перепутанные состояния - Самарский конкурс

XII Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция
научных работ по оптике и лазерной физике, САМАРА 12-16 ноября 2014 г.
ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В КВАНТОВОЙ ОПТИКЕ
Башкиров Е.К.
Самарский государственный университет
14 11 2014
СОДЕРЖАНИЕ
 Введение
 Основные понятия квантовой теории. Чистые состояния.
 Кубит. Преобразования кубитов
 Смешанные состояния
 Количественные меры перепутывания
 Эксперименты по генерации перепутанных состояний ридберговских
атомов в резонаторах
 Применение перепутанных состояний
ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Перепутанные состояния - Э.Шредингер «Cовременное состояние квантовой механики» 29 ноября 1935г .
А.Эйнштейн, Б.Подольский и Н.Розен «Может ли квантово-механическое описание реальности быть полным?» (15 мая
– ЭПР состояния |   1 (|,  |,  ).
2
Перепутанное (запутанное) состояние— это состояние составной системы, которую нельзя разделить на
1935г.)
отдельные, полностью самостоятельные и независимые части. Оно является несепарабельным (неразделимым).
Запутанность и несепарабельность — тождественные понятия.
Квантовая запутанность возникает в системе, состоящей из двух и более взаимодействующих подсистем (или
взаимодействовавших ранее, а затем разделенных), и представляет собой суперпозицию макроскопически
различимых состояний.
В таких системах флуктуации отдельных частей взаимосвязаны, но не посредством обычных классических
взаимодействий, ограниченных, например, скоростью света, а посредством нелокальных квантовых
корреляций. В этом случае изменение одной части системы в тот же момент времени сказывается на
остальных ее частях (даже если они разделены в пространстве, вплоть до бесконечно больших расстояний).
Разделить на строго независимые части можно систему, части которой находятся в сепарабельном
(незапутанном) состоянии (мера запутанности равна нулю). Такое разделение возможно только в том случае,
если части системы никогда не взаимодействовали друг с другом. Любой объект, который взаимодействует со
своим окружением, находится с ним в запутанном состоянии
Декогеренция — процесс, при котором нарушается когерентность суперпозиционного состояния в результате
взаимодействия системы с окружающей средой. При этом уменьшается квантовая запутанность. В результате
подсистемы начинают обосабливаться, отделяться друг от друга, вплоть до полной независимости
(сепарабельности) Другой стороной этого процесса является возрастание меры запутанности системы с
окружением. Запутанность можно «концентрировать», увеличивать. Этот процесс называется рекогеренцией, или
дистилляцией запутанности.
Рис. заимствован из обзора Килина С.Я. УФН, 1999
ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Принцип суперпозиции состояний: если система может находиться в различных состояниях, то она
способна находиться в состояниях, которые получаются в результате одновременного «наложения» друг на
друга двух или более состояний из этого набора.
В случае суперпозиции 2 состояний система имеет два различных состояния в качестве потенциально
возможных локальных своих проявлений. Два способа проявить локальные состояния:
• произвести прямое измерение системы. Происходит разрушение суперпозиции состояний и
«проявляется» одно из потенциальных состояний системы в его локальном виде (декогеренция);
• произвести унитарную (обратимую) операцию. Сохраняется возможность снова перевести систему в
суперпозиционное состояние. В первом случае такая возможность утрачивается. Такие унитарные
операции сейчас применяются для манипулирования кубитами в квантовом компьютинге.
Перепутывание в макроскопических системах
1. Перепутывание лазерным импульсом спиновых степеней свободы двух образцов с газообразным Сs
(Julsgaard B. et al. Nature, 2001).
2. Проявление перепутывания в магнитной восприимчивости магнитной соли LiHo0.045Y0.955F4 (Ghosh
S. et al. Nature, 2003) (левый рисунок) и карбоксилатов металлов при высоких температурах (Souza A.M.
et al., Phys. Rev. B, 2009 (правый рисунок).
3. Квантовые эффекты в гигантских органических молекулах (>1000 внутр. степ. свободы) Gerlich et al. Nature
Photonics, 2011
и многие другие.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. ЧИСТЫЕ СОСТОЯНИЯ
Физический объект (система) характеризуется вектором состояния 
Для векторов состояния определено скалярное произведение 
Нормировка  = 1;  определен с точностью до постоянного фазового множителя eia (состояния  и eia
физически тождественны); ||  1.
Переход от одного состояния к другому описывается оператором:   A
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ: если  и  – возможные состояния системы, то она может находиться и в
суперпозиционном состоянии a + b  , |a|2 + |b|2 = 1.
Физическая величина представляется самосопряженным (эрмитовым) оператором Q :
Q = (Q)*
Ее возможные значения – собственные значения (СЗ) оператора: Q = q
Величина Q имеет определенное значение qj только если система находится в одном из собственных состояний (СС)
оператора Q с собственным вектором (СВ) j.
СВ эрмитова оператора образуют базис комплексного гильбертова пространства состояний
  a j  j
Основные операции:
 aj 1
2
проектирование на : Т = , Т  = ();
Эволюция состояния: (t) = U(0),
Уравнение Шредингера
i
U–1 = U† – унитарный оператор

 H 
t
i

U  exp   Hdt 


ИЗМЕРЕНИЯ В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
Единичное измерение, "нацеленное" на определение Q , может дать только СЗ оператора Q.
Если состояние системы  не является СС оператора Q, при измерении может быть получено любое СЗ qj.
Редукция (коллапс): при измерении величины Q исходное состояние  мгновенно переходит ("проектируется") в
некоторое собственное состояние,
  j j.
Исходное состояние разрушается и не может быть восстановлено.
Вероятность обнаружить систему в СС j, если она до измерения находилась в состоянии :
"квадрат длины" проекции j|2 = |аj|2
Среднее (ожидаемое) значение величины Q в состоянии :
Q = Q| = Sp(Q)
Обобщение: Если система находится в состоянии , измерение может обнаружить ее в другом состоянии ;
вероятность ||2.
Неполная различимость квантовых состояний: различимыми являются только ортогональные состояния
(например, СС эрмитова оператора).
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ: если  и  – возможные состояния системы, то она может находиться и в
суперпозиционном состоянии
|  = a + b  ,
|a|2 + |b|2 = 1.
Интерференция световых волн
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА 2 ЩЕЛЯХ
10
А.Томонура и др. J.Amer.Phys. V.57. P.117. 1989
100
3000
20000
70000
КУБИТ
Система с двумя состояниями: 2-уровневый атом, спин, поляризованный фотон, …
В классическом случае ячейка может быть в одном из двух состояний: e или g (полюса сферы).
В квантовом – состояния e и g образуют ортонормированный базис 2-мерного гильбертова пространства ячейки.
Она может находиться в
любой суперпозиции базисных состояний, т.е.
 = ae + bg,
a2 + |b2 = 1.
e и g кодируются различимыми (ортогональными) и стационарными состояниями квантовой системы
e
e
Сфера
Блоха
|g
|g
Кубит содержит больше «степеней свободы» = большее количество информации.
Но извлечь можно лишь часть информации: при измерении можно получить только проекции состояния (спина) на выбранное
направление. Остальные степени свободы могут использоваться при обработке информации.
НОБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯ ПО ФИЗИКЕ ЗА 2012
The Nobel Prize in Physics 2012 was awarded jointly to Serge Haroche
and David J. Wineland "for ground-breaking experimental methods that
enable measuring and manipulation of individual quantum systems"
ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ОДНОАТОМНЫМИ МАЗЕРАМИ И ЛАЗЕРАМИ
n=63
Микроволновый
Atomic beam oven
накачка
Однофотонный импульс
n=61
Cavity
Field
ionisation
Laser
excitation
Walther et al.
Haroche et al.
Видимый
2
Однофотонный импульс
P1/2
накачка
2
S 1/2
Kimble et al. Nature 425, 268 (2003)
Rempe et al.
40Ca+
Lange et al., Nature 414, 49 (2001) and
Nature 431, 1075, (2004)
2
D 3/2
ПРИМЕРЫ КУБИТОВ В ОДНОАТОМНЫХ МАЗЕРАХ И ЛАЗЕРАХ (АТОМЫ)
В ЛОВУШКЕ ПАУЛЯ (ИОНЫ)
85
6P3/ 2
Rb
Cs
6P3/2
63P3/ 2
61D3/ 2
Одноатомный мазер: Walter H. et al.
6S 3/2
Одноатомный лазер: Kimble H. et al.,
2003
Ион в ловушке Пауля
Параметры одноатомных мазеров и лазеров
ω
Walther et al. 1985,1990 21,5 GHz
Haroche et al.1994
51 GHz
Kimble et al. 1994
2440 ТGz
Rempe et al.* 2005
Kimble et al. 2003
Lange et al.** 2004
Feld et al.
1994
ω:
g:
k:
g:
g/2p
7 kHz
48 kHz
7.2 MHz
5 MHz
16 MHz
1 MHz
340 kHz
k/2p
g/2p
0.4 Hz
500 Hz
400 Hz
5 Hz
0.6 MHz
5 MHz
5.0 MHz
3 MHz
4.2 MHz
2.6 MHz
0.9 MHz 1.7 MHz
190 kHz 50 kHz
частота рабочего перехода в атоме
константа атом-фотонного взаимодействия
скорость утечки отонов из резонатора
время спонтанного излучения атома
ОПИСАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КУБИТА
Описание единичного кубита
2-мерное гильбертово пространство с базисом e, g
 0
g  0  e  1 g   
1
1
e  1 e  0  g   
0
Волновая функция кубита эволюционирует в 2-мерном гильбертовом пространстве
a
  a e b g   
b
Скалярное произведение
a 
k l   ak* bk*   l   ak*al  bk*bl
 bl 
Операторы, действующие на состояния кубита – 22 матрицы
q   a   q a  q12b 
q
Q    11 12      11

 q21 q22   b   q21a  q22b 
Все возможные состояния связаны унитарными преобразованиями
  U
, c2 + t 2 = 1
U=
Разные состояния кубита не всегда различимы.
 a1 


1
b 
При измерении состояния
есть возможность
 1
обнаружить другое состояние
a 
2   2 
 b2 
с вероятностью
P  2 1
2
Различимы только ортогональные состояния, например, собственные состояния эрмитовых операторов.
ГЕНЕРАЦИЯ СУПЕРПОЗИЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ
В ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМАХ
Гамильтониан резонансного взаимодвухуровневого атома с классическим
лазерным полем
e
   i ( t  )
H int 
( e
   ei ( t  ) ),
2
где
 -
константа связи двухуровневого атома и внешнего поля.
Волновая функция двухуровневого атома
|  (t )  C0 (t ) | e  C1 (t ) | g ,
g
C0 (t )  C0 (0)cos(t / 2)  ie  iC1 (0)sin(t / 2),
C1 (t )  ie  iC0 (0)sin( / 2t )  C1 (0)cos(t / 2),
Если, например, t  p / 2 ( p / 2 - импульс), а атом в начальный момент времени был
приготовлен в возбужденном состоянии, то волновая функция двухуровневого атома
преобразуется как
1
| e 
(| e  ie  i | g  )
2
| e
1
(| e  i | g  )
2
В случае   0 такое преобразование соответствует повороту
на сфере Блоха
| g
ЧИСТЫЕ ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Чистым состоянием называется такое состояние системы, которое может быть описано вектором состояния.
Несепарабельным или чистым перепутанным состоянием называется такое состояние составной квантовой
системы, волновую функцию которого нельзя представить в виде тензорного произведения волновых функций
составляющих ее частей A, B,… ,
|  |  A  |  B
. . .
Если волновая функция может быть представлена в виде произведения такого тензорного произведения, это
означает, что система не содержит вообще никаких корреляций – ни классических, ни квантовых, поскольку
усреднение любых операторов в этом случае производится независимо для каждой составной части.
Следовательно, чистые квантовые состояния бывают либо квантово-коррелированными (запутанными), либо
вообще некоррелированными.
Пример перепутанного состояния - ЭПР пара спинов
|  
1
2
(|,  |,  ).
Максимально запутанным состоянием двухсоставной квантовой системы (состоящей из подсистем А и В)
называются чистые состояния, для которых частичные (редуцированные) матрицы плотности пропорциональны
единичной матрице.
 A  TrB ,  B  TrB 
Для системы двух двухуровневых атома имется набор из 4 максимально перепутанных двухкубитных
состояний Белла
|   
1
2
|   
(| e1 , g2  | g1 , e2  ),
1
2
(| e1 , e2  | g1 , g 2  ).
Пример: для перепутанного вектора состояния всей системы вида |   a | e1 , e2   b | g1 , g 2  в
двухкубитном базисе | e1 , e2 , | e1 , g 2 , | g1 , e2 , | g1 , g 2  редуцированные матрицы плотности подсистем
| a |
 A  B  
 0
2
Кубиты максимально перепутаны при условии
0 

| b |2 
| a || b |
МЕРА ПЕРЕПУТЫВАННИЯ ДВУСОСТАВНЫХ
СИСТЕМ В ЧИСТОМ СОСТОЯНИИ
1. Энтропия фон Неймана
E ( )  S A  S B , S
A( B )
 TrB ( A) log2 ,  |  | S A( B )  TrB ( A) ln 
Энтропию фон Неймана можно представить в виде E ()   i log 2 i , где
- собственные значения
i

двухсоставной матрицы плотности. Для сепарабельных состояний собственное значение
одно и равно 1.
i
Для чистых состояний энтропии S  S  0 . В случае запутанных состояний редуцированные матрицы
A
B
плотности  A и  B обладают ненулевой квантовой энтропией.
Пример: Для перепутанного состояния двух двухуровневых атомов |   a | e1 , e2   b | g1 , g 2 
2
2
собственные значения | a | | b |  1/ 2
и энтропия
отличные от нуля
E ()  (| a |2 ln | a |2  | b |2 ln | b |2 )
Для белловских состояний 1 | a | ,  2 | b |
таких состояний максимальна и E  ln 2
2
2
и энтропия равная 1.
Если E  Sp   ln   , то энтропия для
2. Линейная атомная энтропия “purity” (например для описания взаимодействия двухуровневого атома A и моды
поля F)
E ( )  TrB 2A
или
E ( )  1  TrB 2A
Если атом находится в чистом состоянии (состояния атома и поля неперепутаны) “purity” E()  1 . Для
смешанного состояния атома с равными вероятностями  A  (1 / 2) | e  (1 / 2) | g 
E()  1/ 2
“purity”
3. Степень перепутывания. (degree of entanglement)
Запишем перепутанное состояние
|   a | e1 , e2   b | g1 , g 2 
Величина
Если

называется степенью перепутывания.
  1 , то E принимает максимальное значение
|  
в виде
E  ln 1   2  
 ln 
2
1  2
2
.
| e1 , e2    | g1 , g 2 
1  2
АТОМ-ПОЛЕВОЕ ПЕРЕПУТЫВАНИЕ В МОДЕЛИ ДЖЕЙСА-КАММИНГСА
(КОГЕРЕНТНОЕ ИНТЕНСИВНОЕ РЕЗОНАТОРНОЕ ПОЛЕ)
Линейная атомная энтропия
S A (t )  Tr F 2A (t )
Атомная или полевая энтропия (
S A  SF )
S j (t )  Trj (t )ln (t ) ( j  A, F )
n  49
n  25
n  49
Gea-Banacloche. Phys.Rev.Lett. V.65. 1990. Среднее число фотонов в
моде
Phoenix S.J.D., Knight P.L. Phys.Rev. V.44. 1991. Среднее число
фотонов в моде
КРИТЕРИИ ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДЛЯ ДВУХКУБИТНЫХ СИСТЕМ
В СМЕШАННОМ СОСТОЯНИИ
Смешанным состоянием называется такое состояние системы, которое не может быть описано одним вектором
состояния, а может быть представлено только матрицей плотности. Например два атома, взаимодействующих с модой
моля, так что вся система в целом описывается волновой функции. Но атомы находятся в смешанном состоянии.
Смешанное состояние квантовой системы, состоящей из двух подсистем, является перепутанным, если оно
несепарабельно, т.е. его нельзя записать в виде:
k
A
B
i i
i
i
i
i
i
где iA , iB - (смешанные) состояния двух подсистем.
   p    , p  0,
p
1
Замечание. Часто говорят, что сепарабельные состояния являются “распутанными” (disentangled).
Критерии перепутанности подсистем: Переса-Городецких или PPT (positive partial transpose) критерий
сепарабельности (и основанная на PPT-критерии мера запутанности— отрицательность (negativity);
согласованность (concurrence); относительная энтропия запутанности (relative entropy of entanglement);
мера, основанная на ранге Шмидта; мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства
(расстоянии Шмидта); квантовое разногласие (discord) и др.
Отрицательность (negativity)
А.Перес доказал, что необходимым условие сепарабельности двухкубитной системы состоит в том, что некая
дополнительная матрица T1 , полученная путем траспонирования матрицы плотности по индексам только одного
кубита, имеет только неотрицательные собственные значения. Для перепутанного состояния имеются
отрицательные собственные значения, а для максимально перепутанных чистых состояний такая матрица имеет
всего одно отрицательное значение равное (-1/2). При этом модуль суммы отрицательных собственных значений
максимален. . В результате А. Перес и братья Хородецкие предложили использовать параметр
 = 2 i ,

гдеi −
i
отрицательные собственные значения транспонированной по переменным одного кубита матрицы
плотности. Для сепарабельных состояний   0
максимально перепутанного состояния  . 1
Для случая   0 кубиты - в перепутанном состоянии. Для
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ: ПРИМЕР
Рассмотрим систему из двух двухуровневых атомов. В двукубитном базисе матрица плотности
 11


 =  21
 31

  41
12
 22
32
 42
13
 23
33
34
14 
 24 
.
34 

 44 
Частично транспонированная по переменным одного кубита матрица плотности
 11


=  21
 13

  23
 T1
12
 22
14
 24
31
 41
33
 43
32 
 42 
.
34 

 44 
Пример: атомы находятся в белловском состоянии вида |   a | e1 , e2   b | g1 , g 2 
Матрица плотности такого состояния
 | a |2

0
 = 
0

 ba*

ab* 

0 0
0 
.
0 0
0 

0 0 | b |2 
0 0
Частично транспонированная по переменным одного кубита матрица плотности
 T1
 | a |2

 0
=
 0
 ba*

0
0
0 ba*
0 0
0
0
0 

0 
.
0 
| b |2 
Единственное отрицательное собственное значения частично транспонированной по переменным одного кубита
матрицы плотности (  | a || b | ). Тогда   2 | a || b |. Для белловского состояния   1
КРИТЕРИИ ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДЛЯ ДВУХКУБИТНЫХ СИСТЕМ
В СМЕШАННОМ СОСТОЯНИИ (СОГЛАСОВАННОСТЬ)
Согласованность (concurrence)
Вуттерс предложил аналитический метод для вычисления согласованности двухкубитных систем, основанный на
применении так называемого “spin-flip” преобразования, или матрицы “перевернутых спинов”, которая определяется
следующим образом:
*
  ( y   y )  ( y   y ),
где  – матрица, комплексно-сопряженная исходной двухкубитной матрице плотности
стандартная матрица Паули
*

,а
y -
После того, как найдена матрица  , необходимо найти произведение матриц   . Полученная в итоге
матрица является неэрмитовой, но имеет вещественные и неотрицательные собственные значения. Тогда
согласованность C может быть найдена из выражения
С  max{ 1   2  3  3 , 0},
где
i
- собственные значения матрицы
 , расположенные в убывающем порядке.
Если есть только два ненулевых собственных значения, то
С  1   2
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОГЛАСОВАННОСТИ: ПРИМЕР
Пример: атомы находятся в белловском состоянии вида |   a | e1 , e2   b | g1 , g 2 
Матрица плотности такого состояния
 | a |2

0
 = 
0

 ba*

ab* 

0 0
0 
.
0 0
0 

0 0 | b |2 
0 0
  0 i 
 0 i    0
i 
 0

 
 0 i   0 i    i 0 
 i 0   0
y  y  

 i 0   

0
i
0
0

i
0

i





 

 i 

0

 i 0    1
i
0



 

Тензорное произведение
Матрицы
 | b |2

0
 = 
0

 ba*

Матрица плотности

ab* 

0 0
0 
.
0 0
0 

2
0 0 |a| 
0 0
и
0
0
1
0
0 1
1 0 
0 0

0 0
 2 | a |2 | b |2

0
  = 
0

 2 | b |2 ba*

имеет всего одно ненулевое собственное значение, равное
Согласованность
Для белловского состояния
С  2|a| |b|
С 1
0 0 2 | a |2 ab* 

0 0
0

.
0 0
0

2
2 
0 0 | 2a | | b | 
  4 | a |2 | b |2
КВАНТОВАЯ ПАМЯТЬ В РЕЗОНАТОРЕ
Первый атом с помощью классического микроволнового лазерного
p/ 2
-
импульса в резонаторе B приготавливается в суперпозиционном
состоянии
1
| 1  
(| e1  | g1  )
2
Гамильтониан взаимодействия атома с полем H I  g (  a  a   )
Время взаимодействия первого атома с пустым резонатором t  p / 2
Haroche S. et al. Phys. Rev. Lett. V. 79. №4. 1997
Температура сверхпроводящего резонатора 0,
6 К (число тепловых фотонов меньше, чем
0,05).
Частота резонаторная мода TEM900 близка к
частоте атомного перехода в 51,1 ГГц
(расстройка 170 кГц).
Вакуумная частота Раби
 / 2p
=48 кГЦ.
Время жизни фотона в резонаторе 100 мкс,
что намного больше времени запаздывания
второго атома T =30 мкс
Расстояние между атомами, последовательно
пролетающими резонатор, составляло около
1,5 см).
Степень перепутывания состояний атомов
составляла примерно 63 % от максимальной.
Компонента атомного состояния | g1  не влияет на состояние
резонатора, а компонента | e1  с амплитудой вероятности (-i) приводит к
излучению фотона и переходу атома в основное состояние.
В результате
состояние системы
.
(| 0  i |1 )
| 1 ,0 | g1 
.
2
где | 0 и |1 − состояния резонаторного поля без фотонов и
с одним фотоном в моде соответственно.
После взаимодействия 1 атом оказался в основном состоянии, а поле в суперпозиционном, т.е. квантовая информация атомного кубита
записана на полевой кубит.
Второй атом считывает информацию. Он влетает в резонатор в
состоянии | g 2  и взаимодействует с резонатором тоже время t. 2 атом
не влияет на вакуумную компоненту поля, но поглощает фотон и
переходит в состояние | e1  с амплитудой (-i). В результате состояние
всей системы
(| g  | e  )
(| 0  i |1 )
| g1 , g2 
2
| g1 
2
2
2
| 0.
Информация с первого кубита была записана на второй, а поле
вернулось в исходное состояние.
Для регистрации состояния в резонаторе R ко второму атому
прикладывают классический p / 2- импульс с той же фазой и частотой,
которые воздействовали на первый атом в резонаторе B.
1/ 2(| e  ei | g)
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДВУХ АТОМОВ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО
ПРОЛЕТАЮЩИХ ПУСТОЙ РЕЗОНАТОР
H I  g ( 1 a  a  1 )
Первый атом влетает в резонатор С в возбужденном состоянии
.
| e1 
Время взаимодействия
t1  p / 2 ( p / 2 - импульс),  −
вакуумная частота Раби
В результате такого взаимодействия первый атом с вероятностью ½
останется в | e1  и покинет пустой резонатор и с вероятностью ½
испустит один фотон и перейдет в основное состояние | g1 .
Конечное состояние всей системы после первого взаимодействия
|  ' 
Haroche S. et al. Phys. Rev. Lett. V. 79. №1. 1997
Температура сверхпроводящего резонатора 0,
6 К (число тепловых фотонов меньше, чем
0,05).
Частота резонаторная мода TEM900 близка к
частоте атомного перехода в 51,1 ГГц
(расстройка 170 кГц).
Вакуумная частота Раби
 / 2p
=48 кГЦ.
Время жизни фотона в резонаторе 112 мкс,
что намного больше времени запаздывания
второго атома T =37 мкс
Расстояние между атомами, последовательно
пролетающими резонатор, составляло около
1,5 см).
Степень перепутывания состояний атомов
составляла примерно 63 % от максимальной.
1
2
(| e1 , g2 ,0 | g1 , g2 ,1),
где | 0 и |1 − состояния резонаторного поля без фотонов и
с одним фотоном в моде соответственно.
Второй атом влетает в резонатор в основном состоянии | g 2 .
Время взаимодействия второго атома с полем t2  p ( p -импульс).
Если первый атом покидает резонатор пустым, то второй атом также
не изменяет своего состояния и состояния резонатора. Если первый
атом испускал фотон в резонатор, то второй атом поглощал его с
единичной вероятностью и лереходил в возбужденное состояние.
Конечное состояние системы
|  
1
2
(| e1 , g2  | g1 , e2  ) | 0.
Пара атомов находится в максимально перепутанном
белловском состоянии
n
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДВУХ АТОМОВ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО
ПРОЛЕТАЮЩИХ РЕЗОНАТОР С ТЕПЛОВЫМ ПОЛЕМ (ТЕОРИЯ)
Атомы влетают в резонатор c одинаковой скоростью с
запаздыванием T > t, где t – время пролета атома через
резонатор. Начальное состояние атомов
Поле первоначально приготовлено в одномодовом
тепловом состоянии
F (0)   pn  nn 
n
n
n
pn 
(n  1)n 1
n – среднее число тепловых фотонов в резонаторе.
1. Однофотонные переходы. Атомы приготовлены
первоначально в неперепутанном когерентном состоянии
|  A (0)  cos 1 | e1   sin 1 | g1 ,
Зависимость согласованности от времени
пролета атомов через резонатор. Второй атом
находится в возбужденном состоянии. Среднее
число тепловых фотонов n  0,5
1
|  A (0)  cos 2 | e2   sin 2 | g 2 
2
Гамильтониан взаимодействия атомов с
полем
H I  g (  a 2  a 2  ).
Зависимость согласованности от времени
пролета атомов через резонатор. Оба атома
первоначально находятся в возбужденном
состоянии
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДВУХ АТОМОВ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО
ПРОЛЕТАЮЩИХ РЕЗОНАТОР С ТЕПЛОВЫМ ПОЛЕМ (ТЕОРИЯ)
2. Однофотонные переходы. Атомы приготовлены
первоначально в перепутанном белловском состоянии
состоянии
|  A A (0)  cos  | e1 g2   sin 1 | g1e2 
1 2
Зависимость согласованности от времени
пролета атомов через резонатор.. Среднее
число тепловых фотонов n  0,1
Параметр
  p / 4 (сплошная линия),   p / 6
(точечная)   p /12
(штрих-пуктирная)
2. Двухфотонные переходы. Атомы приготовлены
первоначально в неперепутанном когерентном состоянии
|  A (0)  cos 1 | e1   sin 1 | g1 ,
1
|  A (0)  cos 2 | e2   sin 2 | g 2 
2
Зависимость согласованности от времени
пролета атомов через резонатор.. Среднее
число тепловых фотонов n  0,5 . Параметр
  p / 3 (сплошная линия),   p / 2
(штриховая). Второй атом приготовлен в
возбжденном состоянии.
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ АТОМОВ ЗА СЧЕТ РЕЗОНАНСНОГО
ДИПОЛЬ_ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Два идентичных двухуровневых атома находятся на расстоянии R. С
учетом диполь-дипольного взаимодействия состояния системы
атомов есть состояния Дикке
|  e  | e1 , e2  , |  g  | g1 , g 2  ,
|  s   (1 / 2)(| e1 , g 2  | g1 , e2  ),
|  a   (1 / 2)(| e1 , g 2  | g1 , e2  ).
Диполь-дипольное взаимодействие приводит к расщеплению
изначально вырожденных по энергии состояний Дикке|  s  и |  a  .
Величина расщепления


g / R ,
3
3
где - длина волны, соответствующая частоте перехода в атомах,
- скорость радиационного распада в двухуровневых атомах.
g
Схема энергетических уровней двух дипольно
взаимодействующих атомов.
Зимствован из обзора Баргатин И.В. и др. УФН, 2001
Если R   расщепление  превышает суммарную радиационную ширину однофотонных уровней Дике и
эти уровни разрешаются при лазерном возбуждении.
Тогда возможно селективно переносить населенность из основного состояния в одно из максимально
перепутанных состояний |  s  или |  a  с помощью резонансного p - импульса.
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ АТОМОВ В РЕЗОНАТОРЕ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ
(ЗА СЧЕТ ДИПОЛЬ_ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ)
Начальное состояние атомов
| e1 , g 2 
Энергия диполь-дипольного взаимодействия
W ( R, u )  [rr
 3(ru
)(r2u )] / 4p0 R ,
1 2
1
3
где r1 и r2 - радиусы векторы валентных электронов в рибреговских
атомов, R - расстояние между атомами и u - единичный вектор вдоль
прямой соединяющей атомы

Конечное состояние атомов
|   cos  | e1 , g 2   ei sin  | e2 , g1 ,
где
  (1 / )   e1 , g 2 | W ( R(t ), u (t ) | e2 , g1  dt
Haroche S. et. al. Phys.Rev.Lett. V. 87. 2001.
- параметр смешивания состояний при столкновении и   ( R, u ). В вакууме в условиях эксперимента
т.е. перепутывание практически отсутствовало.
0
10 4
,
В эксперименте обнаружено, параметр смешивания  в резонаторе на 4 порядка превосходил
соответствующую величину в вакууме.
Резонатор содержал две TEM900 моды с взаимно перпендикулярными поляризациями. Частоты мод отстраивались от
частоты атомного перехода  / 2p  51 Ггц
.
ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПЕРЕПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ
• квантовые вычисления
• квантовая криптография
• квантовая телепортация
• и др.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!