С.Н. Астраков «Максимальные и минимальные свойства

МАКСИМАЛЬНЫЕ И
МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
АСТРАКОВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ
КТИ ВТ СО РАН, Новосибирск
В мире не происходит ничего, в чем
бы не был виден смысл какогонибудь максимума или минимума
Леонард Эйлер (1707-1783)
Содержание
 Экстремальные пути и периметры.
 Изопериметрические задачи и их обобщения.
 Упаковки и покрытия.
2
1. Экстремальные пути и периметры
Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников вписанных в
данный
остроугольный
треугольник,
наименьший
периметр имеет треугольник с вершинами в основаниях
высот (ортотреугольник).
Идея доказательства
3
1. Экстремальные пути и периметры
Теорема
Биркгофа о «бильярде». Для произвольной
гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей
выпуклую область, существует бильярд с k вершинами, где
k – произвольное целое число больше 2.
Точки отражения
Что?
Как?
Почему?
4
2. Изопериметрические задачи и их обобщения
Теорема. Из всех плоских фигур одинакового периметра
наибольшей по площади является круг.
Яков Штейнер (1796-1863) считал ее «главной» теоремой
геометрии.
1. Двойственная задача: Найти плоскую фигуру с наименьшим
периметром при заданной площади.
2. Пространственный аналог теоремы.
3. Изопериметрические задачи с многоугольниками.
4. Задача Люилье и задача Крамера.
Крыжановский Д.А. Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства
геометрических фигур. // Под ред. И.М. Яглома, М.: Едиториал УРСС, 2010.
5
2.1 Оптимальные отрезы
Задача Дидоны. От прямой линии берега веревкой данной
длины отгородить участок земли наибольшей площади.
Поэма Вергилия «Энеида», IX век до н.э.
Обобщение задачи Дидоны
6
2.2 Минимальные разрезы
Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.
Случай k=2
7
2.2 Минимальные разрезы
Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.
Случай k=3
Случай k>3. Примеры.
Надо подумать!
Покажу решение тем,
кому интересно.
Задача о разрезании фигуры на части, имеющие заданное
отношение площадей. (Непаханная целина)
8
3. Упаковки и покрытия
Упаковка. Насколько мала может быть площадь выпуклой
области заданного или произвольного вида, внутри которой
можно расположить все фигуры данного набора, чтобы они
не пересекались между собой.
Покрытие. Насколько велика может быть площадь
выпуклой области, которую можно полностью покрыть
фигурами из заданного набора.
Упаковка кругов. Покрытие кругами.
d
D
Sf
S p1
Sf
S p2
 max
Sf – суммарная площадь кругов
Sp1 – площадь области, содержащей круги
 min
Sp2 – площадь покрываемой области
9
Покрытие односвязных ограниченные областей и
фигуры на плоскости
Покрытие специальных невыпуклых областей
10
Эффективные покрытия равностороннего
треугольника несколькими кругами
D3 

 1,814
3
R
a
2 3
 0,291 a
D4 
R
8
 1,612
9 3
a
a
 0,582 a; r 
 0,194 a
3
3 3
11
Регулярные покрытия равностороннего
треугольника кругами одного радиуса
Общий случай
n=6
k ( k  1)
2
2 k  1
Dn 

k
3 3
2
D 
 1,209
3 3
n
D6 
8
 1,612; D6  D4
9 3
12
Эффективные покрытия квадрата
D1  D4  ...  Dk 2 
α
α

 1,57
2
3
 1,1775
8
1
  arcsin  26,6 0 ;
5
D5 
R
a 5
a
 0,557 a; r 
 0,177 a
4
4 2
13
Внешнее покрытие областей и фигур
α
D  2,741
D
 ( 2  sin 2 )
1  cos 2
3
Dmin 
 opt
 2,355
4
 26,6 0
D4
Инвариантный класс
покрытий
14
Внешний покрытие круговой области
Утверждение. При внешнем покрытии
диска тремя различными кругами
минимальная плотность равна 3.
D3
Лемма. Покрытие границы гарантирует
покрытие всей области.
Вопрос: Можно ли улучшить результат большим числом кругов?
Ответ: Нет. Но существует альтернативный вариант!
15
Внешний мониторинг круговой области
D3
r2
r1
α
R
r1 
R
,
cos 
r2  R  R  tg .
 1
2
2
D( )  2

(
1

tg

)

4
(
tg
  tg  1).

2
 cos 

1
2
 îïò  arctg .
min D  3.
Альтернативный вариант
16
Задача об упаковке двух одинаковых кругов в эллипс
Найти оптимальные параметры эллипса, содержащего два равных
круга заданного радиуса, имеющего минимальную площадь.
Желаю успеха! Вы будете первыми,
кто решит эту задачу!
17
Научный подход – это стремление к простоте
понимания сути вещей и явлений
Спасибо за внимание!
18