Урок 6 Формула Бернулли. Формула Бернулли. Закон больших чисел. При введении понятия вероятности отмечалось, что если вероятность некоторого события А равна р, то вероятнее всего, что при повторении испытания много раз относительная частота благоприятных этому событию исходов будет мало отличаться от значения р. Это утверждение, называемое в теории вероятностей законом больших чисел, лежит в основе всех практических приложений этой теории – оно позволяет с помощью вычисленных вероятностей предсказывать частоту наступления данного события в длинной серии независимых испытаний. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же и равна p. Тогда вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1-p. Требуется найти вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно m раз и , следовательно, не произойдет это событие n-m раз. Причем, не требуется, чтобы событие А повторилось ровно m раз в определенном порядке. Выведем формулу Бернулли, позволяющую вычислить вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А , имеющее вероятность р, встретиться m раз. Результат серии из n испытаний можно записать в виде ряда из букв А и Ā, имеющего длину n. Например, если проведено семь испытаний, причем событие А произошло во втором , третьем и пятом испытаниях, то запишем результат данной серии в виде ĀААĀАĀĀ. Так как испытания данной серии независимы друг от друга, то для вычисления вероятности данного исхода испытаний надо заменить в записи этой серии каждую букву А ее вероятностью p , а каждую букву Ā ее вероятностью 1-p и перемножить эти числа. Пример 1. Проводится серия из 8 независимых испытаний. Событие А имеет вероятность р=0,7. Чему равна вероятность того, что получиться исход вида ААĀАAĀAĀ. ? Решение. Заменяем каждую букву А на 0,7, а каждую букву Ā на 1-0,7=0,3. Получаем 0,7×0,7×0,3×0,7×0,7×0,3×0,7×0,3=0,750,33. Вообще, если событие А имеет вероятность р, то вероятность появления конкретной серии из n испытаний, в которой это событие произошло m раз, равна pmqn-m, где q=1-p. Теорема. Пусть вероятность события А равна р, и пусть P n (m)- это вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет ровно m раз. Тогда справедлива теорема Бернулли nm Pn (m) Cn p q . Доказательство. Вероятность одного события, m m состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз и не наступит n-m раз, по теореме умножения вероятностей равна pmqn-m. Число таких событий равно числу сочетаний m из n элементов по m элементов, то есть Cn . Так как события несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных событий: Pn (m) Cn p q m m nm . Пример 2. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза? Решение. Вероятность выпадения 3 очков при одном бросании равна 1/6. Поэтому р=1/6, q=5/6. Так как, кроме того, n=10 и m=2, то по формуле Бернулли имеем: 1 Р 10 (2) С 6 2 10 2 5 10 9 5 . 10 26 6 8 8 Следствия из формул Бернулли. Вероятность того, что в серии из n испытаний событие наступит: 1) Менее m раз – Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m-1); 2) Более m раз – Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n); 3) Не менее m раз – Pn(m)+ Pn(m+1)+…+ Pn(n); 4) Не более m раз – Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m). Пример . Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз. Решение. 6 1 11 a) P P6 (0) Р 6 (1) С6 2 2 5 1 1 6 7 . 2 64 64 64 7 57 b) P( B) 1 ( P6 (0) Р 6 (1)) 1 . 64 64