Лекция № 13

Сегодня: ______________ 2009 г.
Лекция № 13
Тема: Применение теории
вероятности при обработке
результатов физических
экспериментов
Содержание лекции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вспомним! Ошибки измерения.
Показатели точности измерения.
Средние значения и их оценки, проверка гипотез.
Вычисление средних для интервального ряда.
Оценки истинного значения измеряемой величины.
Сравнение средних при неизвестной дисперсии.
Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов:
-- отыскание параметров линейной функции;
-- отыскание параметров квадратичной функции.
Ошибки измерения
Численное значение физической
величины получается в результате ее
измерения, т.е. сравнения ее с другой
величиной того же рода, принятой за
единицу. При выбранной системе единиц
результаты измерений выражаются
определенными числами.
Известно, что при достаточно точных
измерениях одной и той же величины
результаты отдельных измерений
отличаются друг от друга, и, следовательно,
содержат ошибки.
Ошибки измерения
Ошибкой измерения называется
разность х – а между результатом
измерения х и истинным значением а
измеряемой величины.
Ошибка измерения обычно неизвестна, как
неизвестно и истинное значение измеряемой
величины.
Поэтому одной из основных задач
математической обработки результатов
эксперимента как раз и является оценка
истинного значения измеряемой величины по
получаемым результатам.
Ошибки измерений
Ошибки бывают:



систематические;
случайные;
грубые.
Пример 1
Таблица 1
Исходные
данные
х
m
Расчет
Контроль
u
mu
mu2
v
mv
mv2
35,6
1
–4
–4
16
–5
–5
25
35,9
3
–1
–3
3
–2
–6
12
36,1
3
1
3
3
0
0
0
36,2
2
2
4
8
1
2
2
36,6
1
6
6
36
5
5
25
Сумма
10
–
6
66
–
–4
64
Пример 1
В табл. 1 первые два столбца дают результаты
десяти измерений некоторой величины (х –
результаты измерений, m – число получений
соответствующего результата).
Выбирая за начало отсчета с = 36,0 и полагая
h = 0,1, подсчитываем значения
xi  c xi  36,0
ui 

h
0,1
для третьего столбца.
Сумма чисел четвертого и пятого столбцов дают
все данные для расчета x и s*.
В последних трех столбцах проведены
контрольные расчеты при другом начале отсчета
с1 = 36,1, что соответствует сдвигу u = v + 1.
Пример 1
С помощью полученных сумм подсчитываем
средние:
6
u
 0,6;
10
x  36,0  0,1  0,6  36,06
66
2
s  0,1
 0,6  0,1 6,24  0,25.
10
*
Контрольные расчеты дают те же
результаты:
4
u
 0,4; x  36,0  0,1  (0,4)  36,06
10
64
2
*
s  0,1
  0,4  0,1 6,24  0,25.
10
Пример 2
Таблица 2
Интервалы
х
8,2758,325
8,3258,375
8,3758,425
8,4258,475
8,4758,525
8,5258,575
8,5758,625
8,6258,675
8,6758,725
8,7258,775
8,7758,825
8,258,875
8,8758,925
8,9258,975
8,30
8,35
8,40
8,45
8,50
8,55
8,60
8,65
8,70
8,75
8,80
8,85
8,90
8,95
Сумма
m
1
2
4
5
8
10
18
17
12
9
7
6
0
1
100
u
mu
mu2
v
mv
mv2
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
–6
–10
–16
–15
–16
–10
0
17
24
27
28
30
0
7
36
50
64
45
32
10
0
17
48
81
112
150
0
49
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
–7
–12
–20
–20
–24
–20
–18
0
12
18
21
24
0
6
49
72
100
80
72
40
18
0
12
36
63
96
0
36
–
60
694
–
–40
674
Пример 2
В табл. 2. приведен расчет средних значений и
средних квадратичных отклонений для
интервального ряда.
Здесь длина интервала h = 0,050.
Для выбранного начала отсчета с = 8,600 имеем
x  8,600
u
0,050
u
60
 0,6
100
x  8,600  0,050  0,6  8,630
s *  0,050 6,94  0,6  0,050 6,58  0,128 .
2
Для контрольного начала отсчета с1 = 8,650
имеем
v
x  8,650
0,050
v 
 40
 0,4
100
x  8,650  0,050  (0,4)  8,630
s *  0,050 6,74   0,4  0,050 6,58  0,128,
2
что убеждает в отсутствии ошибок в вычислениях.
Пример 3
Для ста измерений, результаты которых
приведены в примере 2 (табл. 2), были
подсчитаны значения х = 8,63 и s* = 0,128
причем длина интервала h = 0,05. Требуется
приближенно оценить истинное значение а
измеряемой величины по правилу трех
сигм.
Подсчитываем сначала исправленный
эмпирический стандарт
s  0,05 6,58  1 / 2  0,05 6,50  0,127 ,
затем применяем правило трех сигм
a  x  a  8,63  3  0,127 / 100  0,038.
Можно считать, что а лежит в интервале
(8,592; 8,668).
Пример 4
Пусть две серии 25 и 50 равноточных
измерений дали средние значения
x2  22,80
соответственно x1  23,56 и
и
средние квадратичные отклонения от них s1*  1,10
*
и s 2  1,25 .
Требуется сравнить средние значения и
решить вопрос о значимости их расхождения с
надежностью Р = 0,99.
Решение. Подсчитываем сначала величину
s

1
1
1


25  1,10 2  50  1,25 2
n1 n2
73
и затем отношение:
t
23,56  22,80
 2,55
0,298

1
1

 0,298
25 50
Пример 4
По табл. Стьюдента при заданной
надежности Р = 0,99 и числе степеней свободы
k = 25 + 50 – 2 = 73 находим значение
t
(0,99; 73) = 2,65.
Так как вычисленное отношение оказалось
меньше этого числа, то мы не можем считать
расхождение средних значимым.
С другой стороны, по той же табл.Стьюдента,
но при надежности 0,98 мы находим значение
t (0,98; 73) = 2,38, которое уже меньше
вычисленного отношения t.
Если бы нас могла удовлетворить
надежность вывода 0,98, то мы могли бы считать
расхождение средних значимым.
Пример 4
Если же нас такая надежность не удовлетворяет, то
пробуем увеличить число измерений.
Например, если в первой серии довести число
измерений с 25 до 28 и если при этом*
сохранятся те же значения x1 и s1 , то мы
получим

s
1
1
1


28  1,10 2  50  1,25 2
28 50
76
t
23,56  22,80
 2,66
0,286

0,05571  0,286
что позволит сделать вывод о значимости
расхождений средних с заданной надежностью
Р = 0,99, так как t (0,99; 76) = 2,64.
Пример 4
Примечание.
В табл. Стьюдента нет значений t ни для числа
степеней свободы k = 73, ни для k = 76.
Соответствующие значения вычислены с
помощью линейной интерполяции.
При Р = 0,99 в таблице находим два значения:
для k = 70 имеем t = 2,648,
для k = 80 имеем t = 2,639.
С помощью этих значений вычисляем:
для k = 73 значение t = 2,648 – 0,30,009 = 0,645,
для k = 76 значение t = 2,648 – 0,60,009 = 0,643.
Пример 5
Пусть десять измерений, результаты которых
приведены в таблице 1, выполнены для
определенной точности измерений.
В той же таблице были подсчитаны средние
x  36,06 и s *2  0,12  6,24 . Оценить среднюю
квадратичную ошибку измерений с надежностью
Р = 0,99.
Решение. Рассмотрим сначала более простой
случай, когда истинное значение измеряемой
величины известно и равно а = 36. Тогда для
2
дисперсии надо применить оценку s* , которую
удобно рассчитать по формуле
n
1
2
2
2
*2




s*   xi  a  s  x  a ,
n i 1
что дает
2
s* = (0,1)26,24 + (0,06)2 = (0,1)26,60.
Пример 5
Отсюда получаем приближенное равенство
  s* = 0,12,57 = 0,257.
Для оценки этого приближенного равенства с
доверительной вероятностью 0,99 найдем из
табл. Стьюдента при k = 10 коэффициенты
z1 = 0,630 и z2 = 2,154, что дает
0,257  0,630 <  < 0,257  2,154,
т.е. доверительный интервал (0,162; 0,554).
Если истинное значение измеряемой величины
неизвестно, то оценку дисперсии производим с
помощью эмпирической дисперсии
n
10
2
 s s
 (0,1)  6,24   (0,1) 2  6,93.
n 1
9
2
2
*2
Пример 5
Отсюда получаем приближенное равенство
  s = 0,12,63 = 0,263.
Для оценки этого приближенного равенства с
доверительной вероятностью 0,99
воспользуемся снова табл. Стьюдента, но теперь
уже при значении k = 9.
Это дает z1 = 0,618; z2 = 2,277 и, следовательно,
доверительную оценку
0,163 = 0,263  0,618 <  < 0,263  2,277 = 0,599.
Отметим, что здесь ошибка в определении 
может достигать 128 %.
Пример 6
Пусть одним и тем же измерительным
прибором произведено m = 20 серий измерений
по n = 10 измерений в каждой.
Эмпирическая дисперсия в i-й серии
измерений равна (i = 1, 2, …, m). Требуется
оценить среднюю квадратичную ошибку
измерительного прибора с надежностью Р = 0,99.
Решение. Так как число измерений в каждой
серии одно и то же, то применяем оценку для
дисперсий. Отсюда получаем приближенное
равенство
1 m 2
1 20 2
S 
si 
si .


m i 1
20 i 1
Пример 6
Доверительная оценка этого приближенного
равенства производится здесь при числе
степеней свободы
k = mn – m = 180.
Поэтому при надежности Р = 0,99 по табл.
Стьюдента находим q = 0,143 (что дает
относительную ошибку в определении  только
14 %).
Таким образом, доверительная оценка
средней квадратичной ошибки имеет вид
0,857S <  < 1,143S
с доверительной вероятностью 0,99.
Пример 7. Отыскание параметров линейной функции
Пример расчета линейной зависимости. Во
втором столбце приведенной далее таблицы 3.
даны значения функции у.
Пример 7
Таблица 3
Номер
точек
Значения
функции
k
y
l=k–4
y+ – y–
l(y+ –y–)
l = 2k –
9
y+ – y–
l(y+ –y–)
1
2
3
4
5
6
7
8
2,35
2,41
2,60
2,73
2,90
3,11
3,25
3,45
–3
–2
–1
0
1
2
3
–
0,30
070
0,90
–
0,30
1,40
2,70
–
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
0,17
0,51
0,84
1,10
0,17
1,53
4,20
7,70
(N = 7)
Суммы
(N = 8)
19,35
–
–
4,40
–
–
22,80
Расчет по семи точкам,
N = 7, M = 4
Расчет по восьми точкам,
N = 8, M = 4
13,60
Пример 7. Отыскание параметров линейной функции
График
Пример 7. Отыскание параметров квадратичной функции
Пример расчета квадратичной зависимости.
Во втором столбце приведенной далее
таблицы 4 даны значения функции yk для
равноотстоящих значений аргумента (сами
значения аргумента в таблице не приведены, так
как они не нужны для расчета). Для сравнения
расчет выполнен по семи и по восьми точкам.
Для расчета квадратичной зависимости по
семи точкам имеем
7
 yk  13,1,
k 1
7
 yk (k  4)  24,7,
k 1
7
2
y
(
k

4
)
 75,5.
 k
k 1
Найдя по табл. Х при N = 7 значения
H1(N) = 28; 3H2(N) = 252
Пример 8
Таблица 4
Номер
точек
Значения
функции
k
y
l=k–4
yl
y  l2
l = 2k –9
yl
y  l2
1
2
3
4
5
6
7
8
0,5
0,1
0,4
0,9
1,7
3,4
6,1
9,8
–3
–2
–1
0
1
2
3
–
–1,5
–0,2
–0,4
0
1,7
6,8
18,3
–
4,5
0,4
0,4
0
1,7
13,6
54,9
–
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
–3,5
–0,5
–1,2
–0,9
1,7
10,2
30,5
68,6
24,5
2,5
3,6
0,9
1,7
30,6
152,5
480,2
13,1
22,9
–
24,7
75,5
–
104,9
696,5
(N = 7)
Суммы
(N = 7)
Расчет по семи точкам,
N = 7, M = 4
Расчет по восьми точкам,
N = 8, M = 4
Пример 8
и вычислив (N2 – 1) / 4 = 12, получаем
1
3  75,5  12  13,1  0,275,
a1 
252
1
b1  24,7  0,882,
28
1
c1  13,1  4  0,275  0,771;
7
следовательно, y = 0,275u2 + 0,882u + 0,771,
где
x   x1  x7  / 2  x4 .
u  x  x  / h,
Пример 8
Для расчета квадратичной зависимости по
восьми точкам имеем
8
 yk  22,9,
k 1
8
 yk (2k  9)  104,9,
k 1
8
2
y
(
2
k

9
)
 696,5.
 k
k 1
Найдя по табл. Х при N = 8 значения
2H1(N) = 84; 12H2(N) = 2016,
получаем
1
3  696,5  63  22,9  0,321,
a1 
2016
1
42
1
c1  22,9 
 0,321  1,178;
b1  104,9  1,249,
84
8
8
следовательно, y = 0,321u2 + 1,249u + 1,178,
где
u  x  x  / h,
x   x1  x8  / 2  x4  h / 2.
Пример 8
Обе рассчитанные параболы вместе с
заданными точками изображены на рисунке.
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода