СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ Работу выполнили ученики 11 класса

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
КОНСТРУКЦИИ
Работу выполнили ученики 11
класса
Два одинаковых шара радиуса
R касаются друг друга и граней
двугранного угла, величина
которого равна a. Найти
радиус меньшего из двух шаров,
касающихся граней двугранного
угла и обоих данных шаров
Дано




Шар (О1,R)
Шар (О2,R)
Шар (О3,r)
Двугранный угол a
Найти

Радиус r
Решение






О1, О2, О3 принадлежат
биссектральной плоскости L.
Треугольник О1О2О3 –
равнобедренный.
О1О2 =2R; О1О3= О2О3 =(R+r).
О1О2 ||MN
О3 BMN
Спроектируем точки О3 и В на
одну из граней двугранного
угла(например, Р), получим точки
D и E.


Проведем О3СD E.
Рассмотрм прямоугольный
треугольник О3ВС:
Используя
выражение для О3В через r,
получим уравнение для определения r :
Меньший корень этого уравнения имеет
вид :
В сферу S радиуса R вписаны восемь сфер
меньшего радиуса, каждая из которых касается
двух соседних, а все вместе касаются сферы S по
окружности большого круга. Затем в
пространство между сферами вписана еще одна
сфера S1, которая касается всех восьми сфер
меньшего радиуса и сферы S. Найти радиус r
этой последней сферы.
Дано:
Сфера S c радиусом R;
8 сфер с радиусами r<R;
Сфера S1
Найти:
r – радиус сферы S1.
S
S1
1. Рассмотрим сечение плоскостью,
проходящей через центры
маленьких сфер и центр большой
сферы
2. Рассмотрим DAOC:
AB:AO=r:(R-r)=sinp/8;
sin p
rR
S
B
C
O
8
Отсюда sin
3.
A
p
8
1
Рассмотрим сечение, проходящее
через центр большой сферы и
центр сферы S1 и центры 2
противолежащих сфер радиуса r
Рассмотрим DAOO1
AO1  AO 2  OO12
S
r
2
(r  r ) 2  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2
Rr
Rr
1
R
Отсюда r  R

2 sin p8  1
2  2 1
rR
O1
r
A
O
S1
Условие:
S
Шар вписан в конус, высота
которого равна 4, а радиус
основания равен 3. Среди
цилиндров, вписанных в
этот шар, найти тот,
который имеет наибольшую
боковую поверхность.
Дано:
конус
вписанный шар
в шар вписаны цилиндры
h=4, r=3
Найти: цилиндр с Sбок наиб.
N
M
O
P
A
O1
D
K
B
Решение:
S
O
A
D
1.SD - высота конуса
AD=DB=3
2.Площадь треугольника ASB:
1) S= (DS*AB)/2
2) S= 0,5r(AB+AS+SB)
Т.к. DS=4, AB=6,
DS 2  DB 2
AS=SB=
=5
(DS*AB)/2= 0,5r(AB+AS+SB)
12=8r; r=1,5
3. Пусть радиус цилиндра х,
B
тогда в окружность вписан
прямоугольник MNPK,
основание=2х,диагональ=2r.
2
2
2
r

x
Боковая сторона равна
h=
S1= 4 xП r 2  x 2
S1=
4П
отсюда
S
r4
r2 2
2
 (x  )
2
2
r
При х = 2 2 функция принимает наибольшее M
значение и оно
равно S=2Пr2 , h=
r 2
P
A
3 2
d hr 2
2
N
O
O1
B
D
Ответ: диаметр основания искомого цилиндра равен его высоте
а боковая поверхность равна 9 П
2
K
3 2
2
Даны три прямых круговых конуса с углом α (α<2π/3) в осевом
сечении и радиусом основания равным r. Основания этих конусов
расположены в одной плоскости и попарно касаются друг друга внешним
образом. Найти радиус сферы, касающейся трех конусов и плоскости,
проходящей через их вершины.
Рис.1
10
Дано:
Три прямых круговых конуса;
α – угол в осевом сечении конуса;
r – радиус основания конуса.
Найти радиус сферы R, касающейся всех
трех конусов и плоскости, проходящей
через их вершины.
L
Рис.2
S
Q
O
π
R
M
Решение:
K
1) OM ┴ SN, OL ┴ LS ,
OL║LS;
2) LSHK – прямоугольник,
LSH=90˚,
KH=LS;
3) OSM=(π – α)/4, SM=R∙ctg(π – α)/4
т.к. LS=SM , то KH=R∙ ctg(π – α)/4 ;
4) KH=2r/√3;
5) R=2r/√3 ∙ tg(π – α)/4;
6) SM < SN, т.е. 2r/√3 < r∙cosec(α/2), откуда
sin(α/2) < √3/2, т.е. α < 2π /3.
N
H
P
Рис.3
r
r
K
r
r
H
r
r
11
В прямой круговой цилиндр, радиус основания
которого равен R, помещены три шара. Первый шар
радиуса R, лежит на нижнем основании цилиндра.
Два других, радиуса каждого из которых R/2,
касаются друг друга, каждый из них касается
первого шара и верхнего основания цилиндра.
Найти высоту цилиндра.
Дано: цилиндр, R-радиус, R/2-радиус шаров.
Найти: LM-?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R =R;
O1,O2  A;
A||ß;
K-точка касания;
PS=2R;
K  LM;
Рассмотрим осевое сечение
цилиндра
O1O2=R+R/2=3R/2;
LM-ось цилиндра;
LM=LK+KO1+O1M;
LK=R/2;
O1M=R;
O2K=R/2;
KO1= O O  O K 2R
R
3
LM   2 R  R  (  2 ) * R
2
2
L
1
2
1
2
2
2
P
K
O2
S
O3
О,
M
Три одинаковых шара радиуса R касаются некоторой
плоскости и друг друга внешним образом. Четвертый шар
касается каждого из трех данных шаров и той же плоскости.
Найти его радиус.
1) Рассмотрим О1О2О3О4-(правильная пирамида) :
О1О3=О1О2=О2О3=2R ,
О1О4=О2О4=О3О4=R+x ;
2)p(О1О2О3;Р)=R
h=R-x ;


3) R  x 2  R  x 2   2 * 2 R 3 
3
Х=R/3
2 
Даны два шара разных радиусов,
качающихся сторон двугранного угла.
Вывести формулу взаимосвязи радиусов
шаров, вписанных в двугранный угол.
Дано : двугранный угол, два шара радиусами R и
r, вписанные в это угол
Q
β
O2
H
O1
P
K
α/2
M
Решение: 1) треугольник МO2P подобен треугольнику O1O2H по 2ум
углам => ‫ ﮮ‬O2O1H= α/2
2)O1O2=R+r O2H=R-r
1-r/R
2)Sin(α/2)=(R-r)/(R+r)
или
Sin(α/2)= 1+r/R
На плоскости Р лежат три равных шара радиуса R, касающиеся друг друга.
Прямой круговой конус расположен так, что его плоскость основания совпадает
с Р, а данные шары касаются конуса и лежат вне его. Найти радиус основания
конуса, если его высота задана и равна qR.
Решение:
O1O2  2R
AD 
2 3
R
3
SBA  CO1 D  2
p
2   a
2
2tg
1

1  tg 2  tga
tg  (
2 3
R  r)  R
3
tga  r  qR
3(q  2) x 2  4 3 (q  1) x  q  0
q2
3
3
x
,  r 
R
6
6
2 3 (q  1)  9q 2  18q  12
x1, 2 
3(q  2)
Три одинаковых шара радиуса R попарно касаются друг друга и
некоторой плоскости внешним образом. Четвёртый шар радиуса R лежит с
той же стороны плоскости, что и первые три шара, и касаются каждого из
них. Найти расстояние от точки четвёртого шара, максимально удалённой
от плоскости, до этой плоскости.
• Дано:
•
•
•
Три шара радиуса R касаются
друг друга и некоторой
плоскости
Четвёртый шар радиусом R
касается каждого из них
Найти: расстояние от точки
четвёртого шара, максимально
удалённой от плоскости, до этой
плоскости
3
Решение:
1
4
н
м
2
H  2 R  h  2 R(1  6 / 3)
• О1М
• О1Н
• О4Н
Дано:
R-радиус шара, (α;β)=30º,
(α∩β)=LM,  (LM,a)=45º.
Найти: Х
a
AO=2R
A1O1 =2x
M
O2
A2O2 =2x
D2
A2
O
P
A
D
A1
O1
D1
α
L
1) x<R.
AO=2R, A1O1 =2x
OO1 =x+R,
OB=2(R-x).
B
O
=>
A
OB=OO1 *√2/2,
2(R-x)=(√2/2)*(R+x).
A1
O1
1
x=R 4-√2
4+√2
2) x>R
C
A2
O2
AO=2R, A 2O2 =2x
O2 O=R+x, O2 C=2(x-R)
O 2C=OO2 *√2/2
=>
A
O
2(x-R)=(√2/2)*(R+x)
x=R 4+√2
4-√2
Дан прямой круговой конус, у которого угол между образующей
конуса и основанием равен 45°. В этом конусе расположены два
шара единичного радиуса, касающихся основания конуса в
точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из
шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара.
Найти объем конуса.
Дано: прямой конус,
( AB, ( AOC ))  45
r 1
Найти:V-?
Решение.
Точки P1 и P2 лежат на AC; OP1=OP2;
O1 P1  AC O2 P2  AC 
четырехугольник P1O1P2O2 –прямоугольник.
Пусть O1O2  BO  D 
r
r
O1D=P1O=P2O=O2D
.
 D – точка касания шаров
 AP1  AK , BK  BD , DO1  OP1  1.
.
Пусть
BO=H, тогда
H=BD+DO=BD+1
и
.
AB  AK  KB  AP1  BD  H  1  AP1
BAO  45  AO  BO  H ,
AB  2H .
AP1  AO  OP1  H  1  AB  2( H  1)
 H  2  2  AO  H  2  2
1
p
2
V  pAO H  (2  2 ) 3 .
3
3
Ответ: p (2  2 )3
3




Дано:
4 шара, радиус – r
Шар, содержит данные
шары внутри себя,
касается каждого из них.
Найти: R пятого шара
Решение:





Рассмотрим О1О2О3О4:
О1О2=2r=О2О3 =О3О4
О1О2О3О4- правильный
тетраэдр
Его центр делит высоту в
отношении 3:1
Высота тетраэдра
О4
 О1М
 О1Н
 О 4Н
О1
 R = 3/4 h
Н
 R= r+3/4h =
О2
О3
М
r(1+
)
Задача. Внутри прямого кругового конуса расположены четыре
шара одинакового радиуса R, попарно касающиеся друг друга
внешним образом, причем три из них лежат на основании конуса и
касаются его боковой поверхности, а четвертый – только
боковой поверхности конуса. Найти высоту конуса.
Дано:
прямой круговой конус;
шар(О1, R), шар(О2, R),
шар(О3, R), шар(О4, R)
Найти:
высоту конуса СЕ
Решение:
1) О1О2О3О4- правильный тетраэдр,
т.к. О1О4=О2О4=О3О4=2R. О4D – высота тетраэдра,
причем О4D принадлежит СЕ.
2) Рассмотрим сечение плоскостью (АСВ),
изображенное на рисунке.
О4N=O1M=R (точки N и M принадлежат АС)
О1О4 || NM => O1O4||AC .
СЕ=СО4+О4D+DЕ.
3) О1D= 2R 3 /3.
4) Рассмотрим СО4N:
СО4=R/sina, где a=АСЕ – угол при
вершине конуса. a=АСЕ=О1О4D =>
sina=О1D/O1O4=
2R 3 / 3 3
=
=>

2R
3
CO4=
Рассмотрим О1О4D:O4D=
R
.
3/3
2R 2
3
-
по теореме Пифагора. DE=R =>
CE= R  2 R 2 / 3  3R / 3  R(1  2 6 / 3  3 ) .
На плоскости лежат четыре равных
шара радиуса R, причем три из них
касаются попарно друг друга, а
четвертый касается двух из этих трех.
На эти шары сверху положены два
равных шара меньшего радиуса,
касающихся друг друга, причем
каждый из них касается трех больших
шаров. Найти отношение радиусов
большего и малого кругов.
Дано:
Решение:
R – радиус больших шаров
r – радиус малых шаров
Найти:
R
?
r
AB 3 2 R 3
r

6
6
откуда
,
R
 3
r
• Решение:
• т.О1, т.О2, т.О3 (центры
меньших шаров) находятся
в плоскости ∏ (∏ || α, α –
плоскость основания
цилиндра)
• т. О4 (центр 4ого шара)
проецируется в т.О (т.О –
центр сечения цилиндра
плоскостью ∏)
• r1=r2=r3=r
• R4=Rосн=R
• Н – высота цилиндра
• Н=r+R+OO4
• Рассм. пирамиду О1О2О3О4
• Пирамида правильная,
О1О2=О2О3=О1О3 =2r
• О1О4=О2О4=О3О4=(r+R)
• т.О – основание высоты
пирамиды лежит в центре
треуг.О1О2О3
2
2 3r
• ОО1= O1M= 3
3
3 2 3
• R=OО1+r=
r
3
• Рассм. прямоугольный
треугольник
ОО1О4:
2
• ОО4= 3 r 9  6 3
• H=
2
3
r(3+ 3 + 9  6 3