ВОЗМОЖНОСТИ МЕТОДА КРАМЕРА

«В основе большинства математических
открытий лежит какая-либо простая идея,
…нужно только надлежащим образом
применить эту простую идею к решению
задачи, которая с первого взгляда кажется
недоступной»
А.Н. Колмогоров
ВОЗМОЖНОСТИ
МЕТОДА КРАМЕРА
Исследовательская работа
Автор: Румянцева Дарья,
ученица 9 класса
Руководитель: Смирнова Н. В.,
учитель математики
Гимназии № 8 им. Л.М. Марасиновой
Возможности метода Крамера
Исследовательская проблема:
что представляет собой метод
Крамера решения систем линейных
уравнений,
 почему его не изучают в курсе
алгебры основной школы,
 при каких условиях будет
эффективно его применение;
 возможно ли применить данный
метод при решении задач из других
наук.

Возможности метода Крамера
Цель работы:
изучить метод Крамера решения
систем линейных уравнений;
 исследовать прикладные
возможности метода Крамера;
 исследовать условия эффективности
применения метода Крамера.

Возможности метода Крамера
Предмет исследования:
 Метод Крамера – метод решения
систем линейных уравнений и их
исследования на число возможных
решений
Объект исследования:
 задачи, решаемые методом Крамера и
условия эффективности применения
данного метода
Возможности метода Крамера
Гипотеза исследования:
Метод Крамера является наиболее
оптимальным и эффективным методом
решения задачи (этапа решения задачи)

если он предполагает некий алгоритм
несложных вычислительных операций;

ускоряет процесс решения по
сравнению с применением других
методов
Возможности метода Крамера
Задачи исследования:
 Обобщить теоретические знания и практические
умения решать системы линейных уравнений;
 Познакомиться с матричным способом записи систем
линейных уравнений – как наиболее экономичным;
 Познакомиться с понятием «определитель» и
научиться вычислять значения определителей 2-го, 3го порядка;
 Изучить метод Крамера для решения систем
линейных уравнений;
 Определить условия оптимальности применения
метода Крамера;
 Применить алгоритм исследования (метод Крамера)
при решении и конструировании различных
алгебраических задач;
 Показать возможности метода Крамера при решении
задач других наук;
Возможности метода Крамера
Понятие
матрицы
a11 x1  a12 x2  ...a1n xn  b1 ,

a21 x1  a22 x2  ...a2 n xn  b2
a x  a x  a x  b
m2 2
mn n
n
 m1 1
Возможности метода Крамера
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
МАТРИЦЫ
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −
a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Возможности метода Крамера
МЕТОД КРАМЕРА
Возможности метода Крамера
МЕТОД КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ
УРАВНЕНИЙ
a11x  a12 y  c1 ,

a12 x  a22 y  c2
c1a 21
a12c
Ax 
c1 a12
Ay 
a11 c1
c2 a22
a 21 c2
 c1a22  a12 c2
 a11c2  c1a 21
c2 a22
a21c2
x
,y 
a11a12
a11a12
a21a22
a21a22
c1b2  b1c2
a1c2  c1a2
x
,y 
a1b2  b1a2
a1b2 b1 a2
Возможности метода Крамера
Теорема Крамера


Если определитель матрицы системы отличен от нуля,
то система имеет единственное решение, которое
находится по формулам:
y
x
x
,y 


Учитывая, что
x

c1b2  b1c2
ac ca
,y  1 2 1 2
a1b2  b1a2
a1b2 b1 a2
Несложно получить условия, определяющие число решений
системы линейных уравнений
Δ
Δх
Δу
Число решений
0
0
0
Бесконечное множество
0
≠0
≠0
Нет решений
≠0
любое
любое
Единственное решение
Возможности метода Крамера
Задачи из сборника для проведения письменного
экзамена по математике в 9 кл углубленного уровня
Решить систему уравнений:
2 x  5 y  21,

3 x  4 y  3

2 5
 8  15  23
3 4
x 
 21  5
 84  15  69
3
4
2  21
y
 6  63  66
3
3
 69
66
20
x
 3, y 
2
23
23
23
Исследовать при каких значениях k
значение переменной х больше, чем значение
переменной у
2 x  5 y  k ,

3 x  4 y  3

2 5
 8  15  23
3 4
x 
k
3
2
y
3
5
 4k  15
4
k
 6  3k
3
x
4k  15
6  3k
,y
23
23
Значения переменных – есть значения выражений
(дробей с одинаковым знаменателем), значит, чтобы
выполнялось неравенство х >у, должно выполняться
неравенство 4k+15>6-3k, k>- 9
7
Ответ: при k>- 9
7
Возможности метода Крамера
Задачи из сборника для проведения письменного
экзамена по математике в 9 кл. углубленного уровня:
•
10 задач из сборника: Все задачи однотипны, легкорешаемые любым методом.
Метод Крамера позволяет избежать лишних записей
•
7 задач, сконструированных самостоятельно. Отражают возможности
метода Крамера, демонстрируют его эффективность при решении исследовательских
задач.
исследовать систему на возможное
число решений в зависимости от
параметра k
Исследовать при каких значениях k
значение переменной х больше, чем
значение переменной у
Исследовать, при каких значениях k
Система имеет единственное решение
Исследовать при каких значениях k
значение переменной х равно значению
переменной у
Исследовать, при каких значениях k
система не имеет решений
Исследовать при каких значениях k
Система имеет единственное решение,
причем значение переменных х и у
неотрицательно,
При каких значениях k система имеет
бесконечное множество решений
Возможности метода Крамера
Задачи из сборника тренировочных заданий для
проведения ЕГЭ в 11 классах. ЕГЭ-2005, С-2
Решить неравенство
2x  3 y  2  x  2 y  8  0
2x  3y  2  x  2 y  8  0
 2 x  3 y  2  0,
2 x  3 y  2,



x

2
y

8

0

x  2 y  8
2 3

 43 7
1 2
x 
y 
x
2 3
8
2
2 2
1
8
28
 4;
7
4  24  28
 16  2  14
Задача №2
неравенство
14
2
7
ax  3 y  2  x  2 y  8  0
имеет ровно одно решение?
Система имеет единственное решение если Δ≠0
ax  3e  2 
x  2у 8  0

аx  3 y  2,
 аx  3 y  2  0,



x

2
y

8

0

x  2 y  8

ax  3 y  2,

x  2 у  8
a 3

 2a  3
1
2
2a  3  0
y
При каких значениях параметра а
2a  3
a
3
2
Ответ: При
3
неравенство 2
a
имеет ровно одно
решение?
Возможности метода Крамера
•
Задачи из сборника тренировочных заданий для
проведения ЕГЭ в 11 классах. ЕГЭ-2005, С-2
3 задачи из сборника: Иррациональные неравенства и неравенства с модулями,
решение которых основано на аргументированном переходе к решению линейных систем,
легкорешаемых любым методом. Метод Крамера позволяет избежать лишних записей
•
3 задачи, сконструированные самостоятельно. Отражают возможности
метода Крамера, демонстрируют его эффективность при решении исследовательских
задач.
При каких значениях параметра a неравенство
ax  3 y  2  x  2 y  8  0
имеет бесконечное множество решений?
При каких значениях параметра a
неравенство
аx  y  4  x  аy  4  0
При каких значениях параметра a неравенство
ax  3 y  2  x  2 y  8  0
имеет единственное решение?
имеет единственное решение?
Возможности метода Крамера
Задачи из сборников заданий по химии
Задача из теста международной игры «Кенгуру –
выпускникам»- 2007
Задачи из сборников заданий для ЗМШ
геометрического и алгебраического содержания
Возможности метода Крамера
Задачи из сборника тренировочных заданий для
проведения ЕГЭ по физике в 11 классах
Через неподвижный блок переброшена нерастяжимая нить. На концах
этой нити подвешены грузы равных масс М. На один из грузов поставили
дополнительный груз массой m. Определить ускорение движения грузов,
силу натяжения нити, силу давления груза m на груз М. Массой блока и
нити можно пренебречь. Решение задачи
1*Т – Ма +0*Р=Мg,
сводится к решению системы уравнений:
1 М
1
0
Mg
Mg
mg
М
m
1*Т + Ма -1*Р = Мg ,
0*Т + mа +1* Р = mg
0
1
1
М
0
М
m
1
1
= 2М +m
= 2Мmg + 2
2 Mg (m  M )
Т
2M  m
M2 g
1 Mg
1 Mg
0
1
0 mg
1
1 М
= mg
mg
а
2M  m
1
0
М
m
Mg
Mg
mg
=2 Mmg
2 Mmg
Р
2M  m
Возможности метода Крамера
ВЫВОД: Метод Крамера эффективно применять при:



Решении линейных систем 2-го и 3-го порядка;
Исследовании линейных систем в
соответствии с определенными условиями;
Решении линейных систем в общем виде
Практическая значимость работы
 Освоен еще один метод решения систем
линейных уравнений;
 Продемонстрированы практические
возможности метода при решении задач по
геометрии, химии, физике, алгебре;
 Представлены задачи самостоятельного
конструирования.
Возможности метода Крамера
 х   у  ,
х  у  
Δ
Δх
Δу
Число решений
0
0
0
Бесконечное множество
0
≠0
≠0
Нет решений
≠0
любое
любое
Единственное решение