Теорема. Если биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D, то BD = DC BA AС. A 1 2 E F 4 B Доказательство. 3 С D Проведем прямые СЕ и BF, параллельные прямой AD (E – точка на стороне АВ). Согласно обобщению теоремы Фалеса BС = CD BЕ EA . Отсюда получаем BС = CD BE, EA BС CD + 1= BE + EA 1 Напомним… т. е. BD CD = BA, или EA BD CA = DC , EA Докажем, что ЕА = АС. Для этого заметим, что < 1 = < 2, < 3 = < 1, < 2 = < 4, откуда следует, что < 3 = < 4. Таким образом, треугольник АЕС равнобедренный, поэтому ЕА =АС. Следовательно, BD = DC BA AС Что и требовалось доказать. Задача 1. На биссектрисе BD треугольника АВС отмечена точка М, так, что ВМ : MD = m : n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК : КС, если АВ : ВС=р : q. B K M P A D C Задача 1. На биссектрисе BD треугольника АВС отмечена точка М, так, что ВМ : MD = m : n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК : КС, если АВ : ВС=р : q. A D BК КР ВМ МD = = m n Точно так же отрезки AD и DC пропорциональны отрезкам КР и РС, откуда получаем: КР = АD, Но AD = AB РС DC . DC BC (биссектриса BD треугольника делит противоположную сторону АС на отрезки AD и DC, пропорциональные прилежащим сторонам АВ и ВС), и так как АВ = р ВС q , то B M Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную прямой АК. Она пересекает сторону ВС в точке Р. Воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: отрезки ВМ и МD пропорциональны отрезкам ВК и КР, откуда следует, что K AD DC P C = KP = PC Р q. Пусть КР = рх, тогда РС = qх, КС = (р+q) х, а из равенства ВК = m КР n Получаем ВК = mр x n Следовательно, ВК: КС = mр/(р+q) n. Теорема Задача 2. о пропорциональных отрезках в треугольнике. Решение. Применим тот же прием, что и при решении предыдущей задачи: через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса KD ; DC = BM ; MC = р ; q Пусть АК = mх. Тогда в соответствии с условиями задачи КС = nх, а так как KD ; DC = р ; q, то KD = pn x p+q Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: АО : ОМ = АK ; КD = mх ; p p+q nх = m n q р На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК: КС = m : n, ВМ : МС = р ; q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Доказать, что АО : ОМ = m q 1 n p ; ВО : ОК = p n q m 1 A 1 K Аналогично доказывается, что ВО : ОК = р n , 1 q m O D B M C Замечание Существует простой способ, позволяющий запомнить полученные формулы. Например, чтобы написать формулу отношения АО : ОМ, нужно «двигаясь» от точки А к точке В по отрезкам АК, КС, СМ и МВ, взять отношение первого отрезка ко второму, т.е. АК КС, A K и умножить его на отношение третьего отрезка к четвертому, сложенное с единицей, т.е. на СМ . В результате получим: 1 МВ АО : ОМ = AK CM KC MB 1 = n q n p 1 Формула для отношения ВО: ОК получается по тому же правилу, но нужно «двигаться» от точки В к точке А: ВО : ОК = р q n m 1 O C B M