ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ Глава 1. Кинетические явления в полупроводниках 1.Электропроводность E

В.Д. Кулаковский
ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Глава 1. Кинетические явления в полупроводниках
1.Электропроводность
Электрическое поле E
Е=0 :
только тепловое движение
средняя скорость <vth>=0
дрейф электронов со скоростью vd=<v>
В общем случае vd=mE
где m- подвижность носителей тока
Носители одного типа ->
Ток равен
j=en vd=enmE = sE
где e - заряд частицы
n – концентрация частиц
s – удельная электропроводность
В анизотропных кристаллах - s - тензор
ja= sabEb
a, b = x,y,z
E>0:
1.2 Эффект Холла
Магнитное поле B||0z

B = 0:
B = 0:

/
u= Uab= 0
u= Uab= 0
/
Т.е. появляется Еy
Определение:
Угол Холла = углу между Ex и E.
Ey =u/d=RBj=RBi/ad
где d- толщина образца,
а – ширина образца в направлении 0z
i - сила тока через образец
R – постоянная Холла
В общем случае R= R(B)
Знак R зависит от знака носителей тока
j>0, R>0
j<0, R<0
Для носителей одного типа
j||0x, B||0z
=> Ez=0
jx= sxxEx+ sxyEy
jy= syxEx+ syyEy=0
Учтем далее, что
sxx= syy
Получим
sxy= -syx
(вывод позднее)
tgj=Ey/Ex= sxy/sxx
Ey=jx sxy/(sxx2 + sxy2)
R= sxy/(sxx2 + sxy2)B

1.3
Магнитосопротивление
Поперечное поле B_|_j
Магнитное поле Bz изменяет не только jy , но и jx , так как s
- тензор
jx =(sxx+ sxy2 /sxx)Ex
sx(B)= jx /Ex=(sxx2+ sxy2 )/sxx
Продольное поле B||j||0x в первом приближении не изменяет
проводимость вдоль поля, но не всегда!!! ( тепловое движение или анизотропия)
2. Время релаксации
В вакууме масса свободного электрона m0
в полупроводниках масса электронов mе =/ m0
mе - эффективная масса
Рассмотрим систему из N0 частиц в момент t=0
N(t) => число частиц не испытавших соударение за время t
-dN=N dt/t,
(1)
где 1/ t - вероятность того, что 1 электрон испытывает соударение за единицу времени
Интегрируя (1) находим
N=N0 exp(-t/t)
dN=N0 exp(-t/ t) dt/t
вероятность какому-то электрону иметь время пробега от t до t+dt
f(t)dt= exp(-t/ t) dt/t
Очевидно, что


f(t)dt=1
(2)
0
Из (2) видно, что t – есть среднее время свободного пробега электрона

t= <t>=  tf(t)dt
0
В общем случае t зависит от энергии электрона и его импульса
3. Гальваномагнитные явления
3.1 Тензор электропроводности в магнитном поле
Цель: вычислим sab при B||0z
Fx=Ex+e/c Bdy/dt
Fy=Ex-e/c Bdx/dt
Fz=Ez
d2x/dt2= (e/mе) Ex+wcdy/dt
d2y/dt2= (e/mе) Ey-wcdx/dt
d2z/dt2= (e/mе) Ez
где wc=eB/(cmе)
t=0 :
x=y=z=0
dx/dt=dy/dt=dz/dt=0
z=e/2m Ezt2
x=a(1-cos wct) – b sin wct + bwct
y=b(1-cos wct) + a sin wct - awct
a=1/wc2 e/mе Ex.
b=1/wc2 e/mе Ey. имеют размерность длины
(x-a)2+(y-b) 2= a2+b2 – вращение

 xf(t)dt =<x>
0
<x>/t=<vx>
Учитывая, что

2 2
 exp(-t/t) sin (wct)dt = wct/(1+ wc t )
0

2 2
 exp(-t/t) cos (wct)dt = 1/(1+ wc t )
0
Находим
<vx>= A (e/mе) Ex + B wc(e/m) Ey
<vy>= A (e/mе) Ey - B wc(e/m) Ex
<vz>= A (e/mе) Ez t
где
A=<t/(1+ wc2t2)> ,
ji=en<vi
sxx=syy=A e2n/mе
sxy=-syx=B wc e2n/mе
szz= e2n<t>/mе
szx=szy= sxz=syz=0
B=0 => wc = 0
sij = 0 при i =/ j
A=> <t>
s = e2n<t>/m
m= e<t>/m
B=<t2/(1+ wc2t2)>
3.2 Постоянная Холла
tg j= sxy/sxx=wc B/A= (1/c) mHB, где mH = (e/m) B/A - Холловская подвижность
В слабых магнитных полях tg j~ wct <<1
mH =(e/me) <t2>/<t>
R= sxy/Bs2=g/(cen), где g = mH/ m=<t2>/<t>2  1
В металлах g =1
Холловская подвижность mH=cRs
3.3 Магнетосопротивление
s xx2 + s xy2
= (e2n/me)(A+wc(B2/A).
s =
s xx
Относительное изменение
< t 3 /(1 + wc2t 2 ) > - < t 2 /(1 + wc2t 2 ) > 2 / < t /(1 + wc2t 2 ) >
2
- s  / s = wc
<t >
Изменение четное по магнитному полю, т.к. входит wc2
В слабых магнитных полях tg j~ wct <<1
< t 3 >< t > - < t 2 > 2
- s  /s = w
< t >2
2
c
При постоянном
t относительное изменение - s  / s =0
В сильном поле wct>> 1 в классическом пределе wc << kT
1
s  /s =
1
< >< t >
t
4. Смешанная проводимость
(носители разных типов: e и/или m разные)
jx(i)=sxx(i)(Ex+Eytgj(i))
jy(i)=syy(i)(Ey-Extgj(i))
При jy=0 – (Холловские контакты разомкнуты)
s
tgj=Ey/Ex= 
(i )
xx
tgj ( i )
s
(i )
xx
Для двух типов носителей одного знака в слабом магнитном поле
tgj(i)<<1, sxx(i)=en(i)m(i)
R=(1/ce) (n(1)m(1)mH(1) + n(2)m(2)mH(2) )/(n(1)m(1) + n(2)m(2))2
В сильном поле tgj(i)>>1 в классическом пределе wc << kT
R=1/ce (n1+ n2)
Для носителей разного знака - электронов (e) и дырок (h) знак j(e) и j(h) - разный
R=(1/ce) (nhmhmHh- nememHe)/(nhmh+ neme)2
В первом приближении можно положить, что mHh=mh
В этом случае
R=(1/ce) (nh - b2ne)/(nh+ ne)2
где b=me/mh
1.5. Некоторые экспериментальные данные по исследованию полупроводников
1. Электронная и дырочная проводимость
s  всегда > 0;
R >и<0
R<0  полупроводник n-типа;
R>0 
-//p-типа
Ge
тип проводимости зависит от наличия примесей
Ge:As
NAs возрастает от образца 1 к образцу 7
R<0; т.е. n – тип
R
1
nec
Рост R  уменьшение ne
проводимость
n=f(NAs) при T300 K

примесная
n не зависит от NAs при T300 K  собственная
В этом случае ne~nh~n, т.е. при T300K
R
- 1  b - 1


cen  b + 1 
где b=mn/mp>1
При высоких T
=>
R  exp
 A
n ~ exp  
 kT 
A
kT
InSb: Область температур, в которой наблюдается переход проводимости
из примесной в собственную, существенно ниже, чем в Ge
1 nh - ne b 2
R=
ce (n n + n e b )2
смена знака при nh=neb2
При высоких T => R  exp
A
kT
A
=> n ~ exp  
 kT 
Связь запрещенной зоны полупроводника с величиной А
Eg=Ec- Ev
Высокая T => статистика Больцмана
число мест в зоне проводимости = Nc, число частиц = ni; число вакансий в зоне Ev = ni
вероятность перехода электрона из Ev в Ec 
пропорциональна
 - Eg 
( N v - ni )(N c - ni ) exp 
kT 

вероятность перехода из
В равновесии
Ec
в
=>
N c - ni  N c
E v пропорциональна
ni  ni = ni2
 - Eg 
= bni2

kT 

aN v N c exp 
N v - ni  N v
или
 - Eg
ni = Const  exp 
 2kT



(точный расчет Const  c1  T
из эксперимента =>
3
2
).
 A
n ~ exp  
 kT 
Таким образом, Eg= 2A
Какое Eg нужно использовать, если Eg = Eg(Т)?
Название => термическая ширина запрещенной зоны.
Она равна Eg(Т=0) только, если Eg(Т)+aT
 - Eg
ni = Const  exp 
 2kT

 - ( E g (0) + aT ) 
 - E g (0) 
-a 
 = Const  exp 
 = Const  exp 
 exp 

2
kT
2
kT
2
k







3. Электропроводность
s=eneme
n-тип
s=enhmh
p-тип
s=eni(me + me )
ne=nh=ni
Подвижность m=m(T) , а также зависит от ->
чистоты кристалла и совершенства решетки, в
целом m слабо зависит от Т по сравнению с n
примесная
или
собственная
сильная зависимость s от Т в полупроводниках связана с зависимостью n(T)
Основные выводы
1)Образование зарядов проводимости (свободных носителей) в полупроводниках
в отличие от металлов требуют затраты энергии
2) Электропроводность может осуществляться как электронами, так и дырками
3) Два типа проводимости:
Собственная - определяется свойствами собственно полупроводника
Примесная
- определяется примесями в кристалле
4 Примесная проводимость может быть
Электронной ( доноры)
Дырочной
(акцепторы)
5 Подвижность сильно зависит от температуры и наличия примесей
Глава 2. Химические связи в полупроводниках
2.1 Введение
Кристалл => 10N ионов и M*10N электронов, где N~ 19 -22
Нужна приближенная теория, основанная на учете основных свойств полупроводников
Для начала – совсем качественно – кристаллохимический подход
=> энергия химической связи <<< энергии ионизации внутренних оболочек
Далее учет факторов
1) расположение атомов в решетке
2) их электронная конфигурация
3) тип химической связи
2.2 Кристаллическая решетка
Решетка => трансляционная симметрия
an=n1a1+ n2a2+ n3a3
a1, a2,a3 – вектора элементарной ячейки,
состоящей из 1 или несколько атомов
Прямоугольная элементарная ячейка
кубической решетки с центрированными гранями и
Ромбоэдрическая ячейка решетки Браве
2.3 Электронная конфигурация атома ( из атомной физики)
Состояние электрона в атоме определяется 4 квантовыми числами
Главное
–
n =1,2,3…
- номер оболочки
Орбитальное l=0, 1 ,,,,(n-1)
- величина момента количества движения
Магнитное
- m = -l ….0 …..l
- направление вектора момента количества движения
Спиновое
- s= -1/2, +1/2
- спин электрона
Принцип Паули - основа основ электронной части
В одном квантовом состоянии, т.е. в состоянии с фиксированным набором n,l,m,s,
не может находиться более одного электрона
В частности
l= 0 1 2 3
s p d f
число электронов 2 6 10 14
Оболочка
n= 1 2 3 4
K L M N
n -1
число электронов 2 8 18 32 =
2(2l + 1) = 2n 2

0
Заполненная оболочка
=> инертные
газы
Незаполненная оболочка
1-3 электрона
=> металл
1-3 пустых места
=> металлоид
2
2
2
2
IV группа 6С:
2(He)(2s) (2p)
14Si: 10(Ne)(3s) (3p)
s-p связь:
(s)2(p)2 =>
(s)1(p)3
2.4 Типы химической связи
Два возможных типа потенциала взаимодействия между атомами
1 отталкивание – образование кристалла невозможно
2 наличие минимума необходимо для образования кристалла
Типы связей:
Ионная (гетерополярная) => пример NaCl => Na+ и Сl- =>
U=a/Rm-e2/R
Ковалентная ( гомеополярная) => пример H2
Вандер-Ваальсовская
Металлическая
Распределение электронной плотности
в основном состоянии атома водорода
В молекуле H2
Отталкивание
притяжение
Классическая теория – возможно только отталкивание
Квантовая механика => появляется обменная энергия
Третьему атому H нет места ! Только отталкивание!!!!
Ковалентные связи – связи направленные
IV группа => тетраэдр в пространстве
sp-гибрид
A3B5 – уже частично ионная
A2B6
A1B7 –ионная- изолятор
Кристаллическая решетка Si,
Ge
Структура алмаза
Двумерная схема
Электронное облако симметрично относительно
атомов в ячейке
A3B5 => GaAs, GaP …
A2B6=> CdTe, CdS ……
Электронное облако смещено в сторону атомов III группы в ячейке
====
Аморфные полупроводники, например Se
====
2.4 Запрещенная зона
Исходим из особенностей химической связи атомов группы IVб
Кристалл без примесей и дефектов
Все связи заполнены – изолятор
Нужно разорвать связь => т.е. приложить энергию Eg => появится один электрон и одна дырка
В электрическом поле появится ток электронов и дырок
Чем прочнее связь, тем больше Eg
Ряд
Sn => Ge => Si => C
Для III-V
InSb => GaAs => BN
2.5 Примесные атомы
“Водородоподобные центры” Атомы III и V групп в полупроводниках IV группы Si, Ge …
Однократно заряженный примесный центр + один носитедь тока – электрон или дырка
Энергетическая схема полупроводника с примесными центрами
Если отличие заряда больше, чем на единицу, то структура уровней может быть более сложной
Пример Cu в Ge
Cu - 1 электрон, Cu0
+ 1 электрон Cu0 => Cuобразование одной дырки требует
энергии 40 мэВ
Для отрыва электрона от Cu- нужно
Eg - 40 мэВ=790-40=750 мэВ
+ 2-й электрон Cu- => Cu- => образование второй дырки требует
энергии 330 мэВ
+ 3-й электрон Cu0 => Cu=> образование третьей дырки требует
энергии 530 мэВ
Глава 3. Элементы зонной теории твердого тела
3.1. Основные предположения
Уравнение Шредингера для >1023 частиц
Наиболее простая  зонная теория
1.Атомные ядра считаются неподвижными (M>>me)
2.Расположение ядер строго периодично(решетка)
3.Взаимодействие электронов друг с другом заменяется эффективным внешним полем
(т.е. задача сводится к одноэлектронной)
Атомные остовы  ядро + электроны внутренних оболочек
3.2. Волновая функция электрона
в периодическом поле


U ( x, y , z ) = U ( r )
Свойство

U (r ) :
H = E

p = -ih

 
(учет приближения 2 + 3 с учетом 2.)

p2
2 2

 + U ( r ) =   + U = E
2m0
2m0
1. U (r ) = U (r + an )
(3.1)
U(r) не зависит от спина, т.е. каждой E и  соответствует 2 состояния со спином  и 


 ( r ) dr
2
Свойство  

- вероятность обнаружить частицу в объеме dr
 2
  (r ) dr = 1
(3.2)

 
r  r + an
Замена в (3.1)

 
 
2 2  
  ( r + a n ) + U ( r ) ( r + a n ) = E ( r + a n )
2m0
Это уравнение тождественно (3.1).
Если состояние не вырождено, то



 ( r + an ) = cn ( r )
где
cn = 1

cn ( a n ) = ?


в силу (3.2)
т.е. вероятность обнаружить электрон у любого атома одинакова 



 ( r + an + an ) = cn  ( r + can ) = cn cn  ( r ) = cn +n  ( r )
1
2
cn1 + n2 = cn1 cn2
cn = e

ik an
, где
1
2
2
1
1
2

  
a n1 + a n2 = a n1 + n2

k
- произвольный действительный вектор.


ik r
 ( r ) = e U k ( r )


U k ( r ) = U k ( r + a n )
где
(3.3)
Функции Блоха
Волновая функция электрона в периодическом поле представляет
собой модулированную плоскую волну.
[k ] = см


p = k
-
-1
;

k
- квазиимпульс
Действительно в вакууме

 = E
2m0
2
- квазиволновое число;
2
u p  const
Вакуум
 = const  e
;

ipr


p2
E=
2m0

an  0
(все точки равнозначны)


В вакууме
ipr
ipr

- ie  = p e 
В кристалле это не так,

не является собственной функцией оператора импульса
3.3
Зоны Бриллюэна
i 
Из (3.3) следует, что

p
pan
 

 ( r + a n ) = e   ( r )

сдвиг координаты на a n
квантовое число, как и импульс!!

введем тождество
Пусть (ac ) = 2  n 



эквивалентны
Тогда p и p + nb
2  
[a j  a k ]
V0
  
V0 = a1 [a2  a3 ]
Кубическая ячейка:
bi =
b1 = b2 = b3 =
  
Обратная решетка ------ b1 , b2 , b3
aa bb = 2
0,
Здесь a , b
, если
если


c = b
Ее объем равен
a=b
ab

2
a

3
  
(
)
2

b1  b2  b3 =
V0
= 1,2,3
 
an  bm = n1m1 + n2 m2 + n3m3  2


c = b
- Квазиимпульс определен с точностью до вектора обратной решетки!!!!
- Выбор элементарной ячейки обратной решетки (как и прямой ) неоднозначен.
Совокупность всех физически
неэквивалентных значений квазиимпульса называется зоной Бриллюэна.

-  < pai  
Первая зона


Вторая зона
-  < pa2,3  
 < pa1  3
Зона Бриллюэна – чисто геометрическое понятие,
Ее форма зависит только от структуры решетки.
Первая зона Бриллюэна для решетки типа алмаза
“Точки симметрии” обладающие тем свойством, что
они переходят сами в себя при некоторых
преобразованиях симметрии представляют особый
интерес
центр первой зоны (Г),
центры ее граней (точки L и X) и т.д.
Какие значения p разрешены внутри зоны Бриллюэна
Условия на поверхности надо задать
Если L>>>a, то можно упростить
Считая  ( x, y, z ) =  ( x + L, y + L, z + L) =  ( x + L, y, z ) =  ( x, y + L, z ) = ...
Условие Кармана-Борна

  
  

 



exp( ik r )uk ( r ) = exp( ik ( r + L))uk ( r + L) = exp( ik ( r + L))uk ( r )
ki =
2
ni
L
pi =
2
ni
L
- квазинепрерывность 
Отличие от вакуума 

a  0 тогда b  
устремим
т.е. вакуум – предельный случай!
3.4
2 2
  + U = E
2 m0

i 

Энергетические зоны
(3.4)

 ( r ) = exp( pr )u p ( r )
2 2 
i 
p2

 u p ( r ) ( p, u p ) +
u p + U ( r )u p = Eu p
2m0
m0
2m0
(без учета спина)
Уравнение (3.5) - задача на собственные значения, где

E = El ( p )
и
Обычно полагают
u pl

u p = u pl (r )
(3.5)

p
- параметр, т.е.



E1 ( p) < E2 ( p) < E3 ( p)
*
u
 pl u pldr =  ll
 ортогональны т.е.
Далее: заменим в (3.5)
u pl  u
*
pl
и знак у

p
Уравнение (3.5) превращается в сопряженное, E – вещественное


т.е.
El ( - p ) = El ( p )
(3.6)






(3.7)
p  p + b 
E ( p ) = E ( p + b )


u pl (r ) = u p +b ,l (r )
(3.8)



p и p + b
Область разрешенных значений между



El ,min ( p ) < El ( p ) < El ,max ( p )
l - номер зоны
Характеристики зонного спектра – ширины разрешенных и запрещенных зон,
положение максимумов и минимумов энергии в зоне Бриллюэна и т.д.
зависят от потенциала в конкретном кристалле
Возможное
расположение зон
3.5
Метод сильно связанных электронов
Физический смысл: образование зон из дискретных уровней атомов.
Для простоты
одномерный случай:

 рассмотрим
g
Пусть  g ( r - Rg )  волноваяфункция атома с номером в цепочке.

- радиус-вектор электрона, Rg - атомного остова, Rg = (dg ,0,0)
r
Она удовлетворяет уравнению:

2 2
(3.9)
 j + U ( r )j = E j ,
g
2m0
g
g
s
g
s- состояние, дважды вырожденное по спину.
 
Для атома
r-R
j g  exp( -
r
g
, где
ra - эффективный радиус атома.
ra
Пусть ra << d
(реально в кристалле не бывает )
Сближаем атомы и ищем  (r ) в виде  ( r ) = a j
 g g
g
a g - коэффициенты, которые надо найти

Подставляем  ( r ) =  a g j g => в уравнение Шредингера (3.4)
g
т.е. в уравнение
2 2
  + U = E
2 m0

2 2
a
{
 j g + (U - U g )j g + U gj g - Ej g } = 0

g
2
m
g = -
0
(3.10)
или с учетом (3.9)
 a {( E
- E )j g + (U - U g )j g } = 0
(3.11)
*
умножим на комплексно сопряженную волновую функцию j g
электрона в изолированном атоме и проинтегрируем по координате электрона r..
g
a

S gg = 1
Очевидно, что
; Однако
rg g  растет; S g g и U g g
S gg 
при
g  g

*
 j g (U - U g )j g dr = U gg
*
 j gj g dr = S gg
Введем обозначения
S g g  0
(3.12)
g  g
при
убывают, как exp( -
d | g - g |
)
ra
- интеграл неортогональности или интеграл перекрытия,
при g  g  - интеграл переноса U gg = U ( g - g  )
(трансляционная инвариантность )
Положим, что a g = N exp( ig )
где N – нормировочный множитель Параметр  - вещественный (иначе
Смысл a g = ?
S gg  = S ( g - g  )
U gg 
Пусть
V

(3.13)
при g   )
- объем вокруг g- ого атомного остова



d
r
=

*
V


g = -
a g
2

 j g dr  a g = const
2
2
V
т.е. вероятность найти электрон на любом узле одинакова 
(трансляционная симметрия )
Подставим a g из (3.13) в ( 3.11) с учетом (3.12) находим

N
или
{( E
g =-

N
{( E
g = -
где
a
- E ) S ( g  - g ) + U ( g  - g ) }exp( ig ) = 0
a
- E ) S ( g  ) + U ( g  )} exp( -ig ) = 0
(3.14)
g  = - g + g 
Уравнение (3.14) уже не содержит аргумента
g ,
следовательно решение a g = N exp( ig ) правильное.
В (3.14)
N  0 , значит
 = 0 , или
E = Ea +

U ( g e -ig
-

 S ( g )e
-ig

= Ea +
-
т.е.
(1)
(2)
так как
=>
=>
U (0) + 2U ( g ) cos g
1

1 + 2 S ( g ) cos g
(3.15)
g =1
Е - периодическая функция

d -1 ---- аналог волнового вектора k

 
  i ( k ,Rg -r )+ikr

ik r
 = N  e j g ( r - Rg ) = N  j g ( r - Rg )e
= e uk ( r )

ig
-
где
  

 
i ( k , Rg - r )
u k ( r ) = N  e
j g (r - Rg )
- периодическая функция

=> Е  четная функция k
g
(3)
В первом приближении
E = Ea + U (0) + 2[U (1) - U (0) S (1)] cos 
т.е. можно вычислить Е , зная атомные волновые функции
U (0) средняя энергия электрона, локализованного на одном атоме, в поле всех остальных а
=> определяет сдвиг энергии от Еа
Уровень Еа размывается в зону 
(вследствие cos)
от - 2U (1) - U (0)S (1) до + 2 | U (1) - U (0) S (1) |
Ширина разрешенной зоны определяется степенью перекрытия волновых функций соседних атомов 
Знак разности U (1) - U (0) S (1) определяет положение минимума зоны:
в центре или на краю зоны Бриллюэна
Вблизи минимума
2k 2
E = E 0 + d (U (1) - U (0) S (1)) k = E 0 +
2m
2
m
2
убывает вместе с увеличением ширины разрешенной зоны 
Вблизи потолка
где mh < 0
2k 2
E = const 2m
2k 2
= const +
2mh
Потенциальная энергия - периодическая функция
Туннелирование 
а не термоактивация
d 
туннелирование 
m
Электрон можно с одинаковой вероятностью обнаружить у любого узла 
Метод сильной связи  электроны сильно связаны со «своими» атомами,
вероятность туннелирования мала.
Конечный результат обычно приближенный, т.к. d  a , но дает качественно
происхождение зон
их вырождение
и симметрии волновых функций.
0
3.6 Закон дисперсии


E (k ) или E ( p )
Посчитать трудно 
можно измерить
Возможный вид
Объем зоны Бриллюэна
( 2 ) 3
, где V0- объем элементарной ячейки
V0
Дозволенному значению
V - объем кристалла
Число состояний
V
=G
V0

p
3
объем (2)
V
2G
 число ячеек (с учетом спина
)
Z электронов в ячейке  займут ZG/2 уровней
(1) верхняя зона заполнена частично
=>
металл
(2) верхняя зона заполнена целиком, но смыкается с более высокой
(3) верхняя зона заполнена целиком и имеет зазор с более высокой => полупроводник
Воздействием на кристалл можно перевести из (3) в (2).
3.7 Эффективная масса
Определить весь закон дисперсии трудно, но нужно только вблизи энергии Ферми,
т.е. в полупроводниках вблизи дна или потолка
1
-1
mab ( pa - pa ,0 )( p p - p b ,0 ) + ...
2
2


 E 
-1
- симметричный тензор второго ранга
mab = 


E ( p ) = E ( p0 ) +
(3.16)
 pa p b  p = p0
К главным осям
E ( p ) = E ( p0 ) +
1
-1
ma ( pa - pa ,0 ) 2

2 i= x , y ,z
(3.17)
только вблизи экстремума
Изоэнергетическая поверхность – эллипсоид с полуосями, пропорциональными
mx
,
my
,
mz
Соотношения между m x , m y , m z определяются симметрией кристалла.
(1) кубическая симметрия, экстремум в центре зоны Бриллюэна, k=0
mx = m y = mz
(2) кубическая симметрия, экстремум в k  0  симметрия ниже, число минимумов больше.
Ge - долины на осях 111
Si – долины на осях <100>
(сечение плоскостью (110))
Долины эквивалентны Число зависит  на границе или внутри зоны
Эквивалентность долин можно нарушить внешним воздействием (магнитное поле и т.д.)
Если точка экстремума зоны является точкой вырождения, то уже разложение (3.17) неверно.
Интерес в полупроводниках: 1) k=0 и
2) двухкратное вырождение
Т.е должно быть:
а) две ветви, смыкающиеся при k=0
б) E k = 0
при k=0
в) степень k  2
г) удовлетворять условиям симметрии кристалла
В кубическом кристалле это:
1

E ( p ) = E ( 0) +
Ap 2  B 2 p 4 +C 2 ( p x p y ) 2 + ( p y p z ) 2 + ( p z p x ) 2
2 m0

где A,B,C - скаляры, A и B - вещественные и C2>-3B2.
-1
mab  зависят от направления импульса
две зоны  легких и тяжелых дырок
гофрированные сферы
Зонная структура некоторых
полупроводников
 12,
(3.18)
Eg
Eg0
m
m0
m
m0
A
B
C
Si
1,15 eV
3,4 eV
0,91
0,19
-4,27
-0,6
5,03
Ge
0,74 eV
0,9 eV
1,59
0.08
-13.3
8.57
12,78
Полупроводники
Непрямые
прямые
Si, Ge
AIIIBV
GaAs
AIIIB5
InSb
GaP, AlSb
InAs
m0
Eg
GaAs
0.067
1.5 eV
InAs
0.023
0.4 eV
 Непараболичность
InSb
0.01
0.18 eV
 Непараболичность
Непараболичность зон проявляется при увеличении p
Чем меньше Eg, тем раньше непараболичность
Модель Кейна; Здесь F2 и  параметры.
Eg 
Eg
4 p 2Ф 2
 
E ( p) = E (0) (
2
+
)
1 - 1 +
2   3m0 2 E g 2
Eg + 

12 
Видно, что при Eg  0 непараболичность начинается с Е=0
Глава 4
Кристаллы во внешних полях
4.1 Средняя скорость и ускорение
 
* 
< ve ( p) >=  pl ( r )vˆpl ( r )dr


m0
i 
pl = u pl exp( pr )

где vˆ = -i
 по определению
(m0  истинная масса электрона )
< vl ( p ) >=
т.е.

p
i
*
u
 u p l dr
m 0 m 0  pl
(4.1)
Уравнения для u из гамильтониана
-
2 2
i 
p2
 u pl ( pu pl ) + Uu pl = ( E )u pl
2m0
m0
2m0
 u p l 
*
Сопряженное ему для p’
 2 2 * i 
p 2
*
*
*





 u pl  +
( p u pl  ) + Uu pl  = ( E )u p l 
2m0
m0
2m0
Вычтем и проинтегрируем
(=A)
________________________
 u p l
(=B)
______________________________
 i



2
p 2 - p2
* 2
*
* 
*
*
2
  u  - u   u  }dr  ( pu  ) + u  ( pu  )}dr = ( E - E  {
u
{
u
)
u
u
d
r
pl 
pl
pl
pl 
pl 
pl
pl
pl 
pl  pl
2m0 
m0 
2m0 
( A) = (u p l  u pl ) - (u p l  u pl ) - (u pl u p l ) + (u pl u p l ) = div[u p lu pl - u pl u p l  ]

*
*
*


   u  - u  u    ]dr = ([ u    u  - u  u    ]dS
(
A
)
d
r
=
div
[
u
pl
pl
pl
pl


 p l pl pl p l
*
*
*
где dS - элемент поверхности, охватывающий объем.
*
*
Так как
 ( x, y, z ) =  ( x + L, y, z ) = ..... =  ( x + L, y + L, z + L)
. то
 ( A)dr  0


* 
* 

 ) + (u  p u  ) - u 
 )}dr

(
B
)
dr
=
{
u
(
p
,

u
(
p

u






p
l
p
l
p
l
p
l
p
l
p
l


Получаем
При
-


p = p
i  
p 2 - p 2
*
*

( p - p)  u p l u pl dr ) = ( E - E  )  u p l u pl dr
m0
2m0
(4.2)

*
( E - E )  u pl  u pl dr = 0
Условие ортогональности

*
 u  dr = 0
u
 pl pl
при
l  l
(Если вырождение, то волн. функцию тоже можно выбрать, чтобы выполнялось условие ортогональности)
В общем виде
 u pl u pl dr =  ll = 
*
1
l = l
0
l  l
-ll  символ Кронекера
Положим в (4.2) l’=l и p’-> p


 
E - E   E ( p, l ) - E ( p , l )  ( p - p ) p E pl
  
p 2 - ( p) 2  2 p( p - p)
Получим


 

  p2
i  
*
( p - p ,  u pl u pl dr ) - ( p - p ,  p E ( pl )) + ( p - p , ) = 0
m0
m0
 
так как p - p - произвольной ориентации



i
p
*
u  u pl dr =  p E ( p, l ) m0  pl
mo
(4.3)
u p l  u p l
Вернемся к уравнению (4.1); Подставляя (4.3), находим скорость электронов:
 

vl ( p ) =  p El ( p )  0 т.е. ток не равен нулю.

e
p




je ( p ) = -ev e ( p ) = -e p E e ( p )
m
eff
Хотя нет никакого электрического поля !!!
т.е. сопротивление идеального кристалла равно нулю.
Соотношение де Бройля:

v =  kwk


p = k

квазиимпульс
E = w

частота электронной волны
;
т.е. v - групповая скорость волны.
 
(
E
, B ) , то импульс изменяется.
Если поместить кристалл во внешнее поле
Вычислим производную от квазиимпульса по времени

dEl ( p )    (для средних квантовомеханических величин
= Fv l ( p )
классические уравнения верны!)
dt

 

 dp


d
p

=  p El ( p )
v
= Fv  при произвольных
т.е. v
dt
dt
Отсюда находим

dp 
второй закон Ньютона !!!
=F
dt
Но !!!
1) квазиимпульс (не импульс)

2) F - не полная сила, а только от внешнего поля !!!
Сила действия со стороны атомов решетки учтена в виде закона дисперсии !

dva
d E l ( p )  2 E l ( p ) dp b
-1
aa =
=
=
= mab Fb
dt
dt pa
pa p b dt
Ускорение


Аналогия с F = ma
Вблизи экстремумов:
Область применимости

Fa = ma aa
или
eEa << E g
Движение только во внешних полях


dv
F =m
dt
(4.4)
-1
mab ( p, l )
(4.5)
(в поле решетки  только квантовая механика!!!)
Закон дисперсии определяет поведение квазичастиц !!!
Электроны и дырки
-1
mab  F  emab
В уравнения (4.4) и (4.5) входит
Одновременная замена знака!
mab  отриц. на полож.

I l = 2 jl ( p ) = 0

p
Il = 2 
 
p  p
-1
 v 
( E +  B)
c
e
отриц. на полож.


p
p
если зона заполнена, т.к.
и
компенсируются







jl ( p ) + jl ( p , s1 ) + je ( p , s2 ) je = 2 jl ( p ) + jl ( p, s1 ) = - jl ( p, s2 )

p
пустое место дает ток, равный по величине заполненному,
но обратный по знаку , т.е. ток частицы с положительной массой.
Или при m < 0
p2
2
2
h 

p
p
El ( p ) = - E l ( p ) = const +

Переход к дыркам
E ( p) = E +
=E l
0
2m
0
2m
2m
Но не гравитация !!! Сила инерции определяется через производную от импульса, а не от квазиимпульса !!!
4.2 Движение носителей заряда в постоянном и однородном магнитном поле. Диамагнитный резонанс.
Квазиклассическое приближение.
(1) Рассеяние равно нулю.
Оси координат направлены вдоль главных осей тензора масс

e  
F =- vB 
c
mx , m y , mz

dv x
eB
=(a z v y - a y v z )
dt
cm x
dv y
eB
=(a x v z - a z v x )
dt
cm y
(4.6)
dv z
eB
=(a y v x - a x v y )
dt
cm z

где a x , y , z
 косинус угла между B и осями
Однородная система:
vi = vio eiwx
в (4.6):
eB
eB
- iwv x0 +
a z v y0 a y v z0 = 0
mx c
mx c
eB
eB
a z v x0 - iwv y0 +
a x v z0 = 0
my c
my c
eB
eB
a y v x0 a x v y0 - iwv z0 = 0
mz c
mz c
Det=0:
w = 0 с постоянным движением вдоль поля !!!
Ox , O y , Oz
соответственно.
ay
 eB 
az
 eB  a

  ( x +
+
) = 
 c  m y mz mx mz mx m y
 mc c 
2
w = wc
2
mc
-1
2
= a x / m y mz + a y / mx mz + a z / mx m y
2
2
2
2
(4.7)

циклотронная масса
Измеряя me при B , параллельном O x , O y , Oz можно определить все mi
Рассмотрим поглощение электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Y .
На рисунке показано направление поля E в волне через полпериода.
Если при этом электрон перемещается из точки a в точку b
то он все время ускоряется
резонансное поглощение -диамагнитный резонанс
Столкновения  изменение величины v  нарушение условий резонанса !!!
В квазиклассике сила трения


mv
Fтр = -
tp
, где t p - время релаксации по импульсу
dv x
e
m
= -eE - v y B - v x
dt
c
tp
dv y e
m
m
= vx B - v y
dt
c
tp
m
iwt
Решение v = v0 e
e
-1
m( -iw + t p )v x = -eE - Bv y
c
e
-1
m( -iw + t p )v y = Bv x
c
s =-
1 - iwt p
emv x
= s0
E
(1 - iwt p ) 2 + (wct p ) 2
( 4.8)
где
e2n
s 0 = enm =
tp
m
т.е. s=s(w): комплексность – т.е. угол между колебаниями тока и поля
Поглощение 
1 + w 2t p 2 +wc t p
2
Re s  s 0
2
[1 + wc t p - w t p ]2 + 4w 2t p
2
2
2
2
2
(4.9)
т.е. резонанс только при wctp>1
Поле 104 Tл  wc - см или мм
4.3 Метод эффективной массы



U ( r ) = U 0 ( r ) + U ( r )
(4.10)

где
U 0 ( r ) - потенциал в идеальном кристалле
U (r ) - непериодическая функция

U ( r )
a
( 2 )
 << 1

U
(
r
)
Здесь a - параметр решетки.
(1)
Невырожденная зона. Ищем



 (r )
как

 ( r ) =  ( r ) c ( r )

где  c (r ) - функция
Блоха, - плавная функция.
В уравнение Шредингера с U ( r ) = U0 ( r ) + U ( r )
pˆ 2
 + U = E , p = -i
2m
(4.11)

- 1 ipr
2

При U = 0
 =V e
Находим, что E=p2/2m
это и есть спектр электрона в зоне проводимости.
Функция  мало изменяется на длине a при |E-Ec|<<Eg.
Аналогично у потолка валентной зоны, но m<0 и
pˆ 2
 - U = ( - E ) 
2m
Вводим дырки и меняем знак E  аналог
( 4.11)
Если есть магнитное поле то:


A , такой что rotA = B
(1)
можно ввести вектор-потенциал

e
ˆ
p
=
i


+
A
(2)
c

и спиновая энергия gm B  (sB )
и
т.е. получаем уравнение:

1
e  2
( -i  A)   U  gm B (sB )  =  E
2m
c
+

к зоне проводимости

к валентной зоне
Для вычисления средних

достаточно знать .

*
*

L

dr


1
2
1

 L 2 dr
т.е.  
эффективная волновая функция
4.4 Энергетический спектр носителя заряда в постоянном
и однородном магнитном поле (квантовая теория)

1
e2
(-i + A)  + gmB (sB)  = ( E - Ec ) 
2m e
c
B Oz ;
Ax = Az = 0
(4.12)
Ay = B x
e
2me c
 = f ( x )  exp( ik 2 y + ik 3 z )
mB =
где k2 и k3 вещественные волновые числа
 f   спин 
f =  + 
 f -   спин 
 2 k 32
2 d 2 f 
1
eBx 2
+
(k 2 +
) f  = (E - Ec  gm B B) f 
2m dx 2
2m
c
2m
(4.13)
введем
 2 k 32
  = E - Ec  gm B B
2m
ck 2
x  = x - x0 = x +
eB
2 d 2 f  e2 B2 2
+
x f  =  f 
2m dx  2
2mc 2
формально – это уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с собственной частотой
w=
Be
= wc
mc
Собственные значения
f =
где
  = wc (n + 1 2 )
 1 x - x0 2 
1
x - x0
exp - (
) H n (
)
lB
lB
 2 lB

lB =
c
eB
-
где n= 0,1
(4.14)
магнитная длина
Hn - полином Эрмита
 2 k 32
E = Ec +
 gm B B + w c (n + 1 )
2
2m



движение вдоль B спин
движение в плоскости
1 w c - нулевая энергия осциллятора
2
(4.15)
k2 в энергию не входит, а входит в x’
для фиксированного E
--- k2 произвольно, т.е. имеет место вырождение по координате
осциллятора.
Кратность вырождения  ?
V = Lx  L y  Lz = L  L  L
Образец объема
2
k
=
ny ;
y
Периодичность
L
kz =
2
nz
L
По оси 0x граничные условия не существенны, если L>>lB, т.к. волновая функция по x локализована
в области x 0  l B
L
-  x0  L
Но !!!
2
2

ck y c2n y 2n y
=
=
Be
BeL
mw c L
1
L2
1
L2
или
- mw c
 n y  mw c
2
2
2
2
2
т.е. при фиксированных E и kz число ny может принимать mw c L
значений.
2
Сравнение классического подхода с квантовым
Параболические зоны  ответ одинаковый
Но классическая трактовка непоследовательна
т.к. классическое движение заряда по круговой орбите
должно затухать из-за излучения электромагнитных волн.
Совпадение только для параболического закона !!!
Непараболический закон  неэквидестантные уровни Ландау!
Реально !!! Квантование нужно учитывать, если
(1) wc < E > где средняя энергия электронов < E > kT или E F

(2 ) Рассеяние  Уширение уровня t
p
<< w c
Диамагнитный резонанс  переходы между уровнями Ландау.
4.6 Электроны в постоянном электрическом поле
aeE
<< 1
E = const ;
Eg


 

dp
p
=
p
e
E
t
0
= - eE ;
dt
неограниченное возрастание p
период осцилляций


b = eEt 0
 только в первой зоне Бриллюэна?!
?  но p

 (b E )
t0 =
e E2
Изменение энергии =?

 

dE ( p ) dE ( p ) dp

=
=
e
E
 p E ( p)

dt
dp dt

Решение:


E ( p) = f ( p - e E t )

т.к. при E = 0 

E = E ( p) ,
т.е. осцилляции с периодом
(4.16)



тo E ( p, t ) = E ( p - e E t )

 ( bE )
t0 =
e E2
Следует помнить, что было использовано 2 приближения

(1) e E a << E g
(2)
столкновений нет t o << t p
В этом случае  должны наблюдаться
 осцилляции - осцилляции Блоха:
Рассмотрим стационарную задачу при E O z

U = U 0 (r ) + e E z
Собственная энергия El = El ( p) + e E z
Запрещенная зона в старом понимании исчезает !!!
Однако представление о границах зон сохраняет смысл.
Однако представление о границах зон сохраняет смысл.
Чтобы продемонстрировать это, обратимся к результатам расчета
зон в приближении сильной связи.
В этом приближении было найдено ранее
E = E0 + U (0) + 2[U (1) - U (0) S (1)] cos  ,
где

S (1) =  j g* +1j g dr - интеграл неортогональности
U (i ) =  j g* +i (U - U g )j g dr
j g  волновая функция на атоме g
U g (r )  потенциальная энергия взаимодействия электрона с g -м атомом
 = N  e igj g ( r - Rg )
g
 - действительная   =kd  конечная ширина зоны
  мнимое  cos   Ch( 
 при | d | 
 ~ exp( - z Im k )  
нормировка !!!
т.е. для мнимых  нужно выбрать =0  запрещенная зона!
при E=0 такое решение невозможно,

При
E  0 решение в принципе возможно, т.к. область k ограничена:
формально значениям энергии в запрещенной зоне можно сопоставить решение вида Ch||.
Для случая полупроводника в электрическом поле такие решения могут
реализоваться, т. к. запрещенные состояния только в ограниченной области z2-z1 .
В этой области решение имеет
ненулевую волновую функцию с
мнимым квазиимпульсом.
при z<z1 и z>z2  осциллирующее решение
область, где - осциллирующая _ функция  разрешенная _ зона
область, где _ возрастает _ или _ убывает  запрещенная _ зона
Конечная вероятность перехода из одной зоны в другую без совершения работы !
Вероятность перехода из одной зоны в другую:  exp- ( z 2 - z1 ) Im k

 туннелирование , вероятность возрастает с ростом
E
4. 5 Мелкие примесные уровни
Уровень мелкий, если
E / E g << 1 .
В этом случае размер >>a, т.е. вид потенциала при x<a не существенен.
Si - IV группа
примесь - V группа
z=1
водородоподобная модель!
ze 2
U = r
2

e2
2
  -  = E
2m
r
- 2  -
метод эффективной массы
aB =
me 4
EB = 2 2
2 
 2
me2
2
 = E
r
1) E>0
все значения разрешены, но не exp(ikr)…
2) E<0
En = -
EB
n2
n=1,2…

n =1
 = (a B 3 ) -1 / 2 exp( - r / a B )
Условие применимости  aB>>a.
Ge:
E B = 13,2eV 
m -2

m0
EB~10 мэВ, aB~40 A;
Примесей N
Условие применимости 
Иначе взаимное влияние примесей.
2
 = 16
m = 0.2m0
a B  n 3 << 1 3
 dr = 1
N
В Ge  применимо при N< 1012см-3
Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках
2 задачи
(1) Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок)
(2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях
термодинамического равновесия
5.1. Плотность состояний в зонах
Состояние электронов (дырок)
в зонах характеризуется


1) квазиимпульсом p = k
2) номером зоны l

( 2 ) 3 , где V – объем кристалла
Объем в зоне на каждое значение p 
V
Отсюда число состояний в элементе объема


dp
1
2dp
2
 =
(2) 3 / V V (2) 3
2 - Вырождение по спину
Перейдем к энергиям  от E до E+dE

Если известно E ( p ) нет проблем
Вблизи края зоны
p2
или p = 2m( E - Ec )
E = Ec +
2me
dp =

1 2me
dE
2 E
Объем в p -пространстве
N (E) =
1
2 
2
3

dp на единицу объема кристалла
Число состояний N(E)dE
E - Ec  E

dp = p 2dp4
( 2mc ) 3 / 2 E 1 / 2
Аналогично для дырок:
N (E) =
1
2 
2
3
( 2mh ) 3 / 2 E 1 / 2