Движения

Движения


Осевая симметрия
Зеркальная симметрия
 Фигура
называется симметричной
относительно прямой а,
если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка
относительно
прямой а также принадлежит этой
фигуре.
Прямая а называется осью
симметрии фигуры
Осевая симметрия
Осевой симметрией с осью а
называется такое отображение
пространства на себя, при
котором любая точка М
переходит в симметричную ей
точку М1 относительно оси а.
Докажем, что осевая симметрия
является движением.
 Введём прямоугольную систему
координат 0xyz так, чтобы ось 0z
совпала с осью симметрии, и
установим связь между
координатами точек M (x; y; z) и
M1(x 1; y 1; z 1), симметричных
относительно оси 0z.
Если точка М не лежит на оси 0z, то
есть 0z:
1) проходит через середину отрезка
ММ1.
По формулам координат середины
отрезка:
x+x1
y+y1
=0
=0
2
2
Откуда х1=x, y1=y
2) Если 0z перпендикулярна
к отрезку ММ1(т.к. точка
М не лежит на оси 0z) это
означает, что аппликаты
точек М и М1 равны:
z1=z
x1= -x
y1= -y
z1 = -z
верно в том
случае, когда
точка М лежит
на оси 0z
Рассмотрим теперь любые
две точки
A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) и
докажем, что расстояние
между
симметричными им точками
А 1 и В1
равно АВ.
Точки А1 и В1 имеют координаты
A1(-x1; -y1; -z1) и B1(-x2; -y2; -z2).
По формуле расстояния между
двумя точками находим:
2
2
2
AB=√(x2-x1) +(y2-y1) +(z2-z1)
,
A1B1=√(-x2+x1)2+(-y2+y1)2+(-z2+z1)2
Из этих соотношений
ясно, что AB=A1B1,
что и требовалось
доказать.
Приведём примеры геометрических
фигур, обладающие осевой
симметрией.

У неразвёрнутого угла одна ось
симметрии - прямая, на которой
расположена
биссектриса угла.

Равнобедренный(но не равносторонний)
треугольник имеет также одну ось
симметрии. а равносторонний
треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся
квадратами имеют по две оси
симметрии, а квадрат - четыре оси
симметрии.

У окружности их бесконечно много любая прямая, проходящая через её
центр, является осью симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни
одной оси симметрии. К таким
фигурам относятся
параллелограмм, отличный от
прямоугольника, разносторонний
треугольник.
Приведём пример осевой симметрии
объёмных фигур

Многогранник
обладающий
зеркально
осевой
симметрией
прямая
АВ зеркально
поворотная ось
четвёртого
порядка
Зеркальная симметрия
Зеркальной симметрией (симметрией
относительно плоскости α) называется
такое отображение пространства на
себя, при котором любая точка М
переходит в симметричную ей
относительно плоскости α точку М1.
Докажем, что зеркальная симметрия
является движением.
Введём прямоугольную систему
координат 0xyz так, чтобы плоскость
0xy совпала с плоскостью симметрии,
и установим связь между
координатами двух точек:
М(x; y; z) и M1(x1; y1; z1) симметрично
относительно плоскости 0xy.
Если точка М не лежит в плоскости 0xy,
то эта плоскость:
1) Проходит через середину отрезка
ММ1 и по формуле координат
середины отрезка
z+z1
=0, откуда 1
2
2) перпендикулярна к нему. Означает,
что отрезок ММ1 параллелен оси 0z и,
z =z
следовательно x1=x, y1=y.
Полученные формулы
верны лишь, когда М
лежит в плоскости
0xy.
Рассмотрим точки A(x1; y1; z1) и
B (x2; y2; z2) и докажем, что
расстояния между
симметричными им точками
A1B1 равно АВ.
Точки А1 и В1 имеют координаты
A1(x1; y1; -z1) и B2(x2; y2; -z2) .
По формуле расстояния между двумя
точкам находим:
AB= √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
A1B1= √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
Из этих соотношений ясно, что
АВ=A1B1, что и требовалось доказать.
Примеры зеркальной симметрии: