Решение линейных неравенств

Решение линейных
неравенств с одним
неизвестным
решением
неравенства
• _____________________________
называется то значение неизвестного,
при котором это неравенство
превращается в верное числовое
неравенство;
решить неравенство
• ____________________это значит найти
все его решения или установить, что их
нет.
При решении неравенств используются
следующие свойства:
Свойство 1. Любой член неравенства можно
перенести из одной части неравенства в другую,
изменив знак этого члена на противоположный;
при этом знак неравенства (знак сравнения)
не меняется.
Свойство 2. Обе части неравенства можно умножить
или разделить на одно и то же, не равное нулю
число;
если это число положительно, то знак сравнения
не меняется, а если это число отрицательно, то знак
сравнения меняется на противоположный.
Задача 1. Решить неравенство х + 1 > 7 − 2х.
Решение. Перенесём слагаемое − 2х из правой
части неравенства в левую, изменив его знак на
противоположный ,
а число 1 перенесём в правую часть со знаком «−»,
получим верное неравенство х + 2х > 7 − 1 .
В обеих частях приведём подобные члены:
3х > 6.
Делим обе части этого неравенства на 3, получаем:
х > 2.
Ответ:
(2; ∞)
2
• На что похоже решение линейного
неравенства?
• В чем отличие от решения линейного
уравнения?
• О чем надо помнить при решении
линейного неравенства?
• Составим алгоритм решения линейного
неравенства
Алгоритм решения неравенства
1. Раскрыть скобки
2. Неизвестные с х перенести в левую
часть, а числа - в правую.
3. Привести подобные в левой и правой
части неравенства
4. Получим линейное неравенство вида:
aх>b или aх<b
Алгоритм решения неравенства
5. Делим все неравенство на
коэффициент перед х:
ax>b :а
• Если а – положительное, то знак
неравенства не меняется
• Если а – отрицательное, то знак
неравенства меняется на
противоположный
Алгоритм решения неравенства
6. Наносим решение на координатную
прямую
> или < выколотая (строгое
неравенство)
≤ или ≥ закрашенная (нестрогое
неравенство)
> или ≥ штриховка в право
< или ≤ штриховка влево
Алгоритм решения неравенства
7. Записываем ответ в виде промежутка
(читаем слева направо)
Скобки:
- Точка выколотая – скобка круглая ( - не
включая
- Точка закрашенная – скобка квадратная
- включая
- У бесконечности ∞ или
круглая
-∞
всегда скобка
Задача 2. Решить неравенство
3( х − 2) −4(х + 1)< 2( х − 3) − 2.
Решение. Перепишем неравенство раскрывая скобки:
3х − 6 − 4х − 4 < 2х − 6 − 2;
3х − 4х − 2х < − 2 + 4;
−3х < 2
: (−3) ;
Ответ: (-2/3;∞)
2
х .
3
-2/3
Задача 3. Решить неравенство 7( у + 1) < 9( у − 3) и
изобразить множество его решений на числовой оси.
Решение. 7у + 7 < 9у − 27;
7у − 9у < − 27 − 7;
−2у < − 34
у > 17.
: (−2) ;
IIIIIIIIIIIIII
○
17
Множество решений неравенства на числовой оси
задаёт открытый луч.
Точка х = 17 лучу не принадлежит.
Ответ: у > 17.
у
Задача 4. Найти наибольшее целое число,
являющееся решением неравенства: 5 − 4х > 2(4 −х).
Решение. 5 − 4х > 8 − 2х;
− 4х + 2х > 8 − 5;
− 2х > 3
IIIIIIIIIIIIII
○
−2 −1,5 −1
: (−2);
х < − 1,5.
х
−2 − это наибольшее целое число, являющееся
решением данного неравенства
Ответ: х = −2.
Задача 5. Найти наименьшее целое число,
являющееся решением неравенства: 5,5 + 4х ≥ 1+х.
Решение. 5,5 + 4х ≥ 1 + х ;
4х − х ≥ 1 − 5,5 ;
3 х ≥ − 4,5
: 3;
х ≥ − 1,5.
IIIIIIIIIIIIII
●
х
−2 −1,5 −1
−1 − это наименьшее целое число, являющееся
решением данного неравенства
Ответ: х = −1.
Задача 6. Докажите, что неравенство 0,6  х  3 х  1,3
сводится к линейному с одним
12
18
неизвестным.
умножения
Решение. Надо доказать, что после _________________
обеих частей неравенства на _________________
наименьший
общий ________________
знаменатель , переноса всех слагаемых,
которые содержат ______________
неизвестное х
в его _______
левую
часть, не содержащих х в его _________
правую часть
и приведения подобных членов получится
неравенство вида ах > b.
Имеем:
0,6  х 3х  1,3

12
18
● 36;
3
2
36  (0,6  х) 36  (3 х  1,3)

;
12
18
3∙(0,6 − х ) > 2∙ (3х − 1,3) ;
1,8 − 3 х > 6 х − 2,6 ; − 3 х − 6 х > − 2,6 − 1,8 ;
− 9 х > − 4,4 , что и требовалось доказать, т. к.
получившееся неравенство является линейным
неравенством с одним неизвестным.
Задача 7. График линейной функции y = k x + b
пересекает оси координат в точках (2; 0) и (0; −3).
Найдите k и b и установите, при каких значениях х
значения функции у:
1) положительны ; 2) неотрицательны ;
3) отрицательны ;
4) не меньше − 4,5.
Решение. Подставим в уравнение y = k x + b
координаты точек (2; 0) и (0; −3):
2 + b = ___;
0
___k
0 + b = _____
−3 .
___k
Уравнение имеет вид
−3 ,
b = ____
k = 1,5
___ .
у = 1,5 х − 3.
1,5 х − 3 > 0 ;
1) Получается неравенство: __________
решаем его _____
1,5 х > __
3
: 1,5 ; х > 2 .
1,5 х − 3 ≥ 0 ;
2) Получается неравенство: ________
откуда
х ≥2.
1,5 х − 3 < 0 ;
3) Получается неравенство: ________
откуда
х <2.
4) Получается неравенство: 1,5 х − 3 ___
≥ − 4,5 ;
1,5 х ≥ ____
−1,5 ; х ≥ − 1.
решаем его _____
Задача 8. При каких значениях аргумента точки
графика функции у = −2 х −3,1 лежат не выше
точек графика функции у = 3 х + 2,4 ?
Решение. «Не выше» означает, что все значения
функции у = −2 х −3,1 либо _____________
меньше
значений функции у = 3 х + 2,4 , либо им равны:
≤ 3 х + 2,4;
−2 х −3,1 ___
−2 х − 3 х ≤ 2,4 + 3,1;
х ≥ − 1,1 .
IIIIIIIIIIIIII
●
−1,1
Ответ: при х ≥ −1,1.
− 5 х ≤ 5,5 : (−5);
х