0) Зонтик и капли дождя (непрерывные маркеры) t C u C 0 С=0 – пусто, С=1 - вода Диффузия границ и нарушения консервативности в методах непрерывных маркеров Консервативная антидиффузия маркерфункции на свободных границах Метод непрерывных маркеров Задачи о падении капли в бассейн о стекании воды через дыру об обрушении водяной колонны Генерация и уничтожение дискретных маркеров Интерполяция на свободных границах Метод дискретного маркера для задач о падении водяных струй в водоем и о фонтане (обрушение вертикальной струи) Дискретные маркеры Фонтан и лужа. Падение струй в бассейн Задачи соударения упругопластических тел Разрушение и спекание Развитие трещины отрыва при растяжении образца Спекание порошкового композита Течения мелкой воды Уединенная волна в бассейне с углублением Приливная волна в Онежском заливе Белого моря Распространение дыма по комнате от горящей свечи Перенос загрязнений подземным фильтрационным потоком Выводы • • • • • • Адаптивные сетки позволяют получать численные решения повышенной точности при малом числе узлов. Уравнения нелинейной термоупругости пригодны и удобны для управления адаптацией сетки. Коррекция решения по методу адаптивных и наложенных сеток оформляется в виде отдельной подпрограммы Наложенные области можно задать аналитически набором условий. Преимущества: повышенная точность решений, простота задания геометрии, простые робастные алгоритмы сквозного счета с простой логикой. Недостатки: сетки должны обеспечивать хорошее разрешение, то есть иметь большую размерность. Копия данной презентации и публикаций по теме доступны на сайте http://www.ipmnet.ru/~burago Конец