ω 1

Владивостокский Государственный Университет
Экономики и Сервиса
Кафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей
Теоретическая механика
Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА
Чубенко Елена Филипповна
2009
Тема 11
Сложное движение твердого тела
2
План занятия
• 1. Сложение поступательных движений
• 2. Сложение вращений вокруг параллельных осей
• 3. Сложение поступательного и вращательного движений.
Винтовое движение
• 4. Определений скоростей и ускорений твердого тела при
сложном движении
3
Введение
• Целью занятия является изучение сложного движения твердого
тела и его кинематических характеристик
• Материал занятия содержит основные определения и
расчетные формулы для определения скоростей и ускорений
твердого тела при сложном движении
4
Ключевые понятия
• 1. Поступательное движение твердого тела
• 2. Вращательное движение твердого тела вокруг параллельных
осей
• 3. Пара вращений
• 4. Винтовое движение
5
Сложение поступательных движений
Если тело движется относительно подвижных осей Oxyz , а эти
оси совершают одновременно переносное движение по
отношению к неподвижным осям Ох1у1z1 то результирующее
(абсолютное) движение тела называется сложным.
Задачей кинематики в этом случае является нахождение
зависимостей между характеристиками относительного,
переносного и абсолютного движений. Основными
кинематическими характеристиками движения тела, как мы знаем,
являются его поступательные и угловые спорости и ускорения. Мы
ограничимся в дальнейшем определением зависимостей только
между поступательными и угловыми скоростями движений.
6
Рассмотрим сначала случай, когда относительное движение тела
является поступательным со скоростью V1, а переносное
движение— тоже поступательное со скоростью V2. Тогда все точки
тела в относительном движении будут иметь скорость V1, а в
переносном — скорость V2. Следовательно, по теореме сложения
скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут иметь
одну и ту же скорость V = V1 + V2, т. е. абсолютное движение тела
будет поступательным.
Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями
V1 и V2 результирующее движение тела также является
поступательным со скоростью V= V1 + V2.
Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задаче
кинематики точки .
7
Сложение вращений вокруг двух
параллельных осей
Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является
вращением с угловой скоростью ω1 вокруг оси аа', укрепленной на
кривошипе bа. (рис. а), а переносное—вращением кривошипа bа
вокруг оси bb', параллельной аа', с угловой скоростью ω2. Тогда
движение тела будет плоскопараллельным по отношению к
плоскости, перпендикулярной к осям. Здесь возможны три частных
случая.
8
1) Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение
(S) тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. а). Следы осей
в сечении (S) обозначим буквами А и В. Легко видеть, что точка А,
как лежащая на оси Аа', получает скорость только от вращения
вокруг оси Вb', следовательно, VА = ω2•AB. Точно так же
VB = ω1•AB. При этом векторы VA и VB параллельны друг другу (оба
перпендикулярны AB) и направлены в разные стороны. Тогда точка
С является мгновенным центром скоростей (VC = 0), а
следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и Вb' является
мгновенной осью вращения тела.
Для определения угловой скорости ω абсолютного вращения тела
вокруг оси Сс' и положения самой оси, т. е. точки С, воспользуемся
равенством
ω = VB /BC = VA /AC
Из свойств пропорции получим:
ω = (VA + VB)/(AC + BC) = (VA + VB)/AB
9
Подставляя в это и предыдущее равенства VА = ω 2• AB ,
VB = ω1 • AB, найдем окончательно;
ω = ω 1+ ω2
(108)
ω1 /BC = ω2 /AC = ω/AB
(109)
Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в
одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его
результирующее движение будет мгновенным вращением с
абсолютной угловой скоростью ω = ω1+ ω2 вокруг мгновенной оси,
параллельной данным, положение этой оси определяется
пропорцией (109).
С течением времени мгновенная ось вращения Сс' будет менять
свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.
10
2) Вращения направлены в разные стороны. Изобразим опять
сечение (S) тела и допустим для определенности, что ω1 > ω2 .
Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости
точек А и В будут численно равны: VА = ω2•AB и VВ = ω1•AB ; при
этом VA и VB параллельны друг другу и направлены в одну сторону.
Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С причем
ω = VB / BC = VA / AC
или по свойствам пропорций
Ω = (VB-VA) / (BC-AC) = (VB-VA) / AB
11
Подставляя в
окончательно
эти
равенства
ω = ω 1- ω 2
значения
VA
и
VB
найдем
(110)
ω1 /BC = ω2 /AC = ω /AB
(111)
Итак, в этом случае результирующее движение также является
мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью
ω = ω 1- ω 2 , вокруг оси Сс', положение которой определяется
пропорцией (111).
Полученные результаты показывают, что векторы угловых
скоростей при вращении вокруг параллельных осей
складываются так же, как векторы параллельных сил.
12
3) Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения
вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по
модулю │ω1│= │ω2 │.
13
Такая совокупность вращений называется парой вращений, а
векторы ω1 и ω2 образуют пару угловых скоростей. В этом
случае получаем, что VА = ω2•AB и VВ = ω1•AB , т. е. VА = VВ. Тогда
мгновенный центр скоростей будет находиться в бесконечности и
все точки тела в данный момент будут иметь одинаковые скорости
V = ω1•AB.
Следовательно, результирующее движение тела будет
поступательным (или мгновенно поступательным) движением со
скоростью V, численно равной ω1•AB и направленной
перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ω2 и ω1;
направление вектора V определяется так же, как в статике
определялось направление момента M пары сил. Иначе говоря,
пара вращений эквивалентна поступательному (или
мгновенно поступательному) движению со скоростью V,
равной моменту пары угловых скоростей этих вращении.
14
Сложение поступательного и
вращательного движений.
Винтовое движение
Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из
поступательного и вращательного движений. Здесь относительным
движением тела 1 является вращение с угловой скоростью ω
вокруг оси Аа, укрепленной на платформе 2, а переносным
поступательное движение платформы со скоростью V.
Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для
которого относительным движением является вращение вокруг его
оси, а переносным—движение той же платформы. В зависимости
от значения угла α между векторами ω и V (для колеса этот угол
равен 90°) здесь возможны три случая.
15
1) Скорость поступательного движения перпендикулярна к
оси вращения (V┴ω). Пусть сложное движение тела слагается из
вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью ω и
поступательного движения со скоростью V, перпендикулярной к ω.
Легко видеть, что это движение представляет собою (по
отношению к плоскости П перпендикулярной к оси Аа)
плоскопараллельное движение, . Если считать точку А полюсом, то
рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное,
будет действительно слагаться из поступательного со скоростью
VА = V, т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси
Аа, проходящей через полюс.
16
Вектор V можно заменить парой угловых скоростей ω’ и ω’’, беря
ω’ = ω , а ω’’ = - ω. При этом расстояние АР найдется из
равенства V = ω’•АР, откуда (учитывая, что ω’ = ω)
AР = V/ ω
(112)
Векторы ω и ω’’ дают при сложении нуль, и мы получаем, что
движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное
вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью ω’ = ω. Этот
результат был раньше получен другим путем . Сравнивая
равенства , легко видеть, что точка Р для сечения (S) тела
является мгновенным центром скоростей (Vp = 0). Здесь мы еще
раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит
с одной и той же угловой скоростью ω, т. е.: что вращательная
часть движения не зависит от выбора полюса.
17
2) Винтовое движение (V ║ ω). Если сложное движение тела
слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью ω и
поступательного со скоростью V, направленной параллельно оси
Аа , то такое движение тела называется винтовым.
18
Ось Аа называется осью винта. Когда векторы V и ω направлены
в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения w винт
будет правым; если в разные стороны — левым. Расстояние,
проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей
на оси винта, называется шагом h винта. Если величины V и ω
постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая
время одного оборота через Т, получаем в этом случае V•T=h и
ω •Т= 2π , откуда
H = 2π •V / ω
При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси
винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся
от оси винта на расстоянии r, складывается из поступательной
скорости V и перпендикулярной к ней скорости
ω x r, получаемой во вращательном движении. Следовательно,
VM = √ V 2 + ω 2 • r 2
Направлена скорость VM по касательной к винтовой линии. Если
цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М,
разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии
обратятся, очевидно, в прямые, наклоненные к основанию
19
цилиндра под углом a (tg α = h / 2π• r).
3)
Скорость
поступательного
движения
образует
произвольный угол с осью вращения. Сложное движение,
совершаемое телом в этом случае, представляет собою общий
случай движения свободного твердого тела.
Разложим вектор V на составляющие: 1) V’, направленную вдоль ω
(V ’ = V cosα) и 2) V ’’, перпендикулярную к ω (V ’’= V sinα).
Скорость V’’ можно заменить парой угловых скоростей ω’ = ω и
ω’’ = - ω после чего векторы ω и ω ’’ можно отбросить.
20
Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью ω’ и
поступательное движение со скоростью V ’. Следовательно,
распределение скоростей точек тела в данный момент времени
будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с
угловой скоростью ω ’ = ω и поступательной скоростью V = V cosα.
Проделанными операциями мы перешли от полюса А к полюсу С.
Результат показывает, что и в общем случае движения угловая
скорость тела при перемене полюса не изменяется (ω’ = ω), а
меняется только поступательная скорость (V ’≠ V).
Поскольку при движении свободного твердого тела величины V, ω
и a, будут вообще все время изменяться, то будет непрерывно
меняться и положение оси Сс, которую поэтому называют
мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение
свободного твердого тела можно еще рассматривать как
слагающееся из серии мгновенных винтовых движений
вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.
21
Вопросы для самопроверки
•
•
•
•
•
1. Какое движение твердого тела называется сложным?
2. Как складываются скорости при поступательном движении?
3. Как складываются скорости при вращательном движении?
4. Что такое винтовое движение?
5. Что такое пара вращения?
22
Задания для самопроверки
• Решить задачи 8.1 – 8.16
23
Рекомендуемая литература
• Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая
школа, 2004
• Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс,
2007
• Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН, 2006
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.,
ВШ, 2006
24