v - Томский политехнический университет
реклама
Томский политехнический университет ЕНМФ щей физики н Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403 Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Лекция 9 Тема: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА Содержание лекции: 9.1.Введение 9.2. Распределение Максвелла 9.3. Распределение по абсолютным скоростям. Средние скорости молекул 9.4. Скорость химической реакции 9.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла 9.1. Введение С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества, величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др. Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельным атомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностными или статистическими. Остались нерешенными некоторые принципиальные вопросы, связанные с детализацией описания большой совокупности атомов и молекул. Это вопросы, касающиеся распределения атомов и молекул идеального газа по скоростям и по энергиям. Пока мы не можем ответить на следующий вопрос: «Какое число атомов dN из общего числа N имеет скорости в интервале от v до v dv?», хотя мы и знаем, чему равна среднеквадратичная скорость движения атомов и молекул. Важно также выяснить, как атомные частицы распределены в пространстве, где на них действуют силы, и от точки к точке меняется их потенциальная энергия. Ответы на данные вопросы важны, если мы хотим найти распределение по высоте концентрации газов в атмосферах планет и описать эволюцию атмосферы планет; для оценки пределов чувствительности электронных, оптических и других приборов; для описания испарения жидкости, термоэмиссии; при вычислении скорости протекания химической реакции; процесса разделения изотопов методами центрифугирования и пр. 9.2. Распределение Максвелла Пусть у нас имеется N тождественных атомных частиц, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. В результате каждого акта столкновения между молекулами их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным. В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на vx, vy, vz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Найдем в этих условиях, каково число частиц dN из общего числа N имеет скорость в интервале от v до v dv. При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной атомной частицы vi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из атомных частиц невозможно проследить ни в опыте, ни в теории, и такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность. Впервые распределение молекул по скоростям было найдено Максвеллом и названо его именем. Движение частицы происходит в трехмерном пространстве, и движение вдоль любого из трех направлений x, y, z равновероятно и независимо. Величина полной скорости v связана с величинами проекций скоростей vx, vy, vz соотношением v2 = vx2 + vy2 + vz2. Это уравнение задает сферическую поверхность в пространстве скоростей, аналогично тому, как уравнение R2 = x2 + y2 + z2 определяет сферическую поверхность в обычном пространстве. Если скорость частицы попадает в интервал от v до v dv, то такая частица изобразится точкой между сферическими поверхностями радиусом v и v dv. Тогда число атомных частиц dN из общего числа N, имеющих скорость в интервале пространства скоростей, равна плотности изображающих точек (v) [1/(м/с)3] между сферическими поверхностями с радиусами v и v dv, умноженной на Объем области между Рис. 9.1. Сфера состояний в этими сферами пространстве скоростей. dV = 4v2dv (рис. 9.1): Сферический слой содержит все молекулы, скорость которых лежит 2 dN = 4v (v)dv. в интервале от v до v + dv Для того чтобы определить вид функции v, воспользуемся равенством (v2 = vx2 + vy2 + vz2) = (vx2)(vy2)(vz2), выражающим условие независимости движений и равновероятного распределения скоростей вдоль любого из направлений x, y, z в пространстве. Указанным свойством обладает показательная функция . Указанным свойством обладает показательная функция (v2) = (vx2 + vy2 + vz2) = . Ae Bv 2 Ae Bv x2 e Bv 2y e Bv z2 В результате имеем dN 4v Ae 2 Bv 2 dv Постоянные A и B можно найти из условия сохранения полного числа частиц, имеющих всевозможные скорости (0 v ): N dN 4πA v e 0 2 Bv 2 dv 0 Помимо этого, для идеального газа известно среднее значение квадрата скорости, которое может быть выражено через dN: 3kT v m 2 v 2 dN 0 dN 0 v 0 v 4 Bv 2 e 2 Bv 2 e dv dv d 2 Bv 2 ln v e dv dB 0 0 Отсюда следует B m A N B 2 k T Окончательно имеем для dN: . m dN 4N 2kT 3/ 2 3/ 2 m 2kT mv 2 2 2 kT v e dv 3/ 2 В показателе экспонент у данных распределений стоит отношение возможной кинетической энергии частицы mv2/2 к величине kT – энергии теплового движения частицы. 9.3. Распределение по абсолютным скоростям. Средние скорости молекул Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц: 1 dN m F (v ) 4 N dv 2k T 3/ 2 2 v e mv 2 2 kT График функции F(v) приведен на рис. 9.2. При «малых» v F(v) ~ v2, затем F(v) достигает максимума и далее экспоненциально спадает. Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости F(v), называют наиболее вероятной скоростью. Величину наиболее вероятной скорости найдем из условия dF v 0 dv Рис. 9.2. Максвелловское распределение, показывающее среднее число частиц F(v)dv, имеющих скорости от v до v + dv. . v вер 2kT m Средняя, или среднеквадратичная, скорость частицы газа не совпадает с наиболее вероятной, а несколько превышает ее: v ср 1 8k T vdN vF (v )dv 1,13v вер N 0 m 0 Среднеквадратичная скорость молекулы равна vкв 3kT 1,22vвер m Все три скорости незначительно отличаются друг от друга vкв > vcр > vвер. На рис. 9.3 показана зависимость F(v) при различных температурах. Рис. 9.3. Максвелловское распределение скоростей молекул при различных температурах. Рассмотрим в качестве примера азот N2 при комнатной температуре Т 300 К. Молекулярная масса азота N2 равна 28, масса одной молекулы азота m 4,610–23 г, и из 2kT формулы v вер m мы получаем наиболее вероятную скорость молекулы N2: vвер 4,2104 см/с = 420 м/с 9.4. Скорость химической реакции Распределение частиц газа по скоростям позволяет решить задачу, связанную с определением скорости протекания химической реакции с образованием молекулы АВ при столкновении атомов А с атомами В. Чтобы в смеси газов А и В образовались молекулы АВ, необходимо, чтобы атом А попал в атом В. Число столкновений пропорционально произведению концентраций атомов А (nA), атомов В (nB) и сечению столкновения частиц . В классической модели идеального газа = (rA + rB)2, где rA, rB – радиусы сталкивающихся частиц А и В, определяет площадь пространства, доступного для встречи частицы А с частицей В. Простого столкновения частиц А и В бывает недостаточно для образования молекулы АВ, необходимо, чтобы столкновение было достаточно сильным, и относительная энергия сталкивающихся частиц Е превышала некую минимальную величину Еa, называемую энергией активации реакции. В случае если Е > Еa, возможно начало такой перестройки электронных оболочек взаимодействующих частиц, которое завершится образованием молекулы АВ. График зависимости полной энергии Е в системе А + В от взаимного расстояния между частицами А и В rAB приведен на рис. 9.5. Число частиц, обладающих достаточной энергией, можно определить, воспользовавшись распределением Максвелла, и оно равно dNA dNB, при условии, что их относительная энергия E > Ea. Величину dNAdNB можно преобразовать от распределения по скоростям частиц АvA и ВvB к распределению по скоростям центра масс частиц m Av A mBv B u m A mB Рис. 9.5. Химическая реакция А + В = АВ идет, если энергия столкновения частиц А, В достаточна для преодоления активационного барьера Еа Полное число химических превращений в единицу времени равно RAB EdE E N A N B v σ( E ) exp 2 (kT ) kT 0 E0 N A N B v σ exp , kT где 8kT v πμ средняя относительная скорость частицы с приведенной массой m m A B m A mB Если разделить величину RAB на произведение концентраций реагентов, то получим так называемую константу скорости химической реакции – число химических превращений в единицу времени при единичных концентрациях реагентов: RAB K ехр( ЕА / kT ) N ANB -закон Аррениуса, полученный выдающимся шведским физиком-химиком Сванте Августом Аррениусом (1859-1927) в 1889 г., лежащий в основе физической кинетики. 9.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла Проверка того факта, что атомы и молекулы идеальных газов в термически равновесном пучке имеют различные скорости, была осуществлена Отто Штерном (1888 1969) в 1920 г. Схема его установки приведена на рис.9.6 Рис. 9.6 Схема опыта Штерна по экспериментальной проверке распределения Максвелла: А – нагретая Pt нить, покрытая Ag; S2 – диафрагма; S1, S3 – коаксиальные вращающиеся цилиндры STERN Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S1, S3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка 103 104 Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S1 и диафрагме S2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S3, на которые они могут осаждаться. Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узой полоски D на поверхности цилиндра S3. Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью 4050 рад/с, то изображение щели смещается в точку D и становится расплывчатым. Пусть l – расстояние между D и D, измеренное вдоль поверхности цилиндра S3, оно равно l = v1t, где v1 R – линейная скорость точек поверхности цилиндра S3, радиусом R, t = S2 D/v время прохождения атомами серебра расстояния S2D=h. Таким образом, имеем l = Rh/v, откуда vэксп = Rh/l – можно определить величину скорости теплового движения атомов серебра. Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200 С, что соответствует среднеквадратичной скорости vкв = 584 м/с. В эксперименте для этой величины получилось значение от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D всегда оказывалось размытым, это указывало на то, что атомы Ag движутся с различными скоростями Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода
