«Самый умный» Интеллектуальная игра на тему: «Четырёхугольники» 1 Раунд 1. Если диагонали параллелограмма равны, то он может быть: Ответ: Квадратом или прямоугольником 2. Если у параллелограмма диагонали пересекаются под прямым углом, то он: Ответ: Ромб или квадрат 3.У какого четырехугольника все углы равны? Ответ: квадрат 4. У какого четырёхугольника стороны равны? Ответ: Ромб или квадрат 5. Чему равна сумма углов параллелограмма? Ответ: 360 6. Если одна сторона параллелограмма 15 см, а другая 12 см, то его периметр равен: Ответ: 54 см 7. Если стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, то какие это стороны: Ответ: Соседние 8. У какого четырехугольника диагонали перпендикулярны? Ответ: Ромб 9.У какого четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам? Ответ: параллелограмм 10. Назовите четырехугольник обладающий осевой симметрией. Ответ: Ромб 2 Раунд Параллелограмм 1.Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны … Ответ: параллельны 2.В параллелограмме ABCD отрезки AC и BD являются … Ответ: Диагоналями 3.Дайте название следующему утверждению: в параллелограмме противоположные стороны равны. Ответ: Свойства параллелограмма 4.Дайте название следующему утверждению: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Ответ: Признак параллелограмма 5.Верно ли следующее утверждение:в параллелограмме диагонали равны? Ответ: Верно 6.Какова сумма всех внутренних углов в параллелограмме? Ответ: 360 7.Какова сумма любых двух соседних углов в параллелограмме? Ответ: 180 8.Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником? Ответ: Всегда является 9.В четырехугольнике два противоположных угла равны. Является ли он параллелограммом? Ответ: Нет 10.Чему равна сумма градусных мер всех внешних углов параллелограмма, взятых по одному при каждой вершине? Ответ: 360 Прямоугольник 1.Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол? Ответ: Да 2.Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом? Ответ: Да 3.Обладает ли прямоугольник центральной симметрией? Ответ: Нет 4.Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником? Ответ: Нет 5.Прямоугольник-это четырехугольник, в котором все углы… Ответ: Прямые 6.Прямоугольник является параллелограммом, если… Ответ: Противоположные стороны попарно параллельны 7.Чему равен квадрат диагонали прямоугольника? Ответ: Сумме квадратов двух его смежных сторон 8.Можно ли описать окружность около любого прямоугольника? Ответ: Да 9.Являются ли стороны прямоугольника его высотами? Ответ: Да 10.Любой прямоугольник является… Ответ: Прямоугольником Ромб 1.Ромб-это параллелограмм, у которого… Ответ: Все стороны равны 2.Ромб с прямыми углами называется… Ответ: Квадратом 3.У ромба противолежащие стороны равны и попарно параллельны? Ответ: Да 4.Диагонали ромба пересекаются под прямым углом? Ответ: Да 5.Диагонали ромба являются биссектрисами его углов? Ответ: Да 6.Диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника? Ответ: Да 7.Две его смежные стороны не равны? Ответ: Нет 8.Термин ромб происходит от др.греческого «rombus», что в переводе означает… Ответ: Бубен 9.Ромб это четырехугольник? Ответ: Да 10.Ромб имеет центральную симметрию? Ответ: Да Квадрат 1.Квадрат-четырехугольник, у которого все стороны и углы… Ответ: Равны между собой 2.Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырехугольников? Ответ: Да 3.сколько осей симметрии имеет квадрат? Ответ: 4 4.какие вершины квадрата соединяют диагонали? Ответ: Не смежные 5.Диагонали являются биссектрисами углов? Ответ: Да 6.Каждая диагональ делит квадрат на… Ответ: Два равнобедренных прямоугольных треугольника 7.Квадрат обладает центральной симметрией? Ответ: Да 8.Квадрат обладает осевой симметрией? Ответ: Да 9.Диагонали квадрата делят углы пополам? Ответ: Да 10.Диагонали перпендикулярны? Ответ: Да Трапеция 1.Трапеция-четырехугольник, у которого пара сторон… Ответ: Параллельными 2.Как называют две параллельные стороны? Ответ: Основаниями 3.Как называют две другие стороны? Ответ: Боковыми 4.Трапеция, у которой боковые стороны равны? Ответ: Равнобедренная 5.Средняя линия трапеции параллельна основаниям? Ответ: Да 6.Когда в трапецию можно вписать окружность? Ответ: Сумма оснований равна сумме боковых сторон 7.Треугольники,лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные? Ответ: Да 8.Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие? Ответ: Да 9.высота трапеции — это… Ответ: Перпендикуляр,проведенный из одной точки одного основания к другой точке другого основания 10.Сколько равных углов у трапеции? Ответ: Да 3 Раунд 1 3 5 2 4 6 Задача 1 Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, а одна из сторон больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей, а четвертая - в три раза больше второй. Решение: Периметр четырехугольника равен сумме длин каждой из его сторон. Для решения задачи обозначим меньшую (!) сторону четырехугольника через x. Для понимания решения, пусть названия сторон будут A, B, C и D. Тогда A = х + 8 (Одна из сторон четырехугольника, пусть это будет сторона A, больше второй, пусть это будет сторона B на 8 см, соответственно длина меньшей стороны будет x) B = x (Одна из сторон четырехугольника, пусть это будет сторона A, больше этой стороны на 8 см)C = x + 16 (... "и на столько же меньше третьей". То есть, если длина стороны A = x + 8, а она меньше третьей на 8 см, то длина стороны четырехугольника составит x + 16 см) D = 3x (Длина этой стороны четырехугольника по условию в три раза больше второй)Соответственно, периметр четырехугольника равен:P= A + B + C + D (x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66 6x + 24 = 66 6x = 42 X=7 Соответственно, длины сторон четырехугольника в задаче равны 7, 15, 23, 21 Ответ: 7 см, 15 см, 23 см, 21 см Задача 2 Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3. Решение: 1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см. 2. Треугольник ЕАМ равнобедренный. Следовательно, АЕ = АМ = 4 см. 3. АD = АМ + МD = 7 см. 4. Периметр АВСD = 20 см. Ответ. 20 см. Задача 3 Дано: АВСD- прямоугольник, АВ=3, К- принадлежит АВ, Мпринадлежит СD, КАС=30о, АКСМ- ромб. Найти АК. Решение: а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС, ∆АКС- равнобедренный, значит КСА=КАС=30о, АКС=120о, ВКС=60о б) ∆КВСпрямоугольный, в нем ВКС=60о, КСВ=30о, тогда КВ=КС:2=АК:2 в) Т.к. КВ=АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2 Ответ: АК=2 Задача 4 Диагонали ромба равны 48 см и 14 см. Найти его сторону и радиус вписанной окружности. Решение: Рассмотрим ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О .У ромба диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому имеем:AО = AC/2 = 7 cм, BО = BD/2 = 24 см. Треугольник AОB – прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Значит по теореме Пифагора АВ2 = AО2 + BО2.Имеем AB2 = 72 + 242 или AB2 = 49 + 576, АВ2 = 625, значит АВ = 25 см. Так как OМ перпендикулярно АВ, то S = 1/2 · BD · AC = 48 · 14/2 = 336 (см2) Кроме того, зная, что S = 2 · r · a, где r – радиус вписанной окружности, а –сторона ромба, имеем: r = S/(2а);r = 336/50 = 6,72 (см).Ответ: 25 см, 6,72 см Задача 5 АВСD – квадрат; АС=18,4 см; MN ┴ АС. Найти: MN. Решение: Рассмотрим прямоугольные треугольники АСМ и АСN: АС – общая сторона.АСМ = АСN (т.к. диагонали квадрата делят углы пополам).треугольники равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство сторон МА и NА. Треугольники АСМ и АСN – равнобедренные, т.к. углы при основаниях равны (АМС=АСМ=450; АNС=АСN=450. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900) МА=АN=АС=18,4 см. MN=2АС=18,4·2=36,8см Задача 6 В трапеции ABCD проведены биссектрисы углов при вершинах . Найти угол между биссектрисами. Решение: Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. биссектрисы,они делят соответствующие углы пополам, обозначим их По свойству трапеции: Рассмотрим Ответ: