19. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла
проведена высота АN и АN : NP = 2
2 : 5,
5 АК = 14. Найти АР.
 AКР
NAP по 1 признаку подобия
A
P
AN
AK
14
N
К
NP
=
AP
Повторение
Среднее арифметическое
nm
а
2
Определение Отрезок XY называется средним
геометрическим (или средним пропорциональным)
для отрезков, на которые делится гипотенуза этой
высотой.
XY  AB  CD
c
C
bc
ac
h
a
A
D
B
b
 ABC
 ACD по 1 признаку подобия
C
AB
AC
b
h
D
c
AD
АС  АВ  АD
ac
A
=
AC2 = AB  AD
a
bc
AC
B
b  c b c
Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное для гипотенузы и проекции
отрезка катета
гипотенузы,
на
гипотенузу.
заключенного между катетом и высотой,
проведенной из вершины прямого угла.
a  cac
C
b
a
h
bc
b  c b c
ac
D
A
c
B
 ABC
 ACD по 1 признаку подобия
 ADC
 CBD по 1 признаку подобия
C
AD
CD
1
b
CD
=
DB
CD2 = AD DB
a
h
bc
СD  АВ  DB
ac 2
D
A
c
B
h  ac  bc
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
для проекций
отрезков, на
катетов
которые
на гипотенузу.
делится гипотенуза этой
высотой.
h  ac  bc
C
b
a
h
bc
ac
D
A
c
B
C
ВС  ВD  AB
АС  АD  AB
А
D
DС  AD  BD
B
Блиц-опрос.
Найдите неизвестные линейные элементы
0
прямоугольного треугольника АВС, С  90
C
АС  16 25
ВС  9 25
20
12
А
16
D
DС  16  9
15
9
B
Блиц-опрос.
Найдите неизвестные линейные элементы
0
С

90
прямоугольного треугольника АВС,
C
2 10
АС  18 20
6
ВС  2  20
B
6 10
2
D
18
А
DС  18 2
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла
проведена высота СН. СА = 6, АН = 2. Найти НВ.
2
(
)
6  2 х
2
C
6
А
2
Н
?
В
х
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого
угла проведена высота СD. По данным чертежа найти СD.
C
Е
А
25
16
8
D
DС  16  25
Т
B
По данным чертежа найти СМ.
А
К
МС  9 25
25
Е
М 9 D
C
B
В прямоугольном треугольнике АВС построена медиана ВМ,
точка О – точка пересечения медиан.
СЕ  ВМ
Найти ОМ.
2
(
)
30  20  х
2
B
х
20
А
М
Е
О
30
C
Найдите неизвестные линейные элементы
0
С

90
прямоугольного треугольника АВС,
2
(
)
3  4 х
2
C
9 = 4х
?
3
B
5
х
D
4
А
9
х=
4
А
1
№ 579 Для определения высоты столба А1С1 использовали
шест с вращающейся планкой.
Чему равна высота столба?
?
А
1,7м
В
3,4м
С
С1
6,3м
№ 580 Длина тени дерева равна 10,2м, а длина
тени человека, рост которого 1,7м, равна 2,5м.
Найдите высоту дерева.
А1
?
А
1,7м
В
2,5м С
В1
10,2м
С1
№ 581 Для определения высоты дерева можно
использовать зеркало так, как показано на рисунке. Луч
света DF, отражаясь от зеркала в точке D, попадает
в глаз человека (точка В). Определите высоту дерева.
F
С
B
А
?
12
D
120
480
E
№ 582 Для определения расстояния от точки А до
недоступной точки В на местности выбрали точку С и
измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили
на бумаге треугольник А1В1С1, подобный треугольнику
АВС. Найдите АВ, если АС=42м, А1С1=6,3см,
А1В1=7,2см.
В
В1
7,2см
?
А1 6,3см С1
А
42м
С
№ 583 На рисунке показано, как можно определить ширину
реки ВВ1, рассматривая два подобных треугольника АВС и
АВ1С1. Определите ВВ1, если АС = 100 м, АС1 = 32 м,
АВ1 = 34 м.
В
?
В1
С
34
32
А
С1
100
№ 612 Два шеста АВ и СD разной длины а и b установлены
вертикально на некотором расстоянии друг от друга. Концы А
и D, В и С соединены веревками , которые пересекаются в
точке О. По данным рисунка докажите, что
m x
 ;
d b
n x
 ;
d a
x x
  1.
a b
B
D
b
O
a
x
А
m
n
d
С
Найдите х и
докажите, что х
не зависит от а
и b.