Вынужденные колебания

Вынужденные колебания
Уравнение вынужденных колебаний:
d 2x(t)
dx ( t )
2

2



x ( t )  f 0 cos t
0
2
dt
dt
 — коэффициент затухания
0 - собственная частота колебаний
 — частота вынуждающего воздействия на систему.
f 0  F0 m
F0 — амплитуда вынуждающей силы
f 0  0 L
Рис. 5.1. Пружинный маятник (а) и
колебательный контур (б) с
вынуждающим воздействием

0
— амплитуда переменного
напряжения
Вынужденные колебания
Установившийся режим вынужденных колебаний:
x  a cos(t  )
амплитуда вынужденных колебаний
a( ) 
a ()
f0
( 0  2 ) 2  4 22
2
Отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего
это колебание внешнего воздействия:
2 
  arctg 2
2
0  
Вынужденные колебания. Резонанс.
Резонанс - резкое возрастание
амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты внешнего
воздействия к некоторому значению
Резонансная частота:
Рис. 5.2. Резонансная
кривая
рез  0  2
2
aрез 
2
f0
2 (0 2   2 )
Связь добротности системы и амплитуды резонансных колебаний:
f0
aрез 
,
2 0
aрез 0
2 


 Q
a(0) 2  2 T 
Вынужденные колебания. Резонанс.
Среднее значение поглощаемой в
единицу времени энергии:
P  P ( )  0.5 F0 a( ) sin 
Рис. 5.3. Зависимость
поглощенной энергии от
частоты

2   2 
sin   sin  arctg 2

a( )
2 
f0
0   

Учитывая, что
f 0  F0 m
P  P( )  m[a( )]
2
Волновые процессы.
Упругие волны – процессы распространения колебаний упругой среды.
Частицы колеблются около своих положений равновесия, т. е.
происходит перенос энергии без переноса вещества.
Упругие волны
Продольные волны
- молекулы колеблются
вдоль направления
распространения волны.
Поперечные волны
- молекулы колеблются
поперек направления
распространения волны.
Монохроматические волны – волны с одинаковым периодом
2


распространения (одинаковой частотой
)
T
Гармоническая волна. Параметры гармонической
волны
Волновая функция гармонической волны:
( x , t )  A sin( kx  t  )


k
k

- частота колебаний,
- начальная фаза,
- волновое число,

k

- волновой вектор - вектор, численно равный
волновому числу и направленный вдоль
направления распространения волны
- фазовая скорость.
Длина волны  - расстояние между точками, в которых
совпадает значение x и значение ее производной по
координате.
Параметры гармонической волны
Длина волны:
2
 T 
k
Рис. 5.4. «Моментальная фотография» (а)
и распространение волны (б)
Волновая поверхность или волновой фронт – геометрическое
место точек, находящихся в одинаковой фазе колебания.
Волновая поверхность, на которой колебание находится в
максимальной фазе, называется гребнем волны.
Волновое уравнение для линейных сред:
 2 1  2
 2 2 0
2
x
v t
Виды волн.
Волна называется сферической, если ее
волновые поверхности представляют
собой сферы
Рис. 5.5. Сферическая
волна
В однородной среде колебание вдоль всех
параллельных лучей распространяется с
одинаковой фазовой скоростью v . Все
волновые поверхности такой волны
являются плоскостями. Такая волна
называется плоской.
Рис. 5.6. Плоская волна
Волновой пакет. Групповая скорость
Волновой пакет – система синусоидальных волн, на которую
можно заменить любую негармоническую волну, основываясь
на принципе суперпозиции.
Спектр – совокупность значений частот гармонических волн,
составляющих пакет.
Волновой цуг – квазигармоническая волна, получающаяся как
результат наложения двух гармонических волн с одинаковыми
амплитудами и распространяющимися вдоль одного луча, но
имеющими немного различающиеся частоты.
 t  kx
) sin(  t  kx )
Волновая функция цуга:   2 A cos(
2
Огибающая цуга:
B( t , x )  2 A cos(
Групповая скорость
(скорость распространения огибающей):
 t  kx
u
2

k
)
Волновое уравнение для электромагнитных волн.
Первые два уравнения Максвелла для однородного и изотропного
диэлектрика, не содержащего свободных зарядов:
rot E  
0
H
E
,rot H  0
t
t
H
 2E
rot
 0 2
Продифференцируем второе уравнение по t:
t
t
1
 2E
rot rot E  0 2
Подставим H t из первого уравнения: 
0
t
Используя соотношения:
получаем:
rot rot  grad div   и
 2E
E  0 0 2
t
где
div E  0,
- уравнение электромагнитной
волны
2
2
2
  2  2  2 - оператор Лапласа.
x
y
z
Скорость электромагнитных волн.
Фазовая скорость волны:
v
1

0  0
c

Скорость света в вакууме:
1
c
00
Показатель преломления - отношение скорости света в
вакууме к скорости света в веществе
c
n   
v
Энергия и импульс электромагнитных волн.
Связь между модулями векторов Е и Н в
гармонической волне имеет вид:
E
Рис. 5.7. Электрическое
и магнитное поля
световой волны
При
 0
H
0
Плотность энергии электромагнитного поля:
0 E 2  0 H 2
w  wэ  wм 

2
2
E  A sin   t  kx 
w  0 A sin ( t  kx )  EH v
2
2
Вектор Пойнтинга.
Энергия, переносимая через площадку d ,
ориентированную поперек луча, за время dt:
dW ( x , t )  w( x , t ) vdSdt
Поток энергии ( поток лучистой энергии) отношение энергии волны dW, передаваемой
Рис.5.8. К выводу вектора через площадку за малый промежуток
времени, к этому промежутку времени.
Пойнтинга
Плотность потока энергии (интенсивность волны) – отношение
потока энергии через площадку к ее площади.
I  wv
Вектор Пойнтинга – вектор, численно равный интенсивности электромагнитной
волны и направленный вдоль луча, т.е. вдоль направления переноса энергии.
S  wv  [E, H]
dWист
  Sn d 
Теорема Пойнтинга:
dt
