ЕГЭ– 2012 Математика Задача B6 Найти меньший острый угол прямоугольного треугольника, если известен угол между высотой биссектрисой прямого угла Зенина Алевтина Дмитриевна, учитель математики г.Тюмень, 2011 г. Теоретические сведения №1 Биссектриса внутреннего угла треугольника - отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне ВМ - биссектриса В β А β М С Теоретические сведения №2 • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов рана 90о Сумма всех углов в треугольнике равна: 90о + ɑ + β = 180о ɑ ɑ + β = 180о – 90о ┐ β ɑ + β = 90о 6.1 Прототип задания B6 (№ 27771) • В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 1 способ решения. CD - биссектриса ∟ACD = ∟BCD = 90о : 2 = 45о , В прямоугольном ∆ АСН: ∟АСН = 45о + 21о = 66о 45о 66о ∟ACB = 90o СН - высота 21о 45о Искомый угол: ∟А = 90о – 66о = 24о 24о ? 66о 2 способ решения. В прямоугольном ∆ ВСН: ∟ВСН = 45о – 21о = 24о ∟СВН = 90о – 24о = 66о В прямоугольном ∆ АВС: Искомый угол: ∟А = 90о – 66о = 24о 66о ˃ 24о Ответ: 24 6.2 Задание B6 (№ 47671) Прототип № 27771 В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 17о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. В прямоугольном ∆ АСН: CD – биссектриса прямого угла в ∆ АСВ. ∟АСН = 45о + 17о = 62о . Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. 62о Следовательно в ∆ ВСН: ∟В = 62о 28 ?о 62о 28о ˂ 62о Искомый угол в ∆ АСН: ∟А = 90о – 62о = 28о Ответ: 28 6.3 Задание B6 (№ 47705) Прототип 27771 В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 6о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. CD – биссектриса прямого угла в ∆ АСВ. Рассмотрим прямоугольный ∆ ВСН: Найдем сперва ∟ВСН = 45о – 6о = 39о В ∆ ВСН: ∟СВН = 90о – 39о = 51о 45о Высота СН опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника АВС разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника: ∆АСН ≈ ∆ВСН. 6о 39о ? 39о 51о ∟ВСН = ∟САН = 39о 39о ˂ 51о Ответ: 39 6.4 Задание B6 (№ 47713) Прототип № 27771 В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 29о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. CD – биссектриса прямого угла в ∆ АСВ. В ∆ DСН: ∟СDН = 90о – 29о = 61о Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним 45о 45о 29о ∟СDН = 61о = х + 45о 61о = х + 45о х 61о х = 61о - 45о х = 16о Ответ: 16 Автор: Зенина Алевтина Дмитриевна учитель математики Использованы материалы сайтов: http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/ http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=Pos Скоро ЕГЭ! • Еще есть время подготовиться!