 ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

ОКРУЖНОСТЬ
И

КРУГ
Выполнила: Алиса Загудаева, 6 «б»
Что такое окружность?
Окружностью называется фигура, состоящая из всех
точек плоскости, находящихся от данной точки на
данном
расстоянии.
Данная
точка
называется
центром
окружности,
а
отрезок,
соединяющий центр с какой-либо точкой окружности,
— радиусом окружности.
Элементы окружности и их
свойства
 Часть плоскости, ограниченная окружностью
называется кругом.
 Круговым сектором или просто сектором называется
часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами,
соединяющими концы дуги с центром круга.
 Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и
стягивающей ее хордой.
Элементы окружности и их свойства
КАСАТЕЛЬНАЯ

 Касательная
 Прямая, имеющая с только одну общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая
точка называется точкой касания прямой и
окружности.
Элементы окружности и их свойства
КАСАТЕЛЬНАЯ

 Свойства касательной
 Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,
проведенному в точку касания.
 Отрезки касательных к окружности, проведенных из
одной точки, равны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
Элементы окружности и их свойства
ХОРДА

 Хорда
 Отрезок, соединяющий две точки окружности,
называется ее хордой (а.). Хорда, проходящая через
центр окружности, называется диаметром (б.).
 а.
б.
Элементы окружности и их свойства
ХОРДА

 Свойства хорд
 Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит
эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и
обратная теорема: если диаметр (радиус) делит
пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
 Дуги, заключенные между параллельными хордами,
равны.
Элементы окружности и их свойства
ХОРДА

 Свойства хорд
 Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в
точке M, то произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды: AM•MB =
CM•MD
Свойства окружности

 Прямая может не иметь с окружностью общих точек;
иметь с окружностью одну общую точку
(касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести окружность, и притом только одну.
 Точка касания двух окружностей лежит на линии,
соединяющей их центры.
Углы в окружности

 Центральным углом в окружности называется
плоский угол с вершиной в ее центре.
 Угол, вершина которого лежит на окружности, а
стороны пересекают эту окружность,
называется вписанным углом.
Дуги окружности

 Любые две точки окружности делят ее на две части.
Каждая из этих частей называется дугой окружности.
Мерой дуги может служить мера соответствующего ей
центрального угла.
 Дуга называется полуокружностью, если отрезок,
соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с
окружностью

 Вписанный угол либо равен половине
соответствующего ему центрального угла, либо
дополняет половину этого угла до 180°.
Свойства углов, связанных с
окружностью

 Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся
на одну и ту же дугу, равны.
 Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Свойства углов, связанных с
окружностью

 Угол, образованный касательной к окружности
и секущей, проведенной через точку касания, равен
половине дуги, заключенной между его сторонами
Длины и площади

 Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
C=2
R.
 Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
S = R2.
 Длина дуги окружности L радиуса R с центральным
углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:
L=R .
 Площадь S сектора радиуса R с центральным углом
в радиан вычисляется по формуле:
S=
R2 .
В процессе измерений заметили, что между длиной окружности и длиной её
диаметра имеется определённая зависимость
Отношение С:d одинаково для любой окружности.
Его стали обозначать греческой буквой π – первая буква греческого слова
«периферия» – круг (περιφέρεια )
Предметы
Длина окружности
С
Диаметр d
Отношение
С:d
Стакан
22 см
7 см
3.1428
Ведро
82 см
26 см
3.1538
Тарелка
62 см
19,5 см
3,1794
Кастрюля
69 см
22 см
3.1363
Бидон
52 см
16,5 см
3,1515
С помощью геометрических построений установили границы числа π:
3‹π‹4
Происхождение (этимология) слова
«круг»

 Круг - общеслав., родственно др.-в.нем. hring (нем. Ring, англ. ring) «круг, обруч, кольцо».
Суф. производное (суф. -g-) от*kren- «крутить,
вертеть», образованного в свою очередь от *kre — тж.,
содержащегося в кривой, кряж, крендель.
Исходное*krongъ > круг после изменения
носового о (< on) в у и отпадения конечого слабого
редуцированного ъ.
Использование окружности и круга

 Древние греки считали «круг» и «окружность» венцом
совершенства. В каждой своей точке окружность
устроена одинаковым образом, что позволяет ей
двигаться самой по себе. Это свойство окружности
стало толчком к возникновению колеса.
Окружности и круги «окружили»
нас:










в космосе
в природе
в технике
в ювелирных изделиях
в бытовых предметах
в орнаментах
в архитектуре, живописи и скульптуре
в кулинарии
в философии
Архитектура и скульптура

 Архитектура и скульптура
 Розетка (фр. нем. Rosette - розетка, розочка, бант,
лат. Rosa) - архитектурно-декоративная деталь в виде
цветка, лепестки которго расположены по принципу
радиальной симметрии.
Розетка как элемент орнамента появилась ещё в
античности; в аритектуре классицизма и ампира розетками
декорировались кессоны ( фр. caisson - ящик, углубление
квадратной или 8-угольной формы на потолке, внутренней
поверхности арки, свода).
Архитектура и скульптура

 Розетка.
Архитектура и скульптура

 Трилистник ( трифолий, трефолий) – декоративный
элемент искусства готики, строится на основе окружности
и вписанных в ней треугольников.
-оконный проём, орнаментальное обрамление, деталь
резьбы или росписи в виде стилизованного трёхлопастного
цветка.
-симметричная фигура, ограниченная тремя одинаковыми
окружностями, центры которых расположены в вершинах
равностороннего треугольника.
Архитектура и скульптура

 Трилистник.
Окружность и круг присутствуют в очень многих предметах,
которыми мы пользуемся, и которые мы видим ежедневно –
чашки, стаканы, кастрюли, люстры, цветочные горшки, тарелки,
колпачки ручек, дверные ручки, колеса велосипеда, горлышко
бутылки, ювелирные украшения, обручи и ещё очень-очень
много других предметов и элементов, перечислить которые
невозможно.
Природа использует окружность и круг повсеместно – камни,
фрукты, деревья и многое другое.
Знания об окружности и круге используются нами во всех
сферах и областях – различное производство, технологии,
шитье, биология, строительство, кулинария и многое другое.
Посуда.
Любимое лакомство.
Ювелирные украшения
Овощи и фрукты природа
создала тоже круглыми.
Дорожные знаки
Очки
Мебель
Какое значение окружность и круг имеют в науках
Предмет
Использование
Физика и астрономия
Движение небесных тел происходит по круговым орбитам. Зодиакальный круг
,астрономический круг.
Круг с точкой в центре символизирует солнце.
География
Меридианы и параллели ,определяющие положение тела на земном шаре , экватор.
Круговые процессы-циклы : круговорот воды и веществ в природе.
Смена времен года , смена дня и ночи.
Химия
Строение атома : ядро круглое , электроны вращаются вокруг ядра по круговым орбитам.
Биология
У всех клеток есть круглое ядро.
Круглую форму имеют клетки крови, цилиндрическую – клетки многих желез.
Стебли растений и стволы деревьев , кости человека- круглые.
Кровообращение идет по кругу.
Овощи и фрукты имеют шарообразную или конусовидную форму .
Цикличность развития живых существ.
Русский язык
В русском языке слово «круглый» означает высокую степень чего-либо: «круглый
отличник», «круглый сирота» и даже «круглый дурак».
От слова круг образовано множество различных слов: круглый, кругленький, округлить,
округлиться, округлый, кругом , вокруг, окружать, кружить и многое другое.
Округлые формы, круглое лицо, кругленькие щёки, круглый год, голова идет кругом ,
ходить по кругу - часто употребляемые выражения.
История и
обществознание
«Круглый стол»-конференции , кругооборот капитала, круг семьи , колесо истории,
«большой и малый круг истории»-исторические циклы.
Круг как символ

 КРУГ (греч. kyklos, лат. circus, cinctum) — древнейший
изобразительный символ, связанный с солярными и
астральными знаками, изображениями
Вселенной, Солнца и Луны . Отсюда универсальное
значение формы круга как символа мировой гармонии.
 Согласно суждениям философов платоновской и неоплатоновской
школ, круг является самой совершенной формой.
 Египетский символ вечности представляет собой шнур,
завязанный узлом так, чтобы получилось круглое кольцо, античный
же — змею, кусающую свой хвост (Уроборос, Uroboros). Когда чтото бросают в воду, на поверхности возникают концентрические
круги; на больших камнях, закрывающих доисторические
захоронения, часто встречаются подобные вырезанные изображения.
Круг как символ

 В дзен-буддизме круг означает просветление, озарение, совершенство
человека в единстве с первоначальным принципом.
 В китайском символе инь — ян двойственность заключена в круг
(Тай-чи в первоначальном объединении).
 В Средние века господствовало представление о картине мира как о
расположенных друг в друге чашеобразных космических сферах в
круговой проекции (что и было поэтически представлено в
«Божественной комедии» Данте в форме кругов рая и ада), иерархии
ангелов как стражей сфер обеспечивали этот большой порядок. В
качестве символа Святой Троицы часто использовались три
проникающие друг в друга круга.
Круг как символ

 Круг с точкой посередине в традиционной астрономии является
символическим знаком Солнца, в алхимии — аналогичного ему
металла —золота, у розенкрейцеров — императорской власти,
которая в центре несет творческое начало, дающее смысл всему
окружению.
 В магических учениях круг имеет функцию защиты от злых духов.
Во время церемоний с заклинаниями маг чертит вокруг себя круг,
который нельзя переступать.