ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ 30 ноября 2004 г. ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ А. Суханов

30 ноября 2004 г.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ
ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ
А. Суханов
ИКИ
sukhanov@iki.rssi.ru
Отсутствие ограничений на направление тяги
r  v, v  f   f  f r, v, t 
Уравнения движения:
  вектор тяги
Минимизируемый
функционал:
J   f 0 dt
Возможно ограничение:
 T  2 ,   
t1
t0
m c
m

H  p0 f0  pTr v  pTv f  pTv     T  
2

Функция Гамильтона:
p0, pr, pv,  – сопряженные переменные
pv – базис-вектор Лоудена
Оптимальная тяга при max H

 max pTv     pv


Отсутствие ограничений на направление тяги
1. Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ)
2. Постоянная скорость истечения с ограниченным расходом рабочего
тела (ПСИОР) или импульсная тяга
ИРТОМ
p0  1,
Оптимальная тяга
Функция переслючения
m = m(t) – масса КА
N = N(r, t) – мощность тяги
с  скорость истечения
2
f0 
2N
  Npv
ПСИОР
f 0  m

pv
m c
, 
pv
m
p v c
 
m
Проекция вектора на множество


Проекция (абсолютная) вектора b на вектор a: b a  b T a 0 a 0  a 0a 0T b
P = a0a0T  проективная матрица
PT  P2  P
Проекция bA вектора b на некоторое замкнутое множество векторов
A есть проекция на вектор a  A , на котором достигается max bTa0.
Матрица Р проектирует b на множество А.
Проекцию bi вектора b на вектор
ai  A (i = 1, 2, …) назовем локальной
проекцией на множество A , если существует
такая окрестность вектора ai , что для любого
вектора a из этой окрестности b T a0  b T ai0
Свойства проекций вектора на множество
1. Проекция вектора b на множество A
достигается при a0 = b0, если b  A
(при этом bA = b) и на границе
множества A , если b  A
2. Абсолютная проекция на пересечение
нескольких подмножеств достигается либо
на абсолютной или локальной проекции на
одно из подмножеств, либо на пересечении
границ по крайней мере двух подмножеств.
3. Если существует единственная проекция bА
вектора b на одно из подмножеств и вектор
а, на котором достигается эта проекция,
принадлежит пересечению А этих
подмножеств, то bА является абсолютной
проекцией вектора b на множество А .
A
A
bA=b
bA
b
Общий случай ограничений на направление тяги
Ограничения на единичный вектор 0 направления тяги:
0  G,
G: g = 0
g  0, g = g(r, v, t, 0)
или
T 0
Максимум функции Гамильтона достигается при max
p
v
0

 0m
 G
T 0
 arg max
p
v
0
 G
Матрица P   0m 0mT проектирует вектор pv на множество G
pG = Ppv  проекция pv на G
p 0v  G  pG = pv
p 0v  G
G
 pG лежит на границе G

 достаточно проверить g r, v, t , p0v

G
pG  pv
pv
pG
При ограничении g = 0 граница множества совпадает с самим
множеством.
Оптимальная тяга
Ограничения на
направление тяги
Отсутствие
ограничений
ИРТОМ
  NpG
  Npv
ПСИОР
p
 G
pG
pv

pv
p G c
 
m
p v c
 
m
m c 

  

m 

Ограничение типа равенства


g  g r , v, t ,  0  0
t  1
 делает систему автономной
H  p0 f0  pTr v  pTv f  pTv  


 T
   2   Tg g  pt
2
Ограничение типа неравенства


G : g  g r , v, t ,  0  0
Двусторонние ограничения разбиваются на два неравенства


0
Если g r, v, t , pv  0 , то pG = pv   0  p 0v


Рассмотрим случай g r, v, t , p 0v  0 , когда pG на границе G
g = {g1, …, gn}, Gi : gi  0
G = G1 G2 ... Gn
Граница множества G: k компонент вектора g
равны нулю, а остальные n – k компонент строго
больше нуля (1  k  n)
Границы подмножеств Gi могут пересекаться либо
не пересекаться (например, в случае двусторонних
ограничений)
Ограничение типа неравенства
Пусть для каждой пары gi, gj одновременное выполнение равенств
gi = 0, gj = 0
либо возможно лишь для конечного числа значений 0, либо
невозможно.
0
Способ нахождения оптимального 0 при g r, v, t , p v  0 :

• Вычисляются все проекции вектора pv на
подмножества Gi
• Находятся точки пересечения границ каждой
пары подмножеств Gi, Gj
• Из всех найденных векторов 0 выбираются
принадлежащие пересечению G и среди них
T 0
находится  0m  arg max
p
v
0
 G

Линейные ограничения типа равенства
G:
B0 = c

P0  I  B BB
T

B = B(r, v, t), c = c(r, v, t)

T 1
 0  1  cT BBT

B
1
c
 проективная матрица (проектирует  В),
I  единичная матрица

P0p v
 B T BBT
P0p v

1
c
 оптимальное направление
тяги
b1T 
 c1 
 
B    , c      biT  0  ci
b T 
cn 
 n
 ограничение типа равенства дает поверхность конуса при n = 1
или линии пересечения поверхностей круговых конусов при n = 2;
матрица ВВТ невырожденна если конусы пересекаются
Ограничение выполнимо лишь при ci  bi
Линейные ограничения типа неравенства
G: B0  c
B = B(r, v, t), c = c(r, v, t)
 пересечение круговых конусов.
Gi: biT  0  ci  0 внутри (ci > 0) или вне (ci < 0)
кругового конуса, cosi  ci bi
Bp 0v  c
  0  p 0v
Bp 0v  c
 оптимальное направление тяги достигается либо на
поверхности i-го конуса, либо на линии пересечения
двух конусов
bi 
ci 
P0pv
bi
0
0
a 
, bi 
, Bij   , cij   
P0pv
bi
b j 
c j 
Пусть

 0  a0 sin i  b 0 cos i
или
 
0
1  cijT


T 1
Bij Bij cij
a
0
 BijT


T 1
Bij Bij cij
Линейные однородные ограничения
B0 = 0

B = B(r, v, t)  матрица ранга 1 (плоскость) или 2 (прямая)

T 1
P  I  B BB
T
B
 проективная матрица
bb T
rankB  1  B  b , P  I  2 b  b 
b
b1T 
rankB  2  B   T    0  b  b1  b 2
b 2 
bb T
bb T
 BI 2 , P 2
b
b
 Оптимальная тяга либо направлена вдоль заданного вектора, либо
ортогональна заданному вектору
T
Линейные однородные ограничения
типа неравенства
B0  0
 телесный угол, ограниченный
плоскостями (полупространство,
если В строка)
Bp 0v  0   0  p 0v
Bp 0v  0  оптимальное направление тяги
достигается либо на i-й плоскости,
либо на линии пересечения двух
плоскостей
b1T 
T


b
 
i
B    , Bij   T , pG  Ppv , pG0  pG pG
b j 
b T 
 n

0
 pG0 ,
bibiT
PI 2
bi
или P  I
 BijT

bi  bi 

T 1
Bij Bij Bij
Примеры линейных однородных ограничений
• Тяга ИСЗ ортогональна местной вертикали
rr T
Br , PI 2
r
• Ось вращения стабилизированного вращением ИСЗ направлена
на Солнце и тяга направлена вдоль этой оси («Прогноз»)
T
T
T
BI 2 , P 2


где  = rS(t)  r  rS(t), rS(t)  геоцентрический радиус-вектор Солнца
• То же, что в предыдущем случае, но во вращающейся системе
координат с осью х, направленной вдоль линии Солнце-Земля
(например, в задаче трех тел)
0 0 0 
1 0 0
0 1 0 


0 0 0 
B  0 1 0 или B  
,
P





0 0 1

0 0 1
0 0 0
Объединение множеств и
смешанные ограничения
Приведенные результаты легко обобщаются на:
• Объединение ограничивающих множеств G = G1 G2 …  Gn
Пример: bT0  c > 0 или bT0  c
• Смешанные ограничения g1(r, v, t, 0) = 0 и g2(r, v, t, 0)  0
T 0
Пример: b1   c1
и b T2  0  c2
Уравнения для базис-вектора Лоудена
r  v, v  f   f  f r, v, t 
• Ограничения на направление тяги отсутствуют:
f
f  сопряженные уравнения в
p Tr  pTv , p Tv  pTr  pTv
вариациях
r
v


Решение: p 0   p r0  , p v0   A T0 , А  общее решение, 0 = const
Q  подматрица А
p v0   Q T0 ,
• Имеется ограничение g(r, v, t, 0) = 0:
f
f
  Tr , p Tv  pTr  pTv
  Tv
r
v
T
T

g

g
 
 
 r     g ,  v     g , g  неопределенный множитель
 r 
 v 


pTv P0pv
0
T 1 
, P  I  BT BBT 1 B
B  c :  g   BB
Bpv 
c
0
T
T 1


1

c
BB
c


p Tr  pTv






Способы вычисления базис-вектора Лоудена
• Численное интегрирование совместно с уравнениями движения
• В случае малой тяги метод вариации произвольной постоянной
p 0   p r0  , p v0   A T0  решение однородного уравнения




p  A T  A T   r 0  , p 0  , t   r   v 
t
  1   A  dt  1  χ t 
1T
t0
p v  Q T  Q T1  Q T χ t 
• Если тяга очень маленькая, то p v  p v0 
На больших интервалах времени приближенные методы могут
расходиться
Метод транспортирующей траектории
Метод транспортирующей траектории (МТТ) – метод приближенного
решения задачи оптимального перелета с ИРТОМ, основанный на
линеаризации траектории перелета около некоторой близкой
кеплеровской орбиты (транспортирующей траектории  ТТ)
Модифицированный МТТ:
x, y  векторы состояния КА и транспортирующей траектории,
ξ = x  y, ξ  Fξ  η, η  0, α
0, 1  граничные условия,
A  общее решение сопряженного уравнения в вариациях для ТТ
(найдено аналитически в явном виде)
Q  подматрица матрицы А
 = А11  А00,
А0 = А(t0), А1 = А(t1)
Метод транспортирующей траектории
α  Npv  NQTβ
t1
Δ   Qαdt  S1β ,
t0
 = const  неизвестный вектор
S  St    NQQT dt, S1  St1 
t
t0
Матрица QQT вырожденна, однако матрица S является
невырожденной на любом интервале времени
 β  S11Δ
α t   NQ TS11


оптимальная тяга
xt   y t   A 1 A 0ξ 0  SS11
вектор состояния КА
1
минимизируемый функционал
J   TS11
2
J
mрт 
m0
масса рабочего тела
J  N 0 m0
Любая требуемая точность достигается путем разбиения интервала
времени перелета на подынтервалы.
Применение МТТ при ограничениях
на направление тяги
α  NPpv  NPQTβ
t1
Δ   Qαdt  S1β
t0
t1
S1   NQPQT dt
t0
В общем случае Р зависит от pv = QT   находится из уравнения
t1
t
0
NQPβ QT dt β  Δ
и
αt   NPQ TS1β
В случае линейных однородных ограничений В0 = 0 матрица Р не
зависит от   β  S11Δ
 Невырожденность матрицы S1 является достаточным условием
осуществимости перелета при данных ограничениях
Применение МТТ при ограничениях
на направление тяги
Пример: радиальная тяга
t1
P  rr T r 2  S1   Nqq T dt где q = {q1, …, q6} = Qr/r
q1 = q2 = 0 
t0
rank S1 4
Плоский перелет: 1 = 2 = 0 (полагая  = {1, …, 6})
Уменьшение размерности:
 = {3, …, 6}, q = {q3, …, q6},  = {3, …, 6}
Матрица S1 
t1
t
0
NqqT dt может быть невырожденной
 условие невырожденности матрицы S1 может не быть
необходимым для осуществимости перелета
Численный пример
Рассматривается перелет к Марсу в 2007 г. с тягой ортогональной
направлению на Солнце
0.8
180
Óãî ë ì åæäó ðàäèóñî ì -âåêòî ðî ì
è âåêòî ðî ì òÿãè, ãðàä.
m1
m0
1
Ï åðåëåò áåç î ãðàí è÷åí èé
í à í àï ðàâëåí èå òÿãè
0.6
Òÿãà î ðòî ãî í àëüí à
ðàäèóñó-âåêòî ðó ÊÀ
0.4
0.2
0
10
12
14
16
Ï ðî äî ëæèòåëüí î ñòü ï åðåëåòà, ì åñ.
18
10-ì åñÿ÷í û é ï åðåëåò
14-ì åñÿ÷í û é ï åðåëåò
150
18-ì åñÿ÷í û é ï åðåëåò
120
90
60
30
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Âðåì ÿ ï î ëåòà, ì åñ.
Наличие ограничения на направление тяги приводит к плохой
обусловленности матрицы S1 при большом числе подынтервалов
(более 3035), т.е. на коротких интервалах времени интегрирования
18
Выводы
• При наличии ограничений на направление тяги оптимальная тяга
направлена вдоль проекции базис-вектора на ограничивающее
множество
• Оптимальная тяга найдена в явном виде для линейных ограничений
типа равенства или неравенства
• Для нахождения оптимального перелета при ограничениях на
направление тяги может использоваться метод транспортирующей
траектории после небольшой модификации.
• Метод транспортирующей траектории дает также достаточное условие
осуществимости перелета при данных ограничениях