Скорость точки при векторном способе задания движения

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Кинематика – это раздел
теоретической механики, в котором
излагается движение точек и тел без
учета их масс и действующих на них
сил.
Основные задачи кинематики
Задать закон движения тела.
По этому закону найти основные
кинематические
характеристики (траекторию,
скорость, ускорение).
Способы задания движения
точки
1) Векторный.
2) Координатный.
3) Естественный.
Скорость точки при векторном способе задания
движения
Z
V
M
r( t )
Δr
M1
Vср
r( t + Δt )
Х
X
Скорость точки при векторном
способе задания движения
Δr
Vср =
Δt
• Средней скоростью точки называется
отношения приращения радиуса вектора
точки к промежутку времени, за который
произошло это перемещение .
Скорость точки при векторном
способе задания движения
Скоростью в данный момент времени называется
предел отношения вектора перемещения точки к
промежутку времени, за который произошло это
перемещение, когда этот промежуток времени
стремиться к нулю, т.е.
Δr dr •
V = lim
= =r
Δt →0 Δt
dt
Скорость точки при координатном
способе задания движения
r = xi + yj + zk
dr dx
dy
dz
V=
=
i+
j+ k
dt dt
dt
dt
dx
dz
dy
Vx =
Vz =
Vy =
dt
dt
dt
=> проекция скорости точки на координатную ось равна
первой производной по времени от соответствующей
этой оси координате
Модуль скорости:
V=
2
Vx
2
+ Vy
2
+ Vz
•2
•2
•2
= x +y +z
Направление вектора скорости определяется
направляющими косинусами:
Vx
cos( x ,v ) =
V
Vy
cos( y ,v ) =
V
Vz
cos( z ,v ) =
V
Скорость точки при естественном
способе задания движения
Δr dr •
V = lim
= =r
Δt →0 Δt
dt
ДОМНОЖИМ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА
ВЕЛИЧИНУ ДУГИ Δσ
Δr Δσ
Δr
Δσ
V = lim (
) = lim
• lim
Δt →0 Δσ Δt
Δt →0 Δσ Δt →0 Δt
Δσ > 0
M0
σ
τ
M
υ
Δσ
Δr
Δr
Δσ
M1
r( t + Δt )
r( t )
O
Δr dr
lim
=
=τ
dσ
Δt →0 Δσ
Δσ dσ •
lim
=
=σ
dt
Δt →0 Δt
dσ
dσ
υτ =
V= τ
dt
dt
V = υτ τ
Ускорение точки при координатном
способе задания движения
Модуль ускорения:
a=
2
ax
ax
cos( x ,a ) =
;
a
2
+ ay
2
+ az
cos( y ,a ) =
•• 2
=
ay
a
•• 2
•• 2
x +y +z
;
az
cos( z ,a ) =
a
Ускорение точки при векторном
способе задания движения
Средним ускорением точки называется
предел отношения приращение
вектора скорости к промежутку
времени, за который произошло это
приращение.
Δv
aср =
Δt
M1
Δυ
Δv
Δt
υ1
υ2
M2
υ2
Ускорение точки при векторном
способе задания движения
Ускорением в данный момент времени называется
предел отношения приращение вектора скорости к
промежутку времени, за который произошло это
приращение, когда этот промежуток времени
стремиться к нулю, т.е.
Δv dv ••
a = lim
=
=r
Δt →0 Δt
dt
Ускорение точки при координатном
способе задания движения
r = xi + yj + zk
2
2
2
2
dv d r d x d y
d z
a=
= 2 = 2 i+ 2 j+ 2 k
dt dt
dt
dt
dt
2
d x
ax = 2
dt
2
d z
az = 2
dt
d2y
ay = 2
dt
=> проекция ускорения точки на координатную ось равна
второй производной по времени от соответствующей
этой оси координате
Ускорение точки при координатном
способе задания движения
Модуль ускорения:
a=
2
ax
ax
cos( x ,a ) =
;
a
2
+ ay
2
+ az
cos( y ,a ) =
•• 2
=
ay
a
•• 2
•• 2
x +y +z
;
az
cos( z ,a ) =
a
Ускорение точки при естественным
способе задания движения
τ1
τ1
M1
M
τ
V = υτ τ
dV d
dυτ
dτ
a=
= (υτ τ ) =
τ + υτ
dt dt
dt
dt
I
II
n
M
b
I
II
III
τ
III
Соприкасающаяся плоскость
Нормальная плоскость
Спрямляющая плоскость
Δτ
Δσ
M0
σ
τ1
τ1
ε
M τ
B
Δτ
A
MM 1 = Δσ > 0
Δσ
dτ
Δτ
Δτ Δσ
Δτ
Δσ
dτ
= lim
= lim [
] = lim
• lim
= υτ
dt Δt→0 Δt Δt→0 Δσ Δt
dσ
Δt →0 Δσ Δσ →0 Δt
ε
Δτ = τ1 - τ
AB =| Δτ |= 2 sin
2
ε
sin
dτ
Δτ
ε
1
2
|
|= lim |
|= lim
=k =
dσ Δσ →0 Δσ Δσ →0 ε | Δσ |
ρ
2
τ2 = 1
dτ
Скалярное произведение равно нулю
• τ = 0,
dσ
когда вектора перпендикулярны.
dτ
dτ
⊥τ ,
направлен по нормали
dσ
dσ
Ускорение точки при естественном
способе задания движения
dτ
1
= vτ n
dt
ρ
dV d
dυτ
2 1
a=
= (υτ τ ) =
τ + υτ n
dt dt
dt
ρ
dυτ
2 1
an = υ τ n
aτ =
τ
ρ
dt
a = aτ + an
Поступательное движение
твердого тела
Поступательное движение твердого тела – это
такое движение тела, при котором любая
прямая проведенная в теле перемещается
параллельно самой себе.
Поступательное движение твердого тела
Z1
B0
B
ΔrВ
ρ
ρ
rВ
rA
O
X1
A1
ΔrА
A
Y
Поступательное движение
твердого тела
ΔrВ = ΔrA
drB drA
=
dt
dt
vВ = v A
dvB dv A
=
dt
dt
aВ = aA
При поступательном движении тела перемещения,
скорости и ускорения всех точек тела одинаковы
Вращательное движение твердого
тела
• Вращательное движение твердого тела – это
такое движение при котором какие - нибудь
две точки остаются неподвижными.
• Проходящая через эти точки прямая
называется осью вращения.
Z Z1
Y
A
X1
φ Δφ
X
Y1
Вращательное движение твердого
тела
Δφ = φ(t + Δt ) - φ(t )
(ωz )ср
Δφ
=
Δt
средняя угловая скорость
Δφ dφ •
ωz = lim
=
=φ
dt
Δt →0 Δt
угловая скорость
Вращательное движение твердого
тела
Δωz = ωz ( t + Δt ) - ωz ( t )
(εz )ср
Δωz
=
Δt
среднее угловое ускорение
2
Δωz dωz d φ ••
ε z = lim
=
= 2 =φ
dt
Δt →0 Δt
dt
угловое ускорение
Вектор угловой скорости
dφ
ω = k = ωz k
dt
Вектор угловой скорости- это вектор
численно равный первой производной по
времени от закона изменения угла поворота,
направленный по оси вращения в ту сторону,
чтобы глядя с конца вектора угловой скорости
вращение происходило бы против часовой
стрелки.
Вектор углового ускорения
dω dωz
εz =
=
k = εz k
dt
dt
Вектор углового ускорения- это вектор
численно равный первой производной по
времени от закона изменения угловой
скорости, направленный по оси вращения.
При ускоренном вращении направления
векторов углового ускорения и угловой
скорости совпадают.
Скорость точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
Ax1 y1 z1 – неподвижная система координат
Axyz – подвижная система координат
(вращается вокруг оси Аz)
r = xi + yj + zk
Z Z1
М
r
k
A
i
φ
X1
X
Y
j
φ
Y1
dr
di
dj
dk
V = =x +y +z
dt
dt
dt
dt
i = i1cosφ + j1 sin φ
j = j1cosφ - i1 sin φ
•
•
•
di
= - i1 sin φ φ+ j1 cos φ φ = j φ = jωz
dt
•
•
•
dj
= - j1 sin φ φ- i1 cos φ φ = -i φ = -iωz
dt
dk
=0
dt
Скорость точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
V = xωz j - yωz i
Vx = -yωz
Vy = xωz
Vz = 0
Скорость точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
Рассмотрим векторное произведение
i j k
i j k
ω × r = ωx ω y ωz = 0 0 ωz = - iyωz + jxωz
x
y
z
V = ω× r
x
y
z
Формула Эйлера
Z1
ρ
ω
υ
C
M
α r
O
X1
Y1
Скорость точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
V =ω • r • sin α = ω • ρ
Скорость точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси равна
произведению модуля угловой скорости
вращения и кратчайшего расстояния от
точки до оси вращения.
Ускорение точки тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси
Тело вращается вокруг оси z угловой скоростью
и угловым ускорением ε .
Скорость точки определяется по формуле
ω
V = ω× r
dV d
dω
dr
a=
= (ω × r ) =
×r + ω×
dt dt
dt
dt
a = ε × r + ω×V
ос
a = ω×V
вр
a = ε×r
вр
a = εrsin ( r, ε ) = ερ
a=
ос 2
вр 2
(a ) + (a )
вр
ос
a = ωv = ω ρ
2
= ρ ε +ω
a
ε
tgβ = ос = 2
a
ω
2
4
Z1
ω
ε
ρ
a
C
β
a
υ
ос
M
a
вр
r
O
X1
Y1
Плоскопараллельное движение
твердого тела
Плоскопараллельным (плоским) движением
твердого тела называется такое движение
тела при котором все точки тела
перемещаются в параллельных плоскостях.
A
B
C
Z
Z1
ρ
M
A
rА
X
O
X1
Y
r
Y1
Y1
Y2
Y
B
φ
YB
Y1B
ρ
j2
rB
φ
A
rA
Y1 A
O
X1A
i2
X 1B
X
XB
X2
X1
Скорость точки при плоскопараллельном
движении тела
rB = rA + ρ
drB drA dρ
=
+
dt
dt dt
υB = v A + vBA
υBA = ω × ρ
υBA
υB
B
υA
ωz > 0
A
υA
υB = v A + vBA
υ
B BA
υA
υB
ωz < 0
A
υA
Теореме о проекции скоростей двух
точек тела
Проекции скоростей двух точек тела на прямую
соединяющую эти точки равны.
υB
υA
A
α
υBA
β
B
α
υA
VB = VA + VBA
(VB )AB = (VA )AB + (VBA )AB
(VBA )AB = 0 ,т.к VBA ⊥AB
(VB )AB = (VA )AB
Мгновенный центр скоростей
• Мгновенным центром скоростей (МЦС)
называется точка плоской фигуры, скорость
которой в данный момент времени равна
нулю.
• Теорема: Если угловая скорость плоской
фигуры не равна нулю, то мгновенный
центр скоростей существует.
υA
A
ωz
π
2
υA
P
υPA
Определение положения
мгновенного цента скоростей
1. Известно направление скоростей двух
точек тела
υA
A
υB
B
P
Относительно МЦС тело совершает вращательное движение
υB
B
υA
P
Определение положения
мгновенного цента скоростей
2. Скорости двух точек тела
параллельны друг другу, не равны
между собой и перпендикулярны
прямой соединяющей эти точки.
υA
υB
A
B
P
υA
A
P
B
υB
Определение положения
мгновенного цента скоростей
3. Скорости двух точек параллельны, но
не перпендикулярны прямой
соединяющей эти точки.
υA α
A
υB
α
B
P
Определение положения
мгновенного цента скоростей
Тело катиться без скольжения по
неподвижной поверхности. Точка
касания имеет в данный момент
скорость равную нулю и является
мгновенным центром скоростей.
O
P
υp = 0
υO
Ускорение точек тела при
плоскопараллельном движении
υB = v A + vBA
υB = v A + ω × ρ
dvB dv A dω
dρ
=
+
× ρ + ω×
dt
dt
dt
dt
aB = aA + ε × ρ + ω × vBA
вр
BA
a
aA
B
α
ос
BA
a
aBA
aB
A
aA
Ускорение точек тела при
плоскопараллельном движении
вр
aВА
ос
aВА
aBА =
aB =
= ε× ρ
 
= ω × vBA
вр
aBA
ос
+ aВА
вр
a A + aBA
ос
+ аВА
Ускорение точек тела при
плоскопараллельном движении
2
v
BA
ос
2
aВА = ω • vBA = ω АВ =
AB
вр
a ВА = ε • ρ = εАВ
a BА = (
a BА = (
2
) +( )
вр 2
a BA
2
ос 2
а ВА
) +( )
вр 2
a BA
ос 2
а ВА
2
4
aBА=AB ε + ω
Продолжение