a 0 - Институт космических исследований РАН

Институт Космических Исследований РАН
Геометрическое исследование
эволюции орбит ИСЗ,
обусловленной сжатием Земли, с
учетом гравитационных
возмущений от внешних тел
Виктория И. Прохоренко
vprokhor@iki.rssi.ru
ИКИ РАН, Семинар «Механика, Управление, Информатика», 24 ноября 2005
АННОТАЦИЯ
Рассматривается
задача
исследования
эволюции орбит ИСЗ под влиянием гравитационных
возмущений как от внешних тел (Луна, Солнце),
так и от нецентральности геопотенциала.
Большое внимание уделяется одному из аспектов
этой задачи - времени существования ИСЗ на этих
орбитах.
•
2
ВВЕДЕНИЕ (1)
• Исследования основаны на использовании вековых
эволюционных уравнений, полученных М.Л. Лидовым [1]
в 1961 году путем двукратно осреднения возмущающей
функции по среднему движению спутника и
возмущающего тела.
• В этих уравнениях геопотенциал представлен второй
зональной гармоникой, а возмущающая функция
ограниченной задачи трех тел – главным членом
разложения в ряд по a/a1, где a и a1 – большие полуоси
орбит спутника и возмущающего тела. Эта задача имеет
два первых интеграла: a = c0 и W = c (W – осредненная
возмущающая функция) и в общем случае не
интегрируема.
3
ВВЕДЕНИЕ (2)
• Для параметрического исследования характера
эволюции орбит ИСЗ в системе Земля – Луна (и
Солнце) будем использовать
параметр ,
характеризующий
отношение
возмущающего
ускорения от нецентральности геопотенциала к
возмущающему ускорению от третьего тела.
• В работе М.Л. Лидова и М.В. Ярской [2] 1963 года
показано, что при малых значениях параметра (a)
(обратно пропорционального значению a5), задача
сводится к интегрируемой двукратно осредненной
ограниченной задаче трех тел.
4
ВВЕДЕНИЕ (3)
•
Используя реальные динамические характеристики
рассматриваемой системы, мы получили значение
a = a1 = 5.6 RE (35700 км),
при котором (a) = 1 (RE = 6470.2– средний радиус
Земли).
• Граница a1 условно делит область значений большой
полуоси ИСЗ на две части: при a < a1, 1/(a) < 1
преимущественное
влияние на эволюцию оказывает
сжатие Земли, а в области a1 < a, (a) < 1 эволюция
орбитальных
элементов
происходит
под
преимущественным
влиянием
гравитационных
возмущений от третьего тела.
5
ВВЕДЕНИЕ (4)
• В области a1 < a условная граница
a3 ~ 10 RE (63700 км),
выделяет область a3 < a, в которой (a) < 0.05 является малым
параметром, и в которой действует асимтотика, соответствующая
задаче трех тел.
• В области a < a1 - граница
a2 ~ 4.45 RE (28300 км),
выделяет область a < a2, где малым параметром является 1/(a)<0.33.
В этой области действует асимтотика, соответствующая эволюции
угловых элементов под влиянием гравитационных возмущений,
обусловленных сжатием Земли.
• Наряду с областью, где (a) является малым параметром, мы
рассматриваем область, где малым параметром является 1/(a).
6
ВВЕДЕНИЕ (5)
• Для исследования эволюции орбит в области действия каждой из
асимтотик применяется единый геометрический метод.
• Аналитические решения вековых уравнений первого порядка
сопоставляются с численными решениями полной системы
дифференциальных уравнений, в которой используется модель
движения ИСЗ, учитывающая гравитационные возмущения от
геопотенциала до 4-ой гармоники JGEMT2 и от Луны и Солнца,
положение которых рассчитывается по теории Хилла-Брауна и
Ньюкома соответственно.
• Наряду с методическими примерами рассматриваются орбиты с
параметрами, близкими к параметрам орбит некоторых реальных
объектов.
• На следующих слайдах приводится система эволюционных
уравнений М.Л. Лидова и первые интегралы этой задачи.
7
Осредненная возмущающая функция
• Осредненная возмущающая функция
2
(
cos
ieq  1 / 3)
2
1
2
2
2
W  (1  )(  sin  sin i )   cos i  (a )
5
5
3 / 2
(1)
• Параметр (a), характеризующий отношение возмущающего ускорения
от нецентральности геопотенциала к возмущающему ускорению от
третьего тела
2a02 J 2 a1313 / 2 1
( a ) 
51
a5
(2)
• Обозначения: a0 - экваториальный радиус Земли, J2 – коэффициент при
второй зональной гармонике разложения гравитационного потенциала
центрального тела по сферическим функциям, a, e, i, ,  кеплеровские элементы,  = 1-e2; , 1– произведение гравитационной
постоянной на массу центрального и возмущающего тел; a1, 1 , ‘параметры орбиты возмущающего тела. Здесь и далее угловые
элементы с индексом eq измеряются относительно экватора планеты,
а без индекса - относительно орбиты возмущающего тел.
8
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
da
 0,
dn
d
  (1  )1 / 2 sin 2 i sin 2,
dn
di

  f11  , ,i   2 f12 I , eq ,ieq ,
dn

d

  f 21  , ,i   2 f 22 I ,  eq ,i ,ieq ,
dn

d
2
 f 31  , ,i   2 f 32 I ,  eq ,i ,ieq .
dn

(3)
n – безразмерное время, I - наклон плоскости орбиты
возмущающего тела к плоскости экватора планеты
dt
4  a1313 1
dn  , Q 
Q
15 1 a 3 / 2
(4)
9
Первые интегралы и функции 1, 2, 3, 
• Эволюционная система уравнений (3) имеет первые
интегралы:
a = c0 и W = c.
• Введем следующие обозначения:
1   cos 2 i ,
2
 2  (1  )(  sin 2  sin 2 i ),
5
(cos 2 ieq  1 / 3)
3 
,
3/ 2

(5)
(6)
(7)
• Тогда интеграл W = c можно выразить в виде
следующей линейной комбинации функций 1, 2, 3
1
c   2  1  3 .
5
(8)
10
I. Границы, выделяющие области с
преимущественным влиянием на
эволюцию угловых элементов каждого из
факторов в отдельности: сжатия Земли,
или возмущений от Луны и Солнца
11
Значения параметров (a) и 1/(a) для системы Земля – Луна –
Солнце и границы областей, в которых малыми являются
параметр (a) либо 1/(a)
1/ < 0.3
 < 0.05
В области 1/(a) < 0.3 (при a <4.5 RE ) эволюция угловых элементов
обусловлена преимущественным влиянием возмущений от сжатия
Земли, а в области (a) < 0.05 (при 10 RE < a) - преимущественным
влиянием возмущений от внешних тел
12
II. Асимптотика, соответствующая
преимущественному влиянию сжатия
Земли на эволюцию угловых элементов, в
области
a< 4.45 RE (28300 км),
(1/(a) <0.33)
13
Эволюция угловых элементов
• В рамках этой асимптотики может быть использовано решение
осредненной задачи, учитывающей вековые возмущения первого
порядка относительно J2, впервые полученное в 1957 г Д.Е.
Охоцимским, Т.М. Энеевым и Г.П. Таратыновой [3]. Эволюция
угловых элементов eq, eq в соответствии с этим решением, носит
монотонный характер и выражается следующими соотношениями,
которые мы приводим в форме представленной в работе Проскурина и
Батракова [4] (1960)
2
 5 cos ieq  1 d eq

 2
,
  2 cos ieq ,
dt

2
dt

deq
3 r02 J 2 

2 a7 / 2
(9)
• Интеграл (8) мы перепишем в следующем виде
(cos 2 ieq  1 / 3)
c
1
1

( 2  1 ) 
.
3/ 2
(a) (a)
5

(10)
14
Эволюция параметра 
• Для расчета эволюция параметра  во всей области
возможных значений параметра a будем
использовать одно и то же уравнение, второе
уравнение эволюционной системы (3).
• Из этого уравнения следует, что параметр 
достигает своих экстремальных значений при ,
лежащих на границах четвертей. При ,
проходящих через I и III четверти,  убывает, а при
, проходящих через II и IV,  возрастает.
• Разница состоит только в законе изменения самого
параметра  в различных областях значений a.
• На следующих слайдах будут представлены
формулы, выражающие закон изменения (t) в
рамках рассматриваемой асимптотики.
15
Эволюция аргумента перигея , измеренного
относительно плоскости эклиптики
• В соответствии с (9) зависимость  от времени
выражается соотношением
(t) = 1t +  ((2t+ eq0), ieq) + eq0,
(11)
где 1, 2 – угловые скорости эволюции элементов eq и eq
соответственно, а формулы для (eq, ieq,I) будут приведены
на следующем слайде.
• Угловые скорости выражаются следующими соотношениями:
1

5 cos
 ( a ,  )
где
2
ieq  1
2
, 2  (a ,) cos ieq ,
3 r02 J 2 
( a ,  ) 
2 a 7 / 2 2
16
Связь между угловыми элементами ieq, eq, eq отсчитанными
относительно плоскости земного экватора, и элементами i, ,
отсчитанными относительно плоскости эклиптики
Зависимость значений i,  от i eq, eq и прямого
восхождения восходящего узла eq определяется
следующими соотношениями:
cos i = cos eq sin ieq sin I + cos ieq cos I;
i = i - ieq;
(12)
cos  = (sin ieq cos I - cos eq cos ieq sin I) / sin i;
sin = - sin I sin eq / sin i;
 = eq + 
где I =23.5 - наклонение плоскости эклиптики к плоскости
земного экватора.
17
Зависимость i и  от eq при разных значениях ieq
Использованы значения ieq от 30 до 90 с шагом 20.
Красные линии, соответствуют значению ieq = 90.
Значения  показаны пунктирной линией.
i = ieq + i(ieq,eq,I)
 = eq + (ieq,eq,I)
(13)
18
III. Параметрический анализ
зависимости эволюции (t) от
наклонения орбиты ИСЗ к
плоскости земного экватора ieq
19
Зависимость от ieq безразмерных угловых скоростей  и ,
эволюции элементов eq и eq
 = - cos ieq,  = (5cos2ieq -1)/2
14
На оси ieq и на кривых  (ieq) и  (ieq) кружочком отмечены
точки, в которых =; значком ? - точка, в которой  =0, а
звездочкой – точки, в которых  = 0.
20
Восемь интервалов в области значений параметра ieq, в
которых имеют место различные соотношения между
значениями угловых скоростей эволюции угловых элементов
eq и eq под влиянием нецентральности геопотенциала
Обл.
Интервал значенийieq
Интервал /

A
B
(0  46.4)
(46.4  63.4 )
(-2,-1)
(-1,0)
>0
C
D
D’
C’
(63.4  73.1)
(73.1  90)
(90  106.9)
(106.9  116.6)
(0,1)
(1,∞)
(-∞,-1)
(-1,0)
<0
B’
A’
(116.6  133.6)
(133.6 180)
(0,1)
(1,2)
>0

<0
>0
21
Об особенностях эволюции  ( ) и в
зависимости от ieq0
 Можно сформулировать следующее правило
относительно особенностей эволюции  ( ) в
зависимости от знака угловой скорости эволюции eq:
 В случае отрицательного знака угловой скорости
эволюции eq, (при ieq0 < 63.4  или ieq 0 > 116.6)
минимальное значение  ( ) = min достигается в
точках = 0 и 180.
 В случае же положительного знака этой угловой
скорости (при ieq0 > 63.4  и ieq 0 < 116.6) минимальное
значение  ( ) = min соответствует точкам =  90.
IV. О
связи между эволюцией
параметра  и временем
существования ИСЗ
• Прежде чем переходить к конкретному примеру,
напомним сформулированный М.Л. Лидовым (1961)
критерий соударения спутника с центральным телом
конечного радиуса R
Критерий соударения спутника с центральным телом
Соударение спутника с центральным телом конечного радиуса R происходит при
0  hp (hp - высота перицентра орбиты спутника над поверхностью планеты.
Выражение для  = (1-e2), как функции от a*=a/RE и hp и критическое значение
*(a*), соответствующее hp=0.
 = (2a*-1+2 hp (a*-1)- hp2)/a*2
* = (2a*-1)/a*2
, *
1.
2.
3.
4.
5.
hp = 0,  = *
hp = 600 km
hp = 1 R
hp = 2 R
hp = 3 R
На рисунке показана зависимость  (a, hp) при разных значениях hp и *(a).
оси X показано значение a в радиусах Земли (RE) (1  a  25)
• По оси Y – значение  (a, hp) и * (a)
• По
24
Исследование характера эволюции на примере
орбит с фиксированными значениями ieq0 = 90,
hp0 = 600 km, a = 28510 km (4.47) RE и
значениями eq0 и 0, соответствующими
границам четвертей
V.
25
Движение  относительно границ четвертей при ieq0 = 90
Согласно соотношениям (14)
• eq< 0, eq = 0
•  = eq
III
II
следовательно
I
min =  () при  = 0 (180)
На рис. в области значений  зеленым
цветом отмечены II и IV четверти,
которым соответствует возрастание 
•
IV
• По оси X показаны значения eq
• По оси Y – значения 
• Стрелка показывает направление эволюции 
26
a
(RE)
0
4.5 .430
ieq0
0
eq0
90
0
0
Эволюция орбиты при
a =4.47 RE, ieq0 = 90,
eq0=0, 0=0
t = 64 года
0 соответствует точке минимума ()
a km
28510
hp0 км
600
eq0
0
27
a
(RE)
0
4.5 .430
ieq0
0
eq0
90
270
180
Эволюция орбиты при
a =4.47 RE, ieq0 = 90,
eq0=180, 0=270
0 соответствует точке максимума , его эволюция ведет к уменьшению  и
высоты перигея и заканчивается соударением спутника с Землей через 1.2 года
a km
28510
hp0 км
600
eq0
265
i0
113
28
a
(RE)
0
ieq0
0
eq0
10
.210
90
0
0
Эволюция орбиты при
ieq0 = 90, eq0=0, 0=0
a =10 RE
Расчет выполнен на интервале времеи 10 лет
Эволюция  носит либрационный характер
a km
67400
hp0 км
600
eq0
0
i0
67
29
VI. Продолжение
параметрического анализа
эволюции (t) от ieq
•Выбор в качестве начальной точки 0 точки минимума () позволяет
начинать эволюцию параметра  с той четверти, в которой происходит
возрастание  (и hp0).
• Это условие является достаточным для того чтобы обеспечить
возрастание высоты перицентра (не допустить ее потерю на начальном
этапе).
•Дальнейшее развитие событий зависит от eq0, с помощью которого
можно обеспечить более длительное суммарное время прохождения 
через четверти с четными (II или IV) по сравнению с временем его
прохождением через четверти с нечетными номерами (I или III).
•В четвертях с четными номерами в происходит возрастание  (вместе
с возрастание высоты перицентра).
30
Движение  относительно границ четвертей на одном
периоде изменения eq при ieq = 73.15, 0= 0, eq0 = 0
•Стрелки показывают направлениеизменения eq, 
eq / eq = -1;  = min () при  = 0 или180°
III
II
I
IV
•
Вертикальными штрихпунктирными
(сплошными) линиями отмечены
значения eq, при которых eq ()
пересекает границы четвертей
• Используем eq в качестве
безразмерного времени. Будем следить за
моментами прохождения функций (eq)
через границы четвертей.
•Значение функции () возрастает при
прохождении  через окрашенные
четверти (VI, II) и убывает при
прохождении  через неокрашенные
четверти (II, I).
• В зависимости от соотношения между
временами пребывания  в соседних
четвертях суммарное изменение  за это
время может оказаться положительным,
отрицательным или нулевым.
Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция  (eq)
31
Движение  относительно границ четвертей на одном периоде eq при ieq
= 73.15, 0= 0 и при разных значениях параметра eq0
III
II
Зависимость времен прохождения 
через четверти от начального
значения eq0. Эти значения
задаются на всем диапазоне
[-180, 180] с шагом 45.
I
IV
•
• min =  ()  = 0 (180)
Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция  (eq)
• Стрелками показано направление эволюции eq и 
32
Зависимость функции  (eq) от наклонения ieq орбиты к
плоскости земного экватора
1) ieq= 46.4, eq/eq= -1,
= min при =  90
2) ieq= 63.4, eq/eq= 0
= min при = 0
3) ieq= 73.1, eq/eq= 1
= min при = 0,180 
4) ieq = 90,
eq/eq = ∞
7) ieq= 133.6, eq/eq=1 6) ieq= 116.6, eq/eq= 0 5) ieq= 106.9, eq/eq= -1
= min при =  90
= min при = 180
= min при = 0,180 
33
Зависимость эволюции орбит от начальных
значений угловых элементов
при фиксированном значении a = 4.47 RE и
параметра 0 = 0.43
•
•
•
•
ieq0 = 90,
ieq0 = 73.1,
ieq0 = 63.4,
ieq0 = 46.4
34
a
a = 4.47 RE, 1/ =0.33,
hp0=600 km, 0 = 0.43
ieq0 0 eq0
в
б
а
90
б
73.1
в
г
c/
t
лет
270
180
-1.26 1.2
0
0
-1.10
64
0
0
-0.80
20
270
270
0.48
40
270
180
0.42
8
г
46.4
ieq0=46
35
Примеры эволюции
параметров (, ) при разных
значениях 0 и разных
начальных значениях угловых
элементов
при a= 10 RE (при =0.0529)
8
1
2
0
1 0.43
2
3 0.21
ieq0
73.1
0
eq0
0
4
6
5
-0.06
46.4
5
6
8
7
0.19
0.13
90
4
7
c
0.21
0
3
0.43
270
270
73.1
0
-0.05
-0.11
270 -0.34
180 -0.38
36
Расчет эволюции некоторых
типовых орбит
• Орбита типа «Молния»
• Орбита типа «ГЛОНАС»
• Орбита типа «GPS»
37
Эволюция в течение 10 лет орбиты
типа Молния
с начальными данными:
a = 26600 km (4.15 RE), e0=0.005,
0 = 0.999975,
ieq0 = 63.435, 0 = 270, eq0 = 0
=15.04, c/=-0.132
Эволюция , имеет
либрационный характер,
 возрастает
38
Эволюция в течение 10 лет орбиты
типа Молния с начальными
данными:
a = 26600 km (4.15 RE), e0=0.005,
0 = 0.999975, ieq0 = 63.435, 0 =
270, eq0 =180 =15.04, c/=-0.125
 убывает
39
Эволюция в течение 40 лет орбиты
типа GLONAS
с начальными данными:
a = 25505 km (3.98 RE),
e0=0.005, 0 = 0.999975,
ieq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 = 0
=5.17, c/=-0.13
 убывает
40
Эволюция в течение 40 лет
орбиты типа GLONAS
с начальными данными:
a = 25505 km (3.98 RE),
e0=0.005, 0 = 0.999975,
ieq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 = 180
41
Эволюция в течение 40 лет
орбиты типа GPS
с начальными данными:
a = 26562 km (4.16 RE),
e0=0.005, 0 = 0.999975,
ieq0 = 55, 0 = 270, eq0 = 270
=4.22, c/=0.0088
42
Эволюция в течение 40 лет
орбиты типа GPS
с начальными данными:
a = 26562 km (4.16 RE),
e0=0.05, 0 = 0.999975,
ieq0 = 55, 0 = 0, eq0 = 0
=4.22, c/= 0.03
43
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников //
Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции
по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва 20-25
ноября 1961. М: Астрономический Совет АН СССР, 1963. С. 119-134
Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты
спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты
// Космические Исследования 1963. XII. 2. с. 155-170
Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М., Таратынова Г.П. Определение времени
существования искусственного спутника Земли и исследование вековых
возмущений его орбиты // УМН, 1957. LXIII. 1a. C. 33-50.
Проскурин В.Ф., Батраков Ю.В. Возмущения в движении искусственных
спутников, вызываемые сжатием Земли // “Бюл. ин-та теор. Астрон. АН
СССР”, 1960, 7, № 7, С. 537-548, (1960, 11029)
Вашковьяк М.А. О периодически эволюционирующих спутниковых орбитах в
двукратно осредненной задаче Хилла при некомпланарности плоскостей движения
возмущающей точки и экватора сжатой планеты // Письма в АЖ, 1996. 22. № 12. С.
950-960.
Вашковьяк М.А. Построение семейств периодически эволюционирующих
спутниковых орбит в областях примерно равного полярного сжаьия планеты и
притяжения внешнего тела // Письма в АЖ, 1997. 23. № 3. С. 29-235.
44