Простейшее доказательство

Теорема Пифагора
Простейшее доказательство
Простейший случай равнобедренный прямоугольный
треугольник. В самом деле,
достаточно просто
посмотреть на мозаику,
чтобы убедиться в
справедливости теоремы.
Доказательство Эйнштейна
в
Преимуществом
доказательства
является то, что здесь
качестве составных
частей
разложения
фигурируют
исключительно
треугольники.
Доказательство 9 века н.э.
На рисунке квадраты,
построенные на катетах,
размещены ступенями один
рядом с другим. Эту фигуру
индусы называли "стулом
невесты". Способ
построения квадрата со
стороной, равной
гипотенузе, ясен из чертежа.
Доказательство, основанное на
теории подобия.
В прямоугольном треугольника АВС проведем
из вершины прямого угла высоту CD; тогда
треугольник разобьется на два треугольника,
также являющихся
прямоугольными. Полученные треугольники
будут подобны друг другу и
исходному
треугольнику.
Луночки Гиппократа
Опишем две полуокружности на
катетах так, как указано на рисунке,
тогда получатся две луночки. Площадь
полукруга с диаметром С равна сумме
площадей двух
других полукругов, с
диаметрами a и b. Если
отнять незаштрихованные
части, то сумма площадей
луночек равна площади
треугольника.
Метод достроения.
К квадратам,
построенным на
катетах, и к квадрату,
построенному на
гипотенузе,
присоединяют
равные фигуры
таким образом,
чтобы получились
равновеликие
фигуры.
Второй метод достроения
Пифагорова фигура
достроена до
прямоугольника,
стороны которого
параллельны
соответствующим
сторонам квадратов,
построенных на
катетах.
Доказательство
Нассир-эдДинома (1594 г.).
Доказательство Гофмана
Четырехугольники ADFB и ACBE равновелики,
треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем
от обоих
равновеликих
четырехугольников
общий для них
треугольник ABC,
получим теорему
Пифагора
Доказательство Гарфилда
Три прямоугольных
треугольника составляют
трапецию. Поэтому площадь
этой фигуры
можно находить
по формуле площади
прямоугольной
трапеции, либо как сумму
площадей
трех треугольников. В первом
случае эта площадь
равна 0,5(а+в)(а+в),
во втором ав+0,5с².
Приравнивая
эти выражения,
получаем теорему
Пифагора.
Алгебраическое
доказательство индийского
математика Бхаскари
Рисунок
сопровождало лишь
одно слово: СМОТРИ!
Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора,
учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”,
составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все
стороны равны”, рисовали карикатуры.
Шаржи из учебника XVI века
Ученический шарж XIX
века
Другие доказательства
(около 500)
Теорема, обратная теореме
Пифагора
Если квадрат одной стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный.
62+6242
32+42=52
Пифагоровы треугольники прямоугольные треугольники, у которых
длины сторон выражаются целыми
числами
6
12
3
4
Египетский треугольник –
треугольник со сторонами 3, 4 и
5
4
3
5
Решение задач
1 уровень
2 уровень
3 уровень
В
С
А
15
9
А
D
?
?
?
?
D
АВ:BC=3:4
ВD=25
4
30ْ
С
?
В
Повторяем формулы
 теорема
Пифагора:
 площадь
прямоугольного
треугольника:
 диагональ
квадрата со
стороной а:
 катет, лежащий
против угла в 30:
 площадь
трапеции:
c a b
2
2
2
1
S  ab  hc c
2
1
2
d a 2
1
a c
2
ab
S
h
2
•высота
прямоугольного
треугольника,
проведенная к
гипотенузе:
•медиана, проведенная
к гипотенузе:
•катет
равнобедренного
треугольника с
гипотенузой с:
ab
hс 
c
c
mc 
2
ab
c
2
Решение задач
 №498, 499(а), 493,
Домашняя работа
 П.55 учить, №489, 494, 499(б)