Проектная и творческая деятельность учащихся Задача деления окружности на n равных частей Автор: Неберекутина Софья, учащаяся 9 «А» класса МБОУ г.Шахты Ростовской области «Гимназия имени А.С. Пушкина» Руководитель: Косова Татьяна Анатольевна, учитель математики высшей квалификационной категории Цели и задачи Углубить знания по основному курсу геометрии 7-9 классов; Развивать графическую культуру ; Сформировать умения и навыки решения задач на построение правильных многоугольников; Повысить у учащихся интерес к изучению математики, развить способности к исследовательской и проектной деятельности, развивать наблюдательность, умение мыслить логически; СОДЕРЖАНИЕ Вступление Исторический экскурс Практическое применение знаний Заключение Литература Вступление На практике нередко бывает необходимо разделить окружность на некоторое число равных частей. Это находит практическое применение в технике: технические детали: колеса, гайки, диски, плашки. В живописи, архитектуре, дизайне: Логотип компании Витраж «роза» собора Парижской Богоматери (12 метров 90 см.) Орден св. Георгия Различные виды орнамента С задачей деления окружности на равные части связана важная для практики задача построения правильных многоугольников: Построение квадрата Деление окружности на восемь равных частей Построение восьмиугольника Если разделим окружность на n равных частей циркулем и линейкой, то легко построим правильный n-угольник. Исторический экскурс Задача деления окружности на равные части привлекала внимание математиков и нематематиков в течение многих столетий. Ещё две с половиной тысячи лет назад решали и решили задачу о делении окружности на 5 равных частей древнегреческие математики из школы Пифагора. Исторический экскурс Крупнейший греческий геометр Архимед 2200 лет назад занимался делением окружности 7 равных частей. Большой интерес к построению правильных многоугольников проявил гениальный художник и учёный эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519) звёздчатые семиугольники (гептаграммы) Можно ли циркулем и линейкой разделить окружность на n равных частей при любом n? Только в конце XVIII века математика оказалась в состоянии справиться с задачей деления окружности на n равных частей. В 1796 г. девятнадцатилетний юноша Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), вследствие один из крупнейших немецких математиков, доказал, что не при всяком n можно циркулем и линейкой разделить окружность на n равных частей. Более того, он точно установил, при каких значениях n это возможно и при каких невозможно. Теорема Гаусса Если n – простое число, то правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n имеет вид (k - простое неотрицательное число) Если n – составное число, то правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, все нечётные простые сомножители различные и каждый из них имеет вид Например, Следовательно, по теореме Гаусса циркулем и линейкой можно построить правильные треугольник, пятиугольник, семьнадцатиугольник. Можно ли построить циркулем и линейкой 257угольник? А 65537-угольник? В тридцатых годах XIX века германский математик Фридрих Юлиус Ришело (1808-1875) провёл построение 257 –угольника. И посвятил этому обширную статью в одном из немецких Журналов. При k = 3, n = 257 Построить 257-угольник циркулем и линейкой возможно, так как 257 – простое число. Фридрих Юлиус Ришело В конце XIX века профессор О. Гермес 10 лет жизни выполнял построение 65537 – угольника. Рукопись с описанием этого построения занимает солидный чемодан и хранится в одном из германских университетов. При k = 4, n = 65537 Построить 65537-угольник циркулем и линейкой возможно, так как 65537– простое число. Можно ли построить циркулем и линейкой правильный 7-угольник? А 15 – угольник? По теореме Гаусса правильный семиугольник циркулем и линейкой построить невозможно. 7 – простое число, но оно не может быть представлено в виде То же можно повторить относительно правильного одиннадцатиугольника, тринадцатиугольника. Построить правильный пятнадцатиугольник циркулем и линейкой возможно. Число 15 разлагается на два различных простых сомножителя (15 = 3*5), причём каждый из них имеет вид Практическое применение знаний Построение правильных многоугольников тесно тесно связано с задачей деления окружности на равные части или задачей построения угла, содержащее данное целое число градусов. Например, как построить циркулем и линейкой угол в 15° ? ∆ АОВ – равносторонний ےАОВ равен 60° ОК – биссектриса ےАОВ ےКОВ равен 30° ОМ –биссектриса ےКОВ ےМОВ равен 15° Отрезок МВ – сторона правильного 24-угольника. Задачи для практического применения знаний 1.Как вписать в окружность правильный десятиугольник? Правильный пятиугольник? 2. Как построить циркулем и линейкой угол в 18° ? 3. Как построить циркулем и линейкой угол в 3° ? 4. Как разделить окружность на 15 равных частей? 5. Представьте себе, что перед вами окружность, разделённая на 17 равных частей . Как вы впишите в неё правильный 51-угольник? Задачи для практического применения знаний 6. Если вы хотите вписать в окружность правильный пятиугольник, то можете воспользоваться приближённым способом: разделите диаметр d на 5 равных частей и положите сторону а5 искомого треугольника равной 3∕5d; а5 ≈ 3∕5d. Выполните это построение. Как велика ошибка, которую вы при этом допустите? 7. Разделить окружность циркулем и линейкой на 7 равных частей в точности невозможно. Но это возможно сделать приближённо с более чем достаточной для практики точностью. Такой способ указал в III веке до н.э. Архимед, знаменитый греческий геометр. Он строит сначала сторону правильного треугольника, вписанного в окружность (обозначим эту сторону через а3), делит её пополам и принимает , что сторона правильного семиугольника (обозначим её через а7), вписанного в ту же окружность, равна 1∕2а3; а7 ≈ 1∕2а3. Как велика ошибка, которую мы при этом допустим? Огранка алмазов Заключение Ни один вид задач не даёт столько материала для развития математической инициативы, практических умений и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи, обычно, не допускают стандартного подхода, способствуют развитию научного любопытства, то есть желания не только приобрести знания, но и умножить их. Изучение истории математики способствует развитию мышления. Великий естествоиспытатель, математик и историк Г.В. Лейбниц подчёркивал, что история науки учит искусству открытий!!! Список литературы 1. Школьник А.Г. , «Задача деления круга», 1948, стр.72 2. Адлер А., «Теория геометрических построений», 1940 3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. «Геометрические построения на плоскости», 1955