Презентация доклада, представленного на Ученом Совете

Объединенный институт высоких температур РАН, Москва
Квантовое моделирование
термодинамических и кинетических свойств
неидеальной кварк – глюонной плазмы
В. С. Филинов
Содержание доклада








Превращения вещества при высоких давлениях
Квантовое описание КГП с помощью интегралов по
траекториям
Квантовые эффекты в межчастичном
взаимодействии и «цветовой» потенциал Кельбга
Термодинамические величины КГП
Вигнеровская формулировка квантовой механики в
фазовом пространстве
Интегральная форма «цветового» уравнения
Вигнера – Лиувилля
Квантовое и «цветовое» обобщение классического
метода молекулярной динамики
Кинетические коэффициенты КГП
Превращения вещества при больших
давлениях и высоких темпратурах
  1g / cm3
  1014 g / cm3
  2.51015 g / cm3
Квантовые числа –
«цвет» и «аромат»
КХД схема возможных превращений
вещества при экстремальном сжатии
Атомное ядро Кружочки:
адроны (прононы, нейтроны) «безцветные связанные
состояния «одетых» кварков;
массивные «цветные одетые»
кварки, в оболочке вакуумных
виртуальных кварков
Точки - «цветные» (легкие)
токовые кварки в лагранжиане
КХД
1
2
1 и 2 -два КХД сценария фазового
перехода в фазу деконфайнмента
цветных кварков и исчезновения
оболочек вакуумных виртуальных
кварков и антикварков
Квантовая квазичастичная модель КГП
Суммирование диаграмм в квантовой хромодинамики и расчеты в рамках решеточных
моделей КХД показывют, что КГП в определенной области фазовой диаграммы
может рассматриваться как система «одетых» квазичастиц,сильно взаимодействующих
с помощью «цветового» кулоновского потенциала. Кварковые, антикварковые и глюонные квазичастицы формируются благодаря сильному взаимодействию с
виртуальными вакуумными кварк - глюонными флуктуациями. Масса и «время жизни»
квазичастиц зависят от температуры и химического потенциала (m=0 при T~Td или
выше Td и ниже Tc если Td<Tc)
Chiral restoration
massive dressed quarks
and soft gauge fields
Confinement
?
Feinberg, Litim,
Manuel, Stoecker,
Bleicher,, Richardson,
Bonasera,Maruyama,
Hatsuda, Shuryak,….
Phase diagram
(F.Karsch)
Основные приближения квазичастичной модели КГП
1) Во взаимодействие квазичастиц преобладает «цветовой кулоновский»
потенциал ~ g2 <Q|Q> / r, со слабо зависящей от межчастичного расстояния
«константой» взаимодействия g и «цветовыми зарядами» Q.
2) В качестве «цветовых» зарядов Q используются средние значения операторов
«цвета» КХД , которые для группы «цвета» SU(3) можно представить в виде
8-мерных векторов. (Здесь (Q|Q) скалярное произведение векторов Q).
3) В данной модели рассматриваются кварковые и антикварковые
релятивистские «цветовые» квазичастицы, соответствующие наиболее
стабильным кваркам трех «ароматов» (up, down and strange).
4) Кварковые квазичастицы имеют одинаковую массу отличную от массы
глюонов
Параметры модели
1)
2)
Зависимость массы квазичастиц от T и химического потенциала
Зависимость константы g от T и химического потенциала
Параметры модели должны быть взята из оценок КХД или
экспериментальных данных и использованы в квантовом операторе
Гамильтона H.
Данная модель обобщает модель, предложенную в статье
Shuryak , Phys.Lett.B478,161(2000), Phys. Rev. C, 74, 044909, (2006)
Термодинамика релятивистской КГП
H   K   U C   pa2  ma2 (  ) U C 
a
2
g
(| ra  rb |,  )  Qa | Qb 
2
2
pa  ma (  )  
4 | ra  rb |
a ,b

a
Большая статистическая сумма
  m , m g  0, V ,   




exp( m ( N q  N q )) 
Nu , N d , N s , N , N d , N , N g
u
s
Z N q , N q , N g ,  / N u ! N d ! N s ! N u ! N d ! N s ! N g !
в SU(3) интеграл
N q  Nu  N d  N s ; N q  Nu  N d  N s
по мере Хаара


Z N q , N q , N g ,     drd m Q  r , Q,  ; 
 V

  exp   H ( )  exp   H ( )    exp   H ( ) 
  1 kT
  
n+1
 n  1
Интегралы по траекториям
Метод Монте - Карло
quark, antiquark, gluon
qa
q
r(n+1)  r
’  
3,q,q ', g  2 2 q3,q ', g (mq,q ', g / (n  1)T )
q’b
q,q ', g  1/ mq,q ', g
r(2)
r(1) = r + (1)
r(n)
Qa ,rb
antiquark
r
gc
Qa,ra,


 r , Q,  ;  

1
1
  
 (r , Q ; r
(l )
  1  dr
3 Nq 3 Nq 3 N g
P  Pq , Pq , Pg
q
 q g
(2)
 n ( n)
 r , Q; r , Q ; 
(l )
parity of
permutations
P
1
(l 1)
,Q
 
( l 1)
Qc,rc
 n
dr d mQ
gluon
1

V
 n
d mQ 

 n 1 ˆ  n 1
ˆ
 r , Q ; Pr , PQ ;  S   Pˆ 
)   (Q  Q
(l )
(l 1)
)  (r , Q ; r
(l )
(l )
( l 1)
(l )
,Q )

spin
matrix
Цветовой кулоновский потенциал и
потенциал Кельбга
Richardson, Gelman, Shuryak, Zahed, Harmann, Donko, Levai, Kalman (r=0 ?)
xab  rab ab
ab 
2
 2mab

2
2

Q
|
Q

g
 xab
ab
a
b
  xab ,   
1  e   xab 1  erf  xab  
4ab xab
rab  0
 Qa | Qb  g 2 
~
4ab
rab  ab
 Qa | Qb  g 2
4ab xab

Objects Q are color coordinates
of quarks and gluons
There is no divergence at small
interparticle distances and
it has a true asymptotics (T, xab )
Ha -> kBTc , Tc =175 Mev,
Tc < T,
ma ~ kBTc/c2 ,
Lo ~ hc/kBTc , rs= <r>/Lo~0.3,
Lo~1.2 10-15 m
Параметры модели при m B  0
1) Константа взаимодействия
 (T )  g 2 (T ) / 4  1
2) Массы квазичастиц:
mq, mq, mg

Отношение потенциальной
энергии к кинетической
(T ) ~ U / K ~ 5
Плотность кварков - из расчета в
БКА, rs – радиус Вигнера-Зейтца
Уравнение состояний, энергия, энтропия The trace anomaly.
Сравнений с расчетами в решеточной модели КХД (2+1)
/T4
13
12
11
PIMC
lattice (2010)
10
9
8
1.0
1.5
2.0
2.5 T/T 3.0
c
The QCD equation of state with dynamical quarks Szabolcs Borsanyi, Gergely Endrodi, Zoltan Fodor, Antal Jakovac,
Sandor D. Katz, Stefan Krieg, Claudia Ratti, Kalman K. Szabo, JHEP 11 (2010) 077
Вигнеровская формулировка
квантовой механики
в фазовом пространстве
 (q , t )
ih
 H  (q , t );
t
 (q , 0)   o (q );
h2
H 
  V (q )
2m
WL – функция Вигнера -Лиувилля
Квантовая динамика
Матрица плотности:
 q, q   q q   C
Функция Вигнера:
W L q, p  
Уравнение
Вигнера - Лиувилля:
*

 
i

  ip


q

,
q

e d
 




L  q   q 



 q , q    W 
, p e i qq  p dp
 

Nd

 Ĥ ,  
t
W L R
W L
p W L

  dsW L p  s, q, t  s, q ds
t
m q
Классический предел ħ  0:
W L
p W L
U W L



t
m q
q p
 s, q  

 Nd
 sq' 




d
q
U
q

q
sin

  
Характеристики уравнеия Вигнера-Лиувилля
(уравненмя Гамильтона)
p
q 
m
U
p  
q
Интегральная форма квантового
уравнения Вигнера – Лиувилля
W L  p, q, t    W  p, q, t ; p0 , q0 , 0   W0  p0 , q0 dp0 dq0 
t

0

W
d

'
dp
dq

    '  '  p, q, t; p ' , q ' , '

dsW L  p '  s, q ' , '    s, q ' 
Классические динамические
траектории :
p, q, t
dp
 F  q  t   , qt  t |t  ' ; p ' , q ' , '   q '
dt
dq
 p  t  m , pt  t |t  ' ; p ' , q ' , '   p '
dt
Функция Грина :
p, q, t
p, q, t
pq
p q
p ' , q ' , '
p ' , q ' , '
W ( p, q, t; p ' , q ' , ' )    p  pt (t; p ' , q ' , ' )  ( q  qt t; p ' , q ' , ' 
Решение интегрального уравнения.
Итерационный ряд.
Квантовые средние.
t
W L ( p, q , t )  W0L ( p0 , q0 , 0)   d  dsW0L ( p  s , q , ) ( s , q )  ....
0
t
t n Q`
|  d  dsW ( p  s , q , ) ( s , q ) |
|n 1
n!
0
L
0
W0L ( p0 , q0 )
0
W0L ( p0 , q0 )
Начальная функция.
Уравнение
Климонтовича и
условия Татарского
p


s
W L ( p, q, t )
q
t
Квантовая динамика
в фазовом пространстве
P ~ W0 L ( p (0), q (0))
weight  sign W L ( p (0), q (0)) 
dp
 F (q(t ))
dt
dq p ( t )

dt
m
Виртуальные
квантовые
траектории
Случайные скачки
импульса
Средние
символов Вейля
операторов
 p ( t ) p (0 ) 
p (0), q (0)
p (t ), q (t )
Виртуальные
классические
траектории
Метод молекулярной динамики, как
классический предел квантовой динамики
W0C ( p (0), q (0)) ~ exp(  H ( p (0), q (0))
p (t ), q (t )
dp
 F (q(t ))
dt
dq p ( t )

dt
m
 p ( t ) p (0 ) 
p (0), q (0)
Кинетические свойства релятивистских
квазичастиц КГП. Формулы Кубо
GFA (t )  Z 1Tr{exp(  H ) F exp(i
Ht
Ht
) A exp(i )} Представление
h
h
Гейзенберга
1
оператора А
H  K  V (qQ),  
, Z  Tr{exp(  H )}
kT
1
CFA (t ) 
d mQ1dp1dq1d mQ2 dp2 dq2 F ( p1 , q1 , Q1 ) A( p2 , q2 , Q2 ) 
2 
(2 h)
W ( p1 , q1 , Q1 ; p2 , q2 , Q2 ; t ; i  h),
p


A( p, q, Q)   d  exp(i
)  q  | A| q  
h
2
2
p11
p2 2
W ( p1 , q1 , Q1 ; p2 , q2 , Q2 ; t ; i  h)  Z  d 1d  2 exp(i
) exp(i
)
h
h
Htc*
Htc
1
2
2
1
 q1  | exp(i
) | q2   q2  | exp(i
) | q1  
2
h
2
2
h
2
1
Интегральное уравнение Вигнера - Лиувилля
W ( p1 , q1 , Q1 ; p2 , q2 , Q2 ; t ; i  h)  W ( p 01 , q 01 , Q10 ; p 0 2 , q 0 2 , Q20 ;0; i  h) (Q10  Q20 ) 
t
  d  ds  dW ( p1  s, q1 , Q1 ; p2   , q2 , Q2 ; ; i  h) ( s, q1 , Q1 ; , q2 , Q2 ),
0
1
2
 ( s, q1 , Q1 ; , q2 , Q2 )  { ( s, q1 , Q1 ) ( )   ( , q2 , Q2 ) ( s )}, F (q, Q)   qV (q, Q)
4
2 sq '
d ( s)
dq
'
V
(
q

q
',
Q
)
Sin
(
)

F
(
q
,
Q
)
(2 h) h 
h
ds

Характеристики
 ( , q, Q) 
t>0dq
t
1
p1t
dp1t 1
1

,
 F (q1t , Q1t ),
dt 2 m 2  ( p1t ) 2 dt 2
dQ1,t ,ia
dt

временной эволюции
в будущее t>0 и прошлое t<0 – следствие
представления Гейзенберга операторов
1
f abcQ1,bi Qc V (q1t , Q1t ),

1,i
2 b ,c
Характеристики «цвета» в SU(3)
p1t (t , p1 , q1 , Q1 )  p1 , q1t (t , p1 , q1 , Q1 )  q1 , Q1t (t , p1 , q1 , Q1 )  Q1

t<0dq
p2t
dp2t
1
1

,
  F (q2t , Q2t ),
dt
2 m 2  ( p2t ) 2 dt
2
Начальные
условия t=0
t
2
t ,a
2,i
dQ
dt

1
f abcQ2,b i Qc V (q2t , Q2t ),

2,i
2 b ,c
Релятивистские
уравнения Гамильтона
p2t (t , p2 , q2 , Q1 )  p2 , q2t (t , p2 , q2 , Q1 )  q2 , Q2t (t , p2 , q2 , Q2 )  Q2
Пояснения к квантопой динамике
в «цветном» фазовом пространстве
Траектории в будущее t>0 соответствуют знаку плюс в экспоненте
+t/2
p 1q 1Q
CAF (t ) ~ Tr{exp( H ) F exp(itH / h) A exp(itH / h)}
j
exp(-K)
q~1q~2...q~M
t=0
exp(-V)
~
e
q1q2...qM
<p(-t/2)p(t/2)>
j
-t/2
p 2q 2Q
h 0
Траектории в прошлое t<0 соответствуют знаку минус в экспоненте
Автокорреляционная функция
скоростей и коэффициент
диффузии КГП
t
D  limt  D(t )  limt   d D( )
0
D( )  v( / 2)v( / 2) 
N
1

  vi ( / 2)  vi ( / 2) 
3N i 1
Автокорреляционная функция тензора
сдвиговой вязкости и сдвиговая вязкость КГП
t
n
  limt    ( )d , ( ) 
3k BT
0

X Y
XY

1 N
1
 XY ( )    pix piy / mi   rij , x Fij , y 
N  i 1
2 i j

( / 2) XY (  / 2)
Сравнение коэффициента диффузии
и сдвиговой вязкрсти с
экспериментальными данными
Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале
эволюция распределения по импульсу z=100,1,0.1. (МФТИ А.Ларкин)
Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале :
замедление собственного времени.
(МФТИ А.Ларкин)
Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале:
эволюция распределения по скорости z=1, 0.1. (МФТИ А.Ларкин)
Выводы
• Представление термодинамических величин в виде
интегралов по траекториям и метод Монте – Карло являются
эффективным средством расчета термодинамических
свойств КГП
•Сочетание квантовой вигнеровской динамики и динамики
«цвета» Вонга позволяет провести квантовое обобщение
известного метода молекулярной динамики и рассчитывать
кинетические свойства КГП
•Результаты расчетов согласуются с доступными
теоретическими и экспериментальными данными .
•Развитый нами подход эффективен для исследования
термодинамических и кинетических свойств произвольных
квантовых неидеальных плазменных сред (кварк -гдюонная,
электронно – дырочная, водородная плазмы)
Благодарю за внимание