О применении качественных методов теории возмущений при выборе орбит искусственных
реклама
Институт космических исследований РАН О применении качественных методов теории возмущений при выборе орбит искусственных спутников Земли с учетом задач проектов и времени баллистического существования спутников Предварительные итоги работы, которая начиналась при активном участии Б.И. Рабиновича. Виктория И. Прохоренко vprokhorenko@mail.ru ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 29 октября 2014 предисловие Моё внимание к задачам, связанным с временем баллистического существования впервые привлёк профессор Павел Ефимович Эльясберг в 1980 году. А заняться этими задачами вплотную довелось лишь спустя 20 лет, когда ПЕ с нами уже не было. С самого начала этой работы большую поддержку мне оказывал профессор Борис Исаакович Рабинович, обладавший широким кругом научных интересов и владевший высшей формой научного мышления: мышлением в аналогиях, как говорил его друг, профессор Семён Львович Цыфанский. БИ с большим интересом включился в задачу, давал ценные советы, помогал преодолевать трудности, оказывал моральную поддержку, окрылял и верил в успех. За последние годы результаты проделанной работы приобрели достаточно законченный вид. Новые космические проекты, принесли новый опыт. Сегодня мне было бы чем порадовать Бориса Исааковича. Мой доклад будет своего рода отчётом о проделанной работе. Информация об орбитах спутников серии Прогноз, опубликованная в The Encyclopedia of Soviet Spacecraft. Douglas Hart, 1987. Прогноз 1 Прогноз 2 Прогноз 6 Прогноз 7 Носитель A-2e A-2e A-2e A-2e Полигон Тюратам Тюратам Тюратам Тюратам Дата старта 14/IV/1972 29/VI/1972 22/IX/1977 30/X/1978 Вес 845 кг 845 кг 910 кг 910 кг Апогей 200 000 км 200 000 км 197 900 км 202 965 км Перигей 950 км 550 км 498 км 483 км Наклонение 65 65 65 65 Период 4.04 сут. 4.04 сут. 3.95 сут. 4.08 сут. Судя по этим данным, орбиты отличались только датами (и временем) старта, почему же у этих орбит оказалось столь большое отличие во времени баллистического существования. Время существования 8 лет 8.3 лет 42 года Давайте разберемся, в чем тут дело? 2 года Семейство орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ- 1- 7, стартовавших в 1972 – 1978 с фиксированными начальными значениями орбитальных элементов: большой полуоси a0, фокального параметра 0 и угловых элементов ieq0, eq0 и свободным значением прямого восхождения восходящего узла eq0. Эволюция геоцентрического перигейного расстояния r/R в функции времени r/R r = a (1 - e) - перигейное расстояние, R = 6378.4 км – экваториальный радиус Земли a0 = 100 000 км, 0 = 1 – e02 = 0.126, ieq0=65, eq0=290 P-№ 1 2 3 4 5 6 7 eq0 252 10 198 158 160 49 154 Все орбиты этой серии, кроме орбиты ПРОГНОЗ-6, закончили своё баллистическое существование в конце первого периода вековой составляющей эволюции под влиянием внешних гравитационных возмущений. Орбиты спутников ПРОГНОЗ-1 и -2 завершили свое существование в 1980 году, почти одновременно со спутником ПРОГНОЗ-7, а спутник ПРОГНОЗ-6 до сих пор остается на своей орбите и закончит своё существование в 2019 году. Формирование начального значения прямого восхождения восходящего узла eq0 при запуске спутника на орбиту в заданную дату DT и заданное время UTC из заданной точки старта с заданным наклонением к плоскости Земного экватора Начальное значение прямого восхождения восходящего узла eq0, измеряемое относительно точки весеннего равноденствия текущей эпохи, формируется в момент старта и выражается соотношением: N eq 0 S ( DTlt ,UTClt ) lpeq arcsin(tg lpeq / tg ieq 0 ), Lp φLp S γ λ ieq0 Γ Ωeq0 Δλ Lp где Slt = S(DTlt, UTClt) – звёздное время гринвичского меридиана в момент старта, измеряемое в градусах относительно точки весеннего равноденствия и определяемое датой старта и всемирным временем старта, lpeq и lpeq - широта и долгота точки старта в геоцентрической гринвичской системе координат, ieq0 – начальное значение наклонения орбиты к плоскости земного экватора. Вековую составляющую орбиты описывает двукратно осредненная возмущающая функция первого порядка, полученная в работе М.Л. Лидова [1963] для спутникового варианта ограниченной пространственной эллиптической задачи трех тел (задачи Хилла) с учетом сжатия планеты cos2 i 5 1 2 2 2 W A1k (1 ) sin sin i B1 cos 2 ieq 3/ 2 2 3 5 2 2 2 3 k a 3 J 2 r0 A1k B 1 4 ak33/k 2 4 a3 Соответствующая этой функции система эволюционных уравнений имеет два первых интеграла a a0 , W c2 и в общем случае не интегрируема. Обозначения: a, = 1 - e2, , i, ieq – Кеплеровы элементы орбиты спутника, и ak, k – элементы орбиты возмущающего тела; и k – произведения гравитационной постоянной на массу планеты и массу возмущающего тела соответственно; r0 - экваториальный радиус планеты, а – J2 – коэффициент при второй зональной гармонике гравитационного поля планеты, характеризующий сжатие планеты. Индексом eq отмечены угловые элементы, измеряемые относительно плоскости экватора планеты Угловые элементы, измеряемые относительно плоскости орбиты возмущающего тела (эклиптики) оставлены без индексов. а) б) орбита спутника - 90 < eq0 < 0 орбита спутника 0 < eq0 <90 i0 эклиптика экватор ieq0 i0 eq0 0 I I eq0 0 ieq0 экватор эклиптика cos i0 cos eq 0 sin ieq 0 sin I cos ieq 0 cos I , Зависимость угловых элементов i0, 0, измеренных относительно плоскости эклиптики, от начального значения прямого восхождения восходящего узла eq0 при фиксированных значениях ieq0, eq0, измеренных относительно плоскости Земного экватора. cos (sin ieq 0 cos I cos eq 0 cos ieq 0 sin I ) / sin i0 , eq 0 0 , sign(sin ) sign(sin eq 0 ), i ieq 0 i0 . i0 ieq 0 i; 0 eq 0 . i(I,ieq0,eq0), (I,ieq0,eq0), при ieq0 =65, eq0 (0,360) Здесь рассматриваются наклонениями ieq0,, превышающие наклонение I = 23.5 плоскости эклиптики к плоскости земного экватора Для качественного исследования вековой составляющей эволюции высокоапогейных орбит будем использовать полученную в работе М.Л. Лидова [1961] для спутникового варианта задачи Хилла (при B1 = 0) интегрируемую систему эволюционных уравнений, решения которой представлены в виде трёх первых интегралов и двух квадратур a c0 ; ε cos 2 i c1 ; (1 ε)(2 / 5 sin 2ωsin 2 i) c2 , t t0 2 5 Ak d (1 )1/ 2 sin 2 i sin 2, 0 A 0 k 2 t t0 5cos i ((1 ) sin 2 ) dt . 1/ 2 где c0 a0 ; c1 ε 0 cos 2 i0 ; c2 (1 ε 0 )(2 / 5 sin 2ω0 sin 2 i0 ). 2 A1k 3 k a 3/ 2 3 P k Ak . 3 3/ 2 3 3/ 2 a 2 ak k 4 ak k (1) n Для системы n возмущающих тел, расположенных на компланарных орбитах используется следующий коэффициент A A 2 A1k 1 3 a 3/ 2 2 a Отметим, что предпосылкой для получения этой системы уравнений является выполнение неравенства = a/ak << 1 (где есть отношение больших полуосей орбит спутника и возмущающего тела). Для динамической системы Земля-Луна-спутник, исходя из значения большой полуоси орбиты Луны a1 ~380000 км, в работе Лидова указан диапазон 30 000 км < a < 40 000 км значений больших полуосей орбит ИСЗ, соответствующих этим предпосылкам. k 3 P n k 1 a33/ 2 4 1 a33/ 2 . k k k k n (2) В работе Прохоренко [2002] введено следующее представление фазовых портретов интегральных кривых на фазовой плоскости с1= const в цилиндрической системе координат (, mod 360, с1) при фиксированных значениях с1, с2 с1= 0 с1 = 0.06 Тонировкой (здесь и далее) отмечена область отрицательных значений с2 Координаты седловых особых точек : = 1, sin2 = 2/5/(1- c1) с1 = 0.3 с1= 3/5 Координаты особых точек типа центр : = (5/3c1)1/2, sin2 = 1 При 0 < c1 минимальные значения лежат на выделенных отрезках c1< < (5/3c1)1/2 вертикальной оси, соответствующей значению cos = 0. В той же работе [2002] показаны линии уровня значений безразмерного периода (с1, c2) вековой составляющей эволюции фокального параметра в области возможных значений интегральных констант на плоскости c1, c2 Область возможных значений интегральных констант c1, c2 определяется следующими выражениями: 0 < c1 < 1, 3/ 5 c 2 , 2(1 c ) / 5 при 0 с 3/ 5, 1 1 1 c2 (c1 ) 0, 2(1 c1 ) / 5 при 3/ 5 с1 1. Выражения для безразмерного периода (c1, c2) вековой эволюции фокального параметра через полный эллиптический интеграл первого рода получены в работе Ю.Ф. Гордеевой [1968] Период вековой составляющей эволюции фокального параметра T (под влиянием одного возмущающего тела с индексом к или системы возмущающих тел) выражается через Кеплеров орбитальный период спутника P = 2a3/2 /1/2 и безразмерный период (c1, c2) следующими формулами: (c1 , c2 ) 4 (c1 , c2 ) ak33/k 2 (c , c ) 4 (c1 , c2 ) T , или T n 1 2 Ak 3P k 3P n k Ak 3 3/ 2 j 1 k 1 ak k Линии уровня безразмерного периода (c1, c2) О пересечении орбиты спутника с поверхностью планеты конечного радиуса R О возможности соударения спутника с планетой под влиянием внешних гравитационных возмущений впервые заявил М.Л. Лидов в работе [1961], показав, что предпосылкой для пересечения орбиты с поверхностью планеты является выполнение неравенства: min (0 , 0 , i0 ) *(a / R) 1 1 R / a 0 . 2 где * представляет собой критическое значение безразмерного фокального параметра = 1 – e2, при котором геоцентрическое перигейное расстояние орбиты спутника r = a (1- e) равно экваториальному радиусу планеты R. А в работе [1963] на впечатляющем примере гипотетической «Вертикальной Луны», которая на орбите, перпендикулярной к плоскости эклиптики, просуществовала бы не более 4.5 лет, М.Л. Лидов показал неизбежность пересечения с поверхностью планеты высокоапогейных орбит спутников с наклонениями к плоскости орбиты возмущающего тела, близкими к 90. РЕТРОСПЕКТИВНЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЕКОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ И ВРЕМЕНИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЗ СЕРИИ ПРОГНОЗ Назиров Р.Р., Прохоренко В.И., Шейхет А.И. [2002] Область значений интегральных констант c1, c2 , соответствующих семейству орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ- 1-7 со свободным параметром eq0 Фиксированное значение фокального параметра 0 = 0.126 свободных значениях i0, 0, измеренных относительно плоскости эклиптики, определяет на плоскости (c1, c2) треугольную область. Горизонтальные линии соответствуют фиксированным значениям наклонения i0, указанным справа, а наклонные лучи фиксированным значениям аргумента перигея 0, указанным внизу. Горизонтальная штриховая линия синего цвета соответствует значению наклонения c1 ε 0 cos 2 i0 ; c2 (1 ε 0 )(2 / 5 sin 2ω0 sin 2 i0 ) при 0 = 0.126, ieq0=65, eq0=290 i0 ieq 0 65, а наклонная штриховая линия – значению аргумента перицентра 0 eq 0 290, Сплошная утолщенная кривая линия синего цвета представляет собой геометрическое место точек, соответствующих угловым элементам i0 ieq 0 i( I , ieq 0 , eq 0 ), 0 eq 0 ( I , ieq 0 , eq 0 ), eq 0 0,360 , Светлыми кружками отмечены принадлежащие этой линии образы реализованных орбит серии Прогноз- 1- 7 13 Семейство орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ- 1-7 на фоне области значений c1, c2, при которых вековая эволюция орбит с большой полуосью a0 = 100 000 км приводит к пересечению орбиты с поверхностью Земли Штриховкой показана область значений интегральных констант c1, c2, при которых вековая составляющая эволюции орбиты при a0 = 100 000 км приводит к пересечению орбиты с поверхностью Земли вследствие того, что геоцентрическое расстояние перигея становится меньше экваториального радиуса Земли R = 6378.4 км. Эта область соответствует значениям min(c1 , c2) < *(a0 / R) = 1- (1-R/a0)2 = 0.116 и определяется неравенствами: (1 *(a0 / R))(c1 / *(a0 / R) 3/ 5) c2 или c1 3/ 5( *(a0 / R))2 , Вершина заштрихованной области принадлежит правой границе области значений c1, c2 и соответствует значению c1 = *(a0 /R) = 0.116. 14 Положение интегральных констант, соответствующих семейству орбит серии ИСЗ ПРОГНОЗ- 1-7, на фоне линий уровня безразмерного периода (c1, c2) вековой эволюции фокального параметра и мажоранты безразмерного времени баллистического существования MB(c1, c2 , *(a0/R)) В определенной на предыдущем слайде области значений c1, c2, при которых минимальное значение вековой составляющей эволюции фокального параметра меньше его критического значения *(a0/R), мажоранта безразмерного времени вековой составляющей баллистического существования орбиты MB (c1 , c2 , *(a0 / R)) (c1 , c2 ) определяется как удвоенное безразмерное время перехода вековой составляющей эволюции параметра от значения 0 = *(a0/R) до значения max(с1, с2). 15 Итоги ретроспективного анализа Результаты этих исследований дают основание для пересмотра сложившегося в те годы стереотипа запуска высокоапогейных орбит спутников, при котором не принимается во внимание и оказывается предметом произвола такой важный параметр, как начальное значение eq0 прямого восхождения восходя узла орбиты. Также не является оправданным использование фиксированного начального значения аргумента перигея eq0, измеренного относительно плоскости Земного экватора. Свобода в выборе начального значения аргумента перигея 0, измеренного относительно плоскости эклиптики, в сочетании со свободой выбора значения eq0 прямого восхождения восходя узла орбиты, позволяет при постоянном значении наклонения ieq0 плоскости орбиты к плоскости земного экватора выбирать нужные значения eq0 с учётом задач проекта и времени баллистического существования орбиты. Переходя к дальнейшим исследованиям используем введенную в работах Прохоренко [2007] и [2011] классификацию многообразий начальных условий пространства M4 с координатами (a/R, 0, i0, 0) Область возможных значений координат пространства M4 определяется неравенствами: 1 a / R; *(a / R) 0 1; 0 0 360; 0 i0 180, угловые элементы измеряются относительно плоскости орбиты возмущающего тела. К многообразию I принадлежат значения a/R, 0, i0, при которых во всей области возможных значений аргумента перицентра 0 выполняется условие пересечения орбиты спутника с поверхностью планеты min (0 , i0 , 0 ) *(a / R) 0 К многообразию II принадлежат значения a/R, 0, i0,, при которых во всей области возможных значений аргумента перицентра 0 выполняется условие непересечения орбиты спутника с поверхностью планеты *(a / R) min (0 , i0 , 0 ) 0 К многообразию III принадлежат такие значения a/R, 0, i0, при которых существует непустое множество значений 0, удовлетворяющих условию непересечения. В то время, как при значениях 0, принадлежащих дополнительному множеству, выполняются условия пересечения орбиты спутника с поверхностью планеты. Граница, разделяющая эти множества значений 0, определяется неравенством *(a / R) min (0 , i00 ) 0 В работе Прохоренко [2007] для спутникового варианта задачи Хилла (при B1 = 0) получено описание многообразий типа I, II, III в пространстве M4 с координатами (a0/R, 0, i0 , 0) в виде трёх теорем Теорема 1. Орбитальные элементы (a0/R, 0, i0) принадлежат многообразию типа I, если и только если выполняется неравенство 5 / 3cos 2 i0 *(a0 / R) 0 1 Теорема 2. Достаточным условием для того чтобы начальные орбитальные элементы (a0, 0, i0) принадлежали многообразию типа II является выполнение неравенства: *(a0/R) < c1 = 0 cos2i0 < 0 < 1. Если при начальных орбитальных данных (a0, 0, i0) выполняется неравенство c1 = 0 cos2i0 < *(a0/R) < 0 < 1, то в области возможных значений 0 имеется граница 23 (a0/R, i0), разделяющая многообразия типа II и III: 1 (3 / 5)*(a0 / R) 23 (a0 / R , i0 ) *(a0 / R) 1 2 2 cos i0 ( cos i0 2 / 5)*(a0 / R) многообразие III определяется неравенством: *(a0/R) < 0 23 (a0/R, i0) < 1. :многообразие II - неравенством:: *(a0/R) < 23 (a0/R, i0) < 0 < 1. Граница 3 на многообразии начальных условий типа III Теорема 3. На многообразиях начальных условий типа III, в области начальных значений аргумента перигея 0 существуют границы 3(a0/R, 0, i0), удовлетворяющие соотношению 0 1 2 1 *(a0 / R) 3 2 sin 2 3 (a0 / R, 0 , i0 ) = cos i . 0 2 sin i0 5 1 0 5 *( a0 / R) Вековая эволюция приводит к пересечению орбиты с центральным телом при значениях 0, удовлетворяющих неравенству: 0 sin 2 0 sin 2 3 (a0 / R, 0 , i0 ) <1 Вековая эволюция не приводит к пересечению орбиты с центральным телом при значениях 0, удовлетворяющих обратному неравенству: 0 sin 2 3 (a0 / R, 0 , i0 ) < sin 2 0 <1. Выполненные в работе Прохоренко [2011] исследования некоторых интегрируемых случаев смешанной задачи, указанных в работе М.Л. Лидова и М.В. Ярской [1974], позволили получить оценку границ области действия асимптотики внешних гравитационных возмущений для динамической системы планета – возмущающее тело – спутник планеты В частности, для динамической системы Земля – Луна – Солнце – спутник на шкале возможных значений больших полуосей орбит спутников были построены границы областей действия асимптотики каждого из рассматриваемых возмущений: d1 ~ 37 000 км - верхняя граница области действия асимптотики сжатия планеты, d3 ~ 100 000 км - нижняя границей области действия асимптотики внешних гравитационных возмущений, d2 ~ 55 500 км, промежуточная граница, действующая в области паритетного влияния рассматриваемых возмущений. Отступление о внешних гравитационных возмущениях, действующих в области превалирующего влияния асимптотики сжатия планеты при 1 000 км < а < 37 000 км Нужно отметить, что орбиты, принадлежащие области действия асимптотики сжатия планеты, также испытывают влияние внешних гравитационных возмущений. А эволюция эксцентриситета этих орбит под влиянием гравитационных возмущений от внешних тел может приводить к соударению спутников с поверхностью Земли. Однако вековая эволюция угловых элементов в этом случае происходит по правилам, диктуемым влиянием гравитационных возмущений от сжатия Земли, а эволюция эксцентриситета, обусловленная влиянием внешних гравитационных возмущений, происходит в соответствии с закономерностями эволюции угловых элементов. . Осредненные уравнения, описывающие вековую эволюцию угловых элементов под влиянием сжатия планеты, получены в работе (Охоцимский и др., 1957), тогда ещё без учета внешних гравитационных возмущений. Основанные на применении этих уравнений исследования некоторых методических примеров с учётом внешних гравитационных возмущений, рассмотренные в работе Прохоренко [2006] оказались весьма плодотворными. Памятная записка Б.И Рабиновича о влиянии гравитационных возмущений от Луны и Солнца Теперь можно перейти практическим задачам Будем рассматривать орбиты ИСЗ с большой полуосью a, значение которой принадлежит диапазону 100 000 км < a <190 000 км. Верхняя граница этого диапазона не превосходит половины большой полуоси орбиты Луны. На этом диапазоне значений больших полуосей действует асимптотика внешних гравитационных возмущений. Для рассматриваемого интервала значений большой полуоси орбиты спутника, исходя из значения большой полуоси орбиты Луны (около 380 000 км), оценим диапазон возможных значений отношения a/am: 0.26 < a/am < 0.5 Учитывая, что этот диапазон не вполне удовлетворяет исходной предпосылке: = a/am <<1, при которой получены эволюционные уравнения М.Л. Лидова, будем искать обобщения для обнаруженных Лидовым закономерностей в конкретных рассматриваемых случаях, проверяя результаты качественных исследований численными расчётами. Дорогу осилит идущий…. Качественный анализ вековой составляющей эволюции орбиты СПЕКТР-Р, стартовавшей 18.VII.2011 Исходя из начальных элементов орбиты СПЕКТР-Р a0 173000 km, 0 0.078, i0 30, 0 313 на фазовой плоскости c1 0 cos i0 0.06 построена соответствующая интегральная кривая, проходящую через точку, отмеченную светлым кружком. Эта кривая принадлежит многообразию типа III и свидетельствует о наличии угрозы пересечения орбиты с поверхностью центрального тела в процессе вековой эволюции орбиты. На рисунке показаны и другие интегральные кривые семейства орбит со свободным значением аргумента перигея 0. Внешняя граница этого семейства интегральных кривых соответствует значениям 0 = 90 или 270. Штриховой линией показана граничная интегральная кривая, которая касается окружности = *(a0/R) = 0.072, и пересекается с окружностью радиуса = 0 в точках, выделенных светлыми квадратиками и соответствующих значениям sin2 (0) = sin2 (3 (a0/R, 0, i0)) (см. теорему 3). Все интегральные кривые, лежащие внутри области, очерченной этой линией, приводят к пересечению орбиты с поверхностью центрального тела 2 Тонировкой голубого цвета в области значений mod 360 показаны четверти IV и II, в которых происходит вековое возрастание фокального параметра. Тонировкой серого цвета показана область значений удовлетворяющих неравенству c1< *(a/R). SPECTR-R. Прогноз с помощью численного интегрирования долговременной эволюции безразмерного фокального параметра и геоцентрического перигейного расстояния орбиты r в функции времени и в функции аргумента перигея Тонировкой в области значений аргумента перигея показаны четверти, в которых вековая составляющая эволюции фокального параметра (и перигейного расстояния r) возрастает. Светлым кружком отмечена начальная точка. Утолщенная прямая линия и окружность соответствуют значениям = * (a/RE), и r = RE, h = 0. Вековую составляющую эволюции орбиты дополняют короткопериодическая и долгопериодическая составляющие. Оценкам роли этих составляющих в эволюционном процессе большое внимание уделено в книге П.Е. Эльясберга [1965] Короткопериодическая составляющая приращения перигейного расстояния rk (и высоты перигея hk) за оборот спутника по орбите, полученная исходя из однократно осредненной задачи Хилла hk rk a e Qk a4 (1 ) cos2 k sin 2k , Qk 15 k 3 2 ak • k – угол между вектором возмущающего ускорения, направленного в сторону возмущающего тела с индексом k, и его проекцией на плоскость орбиты спутника. • k – угловое положение проекции возмущающего ускорения на плоскость орбиты, измеренное от направления на точку перигея. Исходя из этого выражения, полученного в работе М.Л. Лидова [1961] в предположении, что проекция возмущающего ускорения сохраняет постоянное положение за время оборота спутника по его орбите, вытекает следующая закономерность: Высота перигея hk за оборот спутника по орбите (за виток) возрастает, если угол k принадлежит I или III четверти, и убывает, если угол k принадлежит II или IV четверти. А как быть в том случае, когда период орбитального движения спутника сопоставим с орбитальным периодом возмущающего тела? В работе Прохоренко (2014) на примере орбиты КА СПЕКТР-Р, большая полуось которой составляет 173 000 км , а орбитальный период составляет более 8 суток и равен почти трети периода оборота Луны, получена следующая эмпирическая закономерность, справедливость которой подтверждена численным интегрированием Перигейное расстояние за оборот спутника не испытывает заметных изменений, если в процессе этого оборота угол k проходит через две соседние четверти и делит поровну время своего пребывания в каждой из них. Перигейное расстояние за оборот спутника увеличивается, если угол k остается преимущественно в первой или третьей четверти, и уменьшается, если угол k остается преимущественно во второй или четвертой четверти. Долгопериодическая составляющая колебаний приращения высоты перигея за виток, связанная с полупериодом орбитального движения возмущающего тела с индексом k Оценка амплитуды долгопериодических колебаний приращения высоты перицентра hk за виток под влиянием возмущений от внешнего тела с индексом k получена в книге П.Е Эльясберга [1965], исходя из выражения для hk при значении k равном нулю и значении 2k равном /2. ampl hk (a, ) ampl rk (a, ) Qk a 4 (1 ) Qk a 4e 1 e 2 Отметим, что амплитуда долгопериодических колебаний приращения высоты перигея под влиянием Луны в 2.18 раза превосходит амплитуду соответствующих колебаний под влиянием Солнца в силу соотношения между коэффициентами Qm/Qs =2.18 Приведенная выше оценка амплитуды соответствует значениям наклонения i0 орбиты спутника к плоскости орбиты возмущающего тела, отличным от 90. Тогда как при i0 = 90 проекция возмущающего ускорения совпадает с линией узлов орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела, а значения углов k и аргумента перицентра связаны соотношением k + = n, где n =1, 2. На рисунке показано положение восходящего узла (4 и 3) при двух значениях аргумента перицентра, принадлежащих соответственно IV и III четвертям. Из этих построений следует: Теорема 4: При i0 = 90 вековое возрастание высоты перицентра сопровождается монотонным возрастанием долгопериодической составляющей приращения высоты перицентра за виток, а вековое убывание высоты перицентра – монотонным убыванием этой составляющей. О выборе начального значения высоты перигея с учетом амплитуды долгопериодических колебаний высоты перигея под влиянием Луны Долгопериодическая составляющая при небольших значениях наклонения орбиты к плоскости эклиптики, в зависимости от фазы, может спасти (или погубить) спутник от соударения с Землёй в «критический момент», находящийся вблизи точки минимума вековой составляющей эволюции перигейного расстояния орбиты. «Сдвиг фазы» можно осуществить при помощи превентивной коррекции большой полуоси орбиты, которая (коррекция) «запускает механизм сдвига» спутника вдоль орбиты, приводящий к нужному изменению упомянутой фазы. Что и произошло в результате коррекции орбиты Спектр-Р А можно использовать амплитуду ampl h и по другому, учитывая что величина амплитуды долгопериодических колебаний высоты перигея возрастает с возрастанием самой высоты перигея, однако при этом убывает отношение величины амплитуды колебаний к самой высоте. Величина амплитуда может представлять «опасность» лишь при малых значениях высоты перигея и в зависимости от фазы может спасти (или погубить) спутник от соударения с Землёй. Во избежание подобной опасности можно для каждого значения большой полуоси найти такое начальное значение эксцентриситета, при котором амплитуда долгопериодических колебаний под влияние Луны ampl hm равна самой высоте перигея, или меньше высоты перигея на любую наперед заданную величину, которую будем называть запасом по высоте hcr . Решение этой задачи показано на следующем слайде. Выбор начального значения высоты перигея, исходя из наперед заданного “запаса” hcr так, чтобы начальное значения высоты перигея удовлетворяло следующему соотношению: h0 (a0 , e0 ) hcr ampl hm (a0 , e0 ). h 0 a0 (1 e0 ) R, ampl hm Qm a04e0 1 e02 , Qm 15 m 3. 2 am hcr 600 км hcr= 1000 км hcr = 600 км hcr = 0 Решением этой задачи является действительный корень уравнения четвертой степени относительно e0 Qm2 a08e04 (Qm2 a08 a02 )e02 2(a0 R hcr )a0e0 (a0 R hcr )2 0. А результаты представлены на рисунке для трёх значений hcr, в виде линий разного стиля и соответствуют значениям hcr, указанным рядом с каждой из линий Возвращаясь к вековой составляющей эволюции рассматриваемых орбит, получим оценки границ многообразий типа I, II, III на плоскости (a/R,i0), используя следствия из теорем 1 и 2 Исходя из теорем 1 и 2 для интегрируемых эволюционных уравнений двукратно осредненной задачи Хилла первого порядка, получим следующие границы : 3 sin 2 i01 (a / R) 1 *(a / R), 5 *(a / R) 1 (3 / 5) *(a / R) . sin 2 i02 (a / R, 0 ) 0 0 1 *(a / R) Диапазон значений i0, принадлежащих многообразию I, определяется неравенством sin 2 i01 (a / R) sin 2 i0 1 Диапазон значений i0, принадлежащих многообразию III, определяется неравенством sin 2 i02 (a / R, 0 ) sin 2 i0 sin 2 i01 (a / R) Диапазон значений i0, принадлежащих многообразию II, определяется неравенством 0 sin 2 i0 sin 2 i02 (a / R, 0 ) На рисунке показаны границы многообразий типа I, II, III на плоскости (a0 i0), полученные, исходя из вековой составляющей эволюции орбиты под влиянием гравитационных возмущений от внешних тел I III II hcr= 1000 км hcr = 600 км hcr = 0 Граница разделяющая многообразия III и II зависит от начального значения эксцентриситета e0. Границы, полученные при начальных значениях эксцентриситета выбранных, исходя из трех критической значений hcr, показаны линиями соответствующего стиля. Примечание: Показанная тонировкой область III соответствует границе, полученной при значении hcr= 1000 км. Положение границ, разделяющих многообразия III и II, при остальных значениям hcr , говорит о том, что уменьшение значения hcr отодвигает вниз соответствующую границу, увеличивая область III за счет уменьшения области II. Прогноз эволюции перигейного расстояния и времени баллистического существования орбит КА серии ПРОГНОЗ (1972-1995) и орбиты КА СПЕКТР-Р (2011, после коррекции в 2012) Подводя итоги Ставя своей целью популяризацию качественных методов теории возмущений автор считает своим долгом подчеркнуть, что приведенные в работе практические рекомендации, связанные с выбором начальных орбитальных данных с учетом времени баллистического существования, действуют в области превалирующего влияния внешних гравитационных возмущений, при начальных значениях больших полуосей, удовлетворяющих неравенству 100 000 км < a <190 000 км. При этом, учитывая приближенный характер качественных методов, следует проверять получаемые результаты с помощью численных методов интегрирования полной системы дифференциальных уравнений. Попытки применения этих рекомендаций за пределами указанной области могут принести не пользу, а вред. Для разработки практических рекомендаций, относящихся к другим областям значений большой полуоси: области превалирующего влияния возмущений от сжатия планеты 1 000 км < a < 37 000 км и области паритетного влияния смешанных гравитационных возмущений 37 000 км < a < 100 000 км требуются дополнительные исследования. Литература Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли. 1961. № 8. С. 5. Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников. Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва 20-25 ноября 1963. Москва Астрономический Совет АН СССР. 1963. C. 119-134. Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты // Космич. исслед. 1974. T. XII. № 2. C. 155–170. (Cosmic Research P. 139). Назиров Р.Р., Прохоренко В.И., Шейхет А.И. Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии «ПРОГНОЗ» // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 5. С. 538–554. Прохоренко В.И. Исследование времени баллистического существования эллиптических орбит, эволюционирующих под влиянием гравитационных возмущений внешних тел // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 3. С. 285-294. Прохоренко В.И. Долговременная эволюция орбит ИСЗ под влиянием гравитационных возмущений, обусловленных сжатием Земли, с учетом возмущений от внешних тел // Изв. Вузов. Физика. Издание ТГУ. 2006. (2 Приложение). С. 63-73. Прохоренко В.И. Об условиях пересечения орбиты спутника с поверхностью центрального тела конечного радиуса в двукратно осредненной ограниченной задаче трех тел. Труды МИАН РАН. 2007. Т. 259 С. 156-173, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 259: 150–166. Прохоренко Виктория. Об особенностях долговременной эволюции высокоапогейной орбиты КА Спектр-Р // Космич. исслед. 2014. Т. 52. С. 132-152. Прохоренко Виктория И. Проблема выбора высокоапогейных орбит искусственных спутников Земли c учетом времени баллистического существования // Космонавтика и ракетостроение. 2014. Т. 74. № 1. С. 30-41. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М., Таратынова Г.П. Определение времени существования искусственного спутника Земли и исследование вековых возмущений его орбиты // УФН. 1957. Т. LXIII. № 1a. C. 33-50. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М. Наука Физматлит. 1965. С. 540. Prokhorenko Victoria I. On manifolds of initial conditions leading to intersection of orbits of satellites with planet under weak gravitational perturbations // Functional Analysis and Other Mathematics, DOI 10.1007/s11853-011-0046-y, Phasis, Springer, 2011. V. 3 № 2. P. 135-167.
