Тепловые свойства твердых тел

Тепловые свойства твердых
тел
Теплоперенос:
Процесс изменения внутренней энергии
без совершения работы над объектом или
самим объектом
Энергия, которую получает или теряет тело при
теплопередаче называют к о л и ч е с т в о м т е п л о т ы
Количество теплоты, которое получает (или отдаёт)
тело, зависит от его массы, типа вещества и
характера изменения температуры.
Тепловые характеристики твердых тел
• Динамика кристаллической решетки
• Фононы
• Теплопроводность
• Теплоемкость
• Коэффициент теплового расширения
Теплопроводность
процесс
количественная (численная) характеристика
количественная оценка способности
конкретного вещества проводить тепло
Теплопроводность — это перенос тепловой энергии от более нагретых
участков тела к более холодным частицами вещества (молекулами, атомами,
ионами) в процессе их теплового движения и взаимодействия.
Явление теплопроводности основано на том, что кинетическая энергия
атомов и молекул, которая определяет температуру материала, передаётся
либо другому телу при взаимодействии с ним, либо из более нагретых
областей объекта к менее нагретым областям.
Теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным
распределением температур, при этом механизм переноса теплоты будет
зависеть от агрегатного состояния вещества.
Механизм теплопроводности.
Амплитуда колебаний атомов в узлах
кристаллической решетки в точке А меньше,
чем в точке В. Вследствие взаимодействия
атомов друг с другом амплитуда колебаний
атомов, находящихся рядом с точкой В,
возрастает.
Численная
характеристика
теплопроводности
материала
равна
количеству теплоты, проходящей через материал толщиной 1 м и площадью
1 кв.м. за единицу времени (секунду) при разности температур на двух
противоположных поверхностях в 1 К:
dT
QK
dx
где Q – поток тепловой энергии; К – коэффициент теплопроводности.
Закон теплопроводности Фурье

q энергии, передающейся посредством
В установившемся режиме плотность потока
теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

q  (T )

q — вектор плотности теплового потока (количества энергии,
где
проходящей в единицу времени через единицу площади,
перпендикулярной каждой оси), κ — коэффициент
теплопроводности (иногда называемый просто
теплопроводностью), Т— температура.
Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно
вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры).
Коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/(м·К)
Связь с электропроводностью
Связь коэффициента теплопроводности К с удельной электрической
проводимостью σ в металлах (закон Видемана – Франца):
где k — постоянная Больцмана; е — заряд электрона.
Недостатки закона Фурье
Закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности, то
есть в данной модели изменение температуры в какой-то точке мгновенно
распространяется на всё тело.
Закон Фурье не применим для описания высокочастотных процессов.
Примерами таких процессов являются распространение ультразвука, ударные
волны и т.п.
Что заставляет вещество переносить тепло и как происходит
перенос?
Теория «теплорода» как «носителя» тепла.
Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием
«теплорода» от одного тела к другому. Однако дальнейшие исследования опровергли
реальность существования «теплорода» как самостоятельного вида материи.
Явление теплопроводности обусловлено стремлением физической системы
занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что
выражается в выравнивании температуры.
Коэффициент теплопроводности вакуума почти ноль (чем глубже вакуум, тем ближе к
нулю). Это связано с низкой концентрацией в вакууме материальных частиц, способных
переносить тепло.
Но!: Тепло в вакууме передаётся с помощью излучения (Солнце, установки
инфракрасного излучения).
Физическая модель теплопроводности
Узел решетки
(атом, молекула, ион)
Колебания узлов решетки
(модель обратной решетки)
Зоны Бриллюена
«носители» тепла
(гармонические осцилляторы)
Квазичастицы
кванты, фононы
Нормальные моды колебаний в кристалле.
Амплитуда колебаний была увеличена для удобства
просмотра; в реальном кристалле, она обычно
существенно меньше межатомного расстояния.
Колебания кристаллической решётки - один из основных видов внутренних
движений твёрдого тела, при котором составляющие его частицы (атомы или
ионы) колеблются около положений равновесия — узлов кристаллической
решётки. Такие колеблющиеся узлы решетки называют осцилляторами.
Осциллятор (от лат. oscillo — качаюсь) — система, совершающая колебания,
то есть показатели которой периодически и закономерно повторяются во
времени.
Колебания кристаллической
решётки, например, в виде
стоячих или бегущих звуковых
волн возникают всякий раз, когда на
кристалл действует внешняя сила,
изменяющаяся со временем.
Однако и в отсутствие внешних
воздействий в кристалле,
находящемся в тепловом
равновесии с окружающей средой,
устанавливается стационарное
состояние колебаний.
Характер колебаний зависит от
симметрии кристалла, числа атомов в
его элементарной ячейке, типа
химической связи, от вида и
концентрации дефектов в кристалле.
Смещения атомов в процессе колебаний
тем больше, чем выше температура, но
они гораздо меньше постоянной решетки
вплоть до температуры плавления, когда
твердое тело превращается в жидкость.
Силы, которые стремятся удержать атомы в положениях равновесия,
пропорциональны их относительным смещениям так, как если бы они были
связаны друг с другом пружинками.
Представление кристалла в виде совокупности частиц, связанных идеально
упругими силами, называется гармоническим приближением.
Гармонический осциллятор — это система, которая при смещении из
положения равновесия испытывает действие возвращающей
пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):
F = - k·x
силы
F,
, где k — положительная константа, описывающая жёсткость
системы.
Если F — единственная сила,
действующая на систему, то
систему называют простым или
консервативным
гармоническим осциллятором.
Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое
движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и
амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.
Если имеется сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения
(вязкое трение), то такую систему называют затухающим или
диссипативным осциллятором.
Если осциллятор предоставлен сам себе, то он совершает свободные
колебания.
Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то осциллятор
испытывает вынужденные колебания.
Когда амплитуда колебаний превышает некоторое критическое значение,
наступает плавление и кристаллическая структура разрушается.
С понижением температуры
минимальной при Т =0 К.
амплитуда
уменьшается
и
становится
Полная остановка атомов с обращением их энергии в нуль, в силу
законов квантовой механики, невозможна, и они при Т = 0 К
совершают "нулевые" колебания.
Фонон (от греч. phone – звук) - квазичастица, введённая советским учёным
Игорем Таммом.
Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов (ионов)
кристалла.
В гармоническом приближении колебательная энергия кристалла равна
сумме энергий нормальных колебаний узлов его решетки.
Каждому нормальному колебанию можно поставить в соответствие
осциллятор с частотой ωi. Тогда колебательная часть энергии кристалла
равна сумме энергий осцилляторов:
Согласно квантовой механике, энергия осциллятора квантуется:
где n = 0, 1, 2, ... - целые числа, а
-энергия нулевых колебаний.
Теплоёмкость - количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании на 1
градус;
точнее — отношение количества теплоты, поглощаемой телом при бесконечно малом
изменении его температуры, к этому изменению.
Теплоемкость единицы массы вещества (г, кг) называется удельной
теплоёмкостью, 1 моля вещества — мольной (молярной) теплоемкостью.
Q
C
T
Теплоёмкость тела — физическая величина, определяющая
отношение бесконечно малого количества теплоты δQ, полученного
телом, к соответствующему приращению его температуры δT:
Количество теплоты, поглощённой телом при изменении его состояния, зависит не
только от начального и конечного состояний (в частности, от их температуры), но и от
способа, которым был осуществлен процесс перехода между ними. Соответственно от
способа нагревания тела зависит теплоемкость.
Обычно различают теплоемкость при постоянном объёме (Cv) и при постоянном
давлении (Ср), если в процессе нагревания поддерживаются постоянными
соответственно его объём или давление.
При нагревании при постоянном давлении часть теплоты идёт на производство работы
расширения тела, а часть — на увеличение его внутренней энергии, тогда как при
нагревании при постоянном объёме вся теплота расходуется только на увеличение
внутренней энергии; в связи с этим Сp всегда больше, чем Сv.
У жидкостей и твёрдых тел разница между Ср и Cv сравнительно мала.
Удельная теплоёмкость вещества
показывает, какое количество теплоты требуется для изменения
температуры вещества массой 1 кг на 1 0С.
Обозначается: С.
Единица измерения: 1 Дж / кг 0С
Формула расчёта удельной теплоёмкости:
где С – удельная теплоемкость, Q —количество теплоты, полученное
веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении); m – масса
нагреваемого (охлаждаемого) вещества; Δt – разность конечной и
начальной температур вещества.
Существует несколько теорий теплоёмкости твердого тела:
• Закон Дюлонга и Пти и закон Джоуля-Коппа. Оба закона выведены из
классических представлений и с определенной точностью
справедливы лишь для нормальных температур (примерно от 15 °C
до 100 °C).
• Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна. Первое применение
квантовых законов к описанию теплоёмкости.
• Квантовая теория теплоемкости Дебая. Содержит наиболее полное
описание и хорошо согласуется с экспериментом.
• Теплоёмкость системы невзаимодействующих частиц (например,
газа) определяется числом степеней свободы частиц.
Количественной характеристикой способности кристалла запасать тепло в
виде энергии колебаний служит решеточная теплоёмкость.
В 1818 г. П. Дюлонг и А. Пти (P.Dulong and A.Petit) экспериментально
установили закон, согласно которому теплоемкость СV всех твердых тел при
достаточно высокой температуре есть величина постоянная , не зависящая
от температуры и составляющая около 3R~25 Дж/( моль К) - значение ДюлогаПти.
Т.е. при нагревании любого вещества на 1К каждый атом поглощает
одинаковое количество энергии 3kБ (kБ —постоянная Больцмана).
Это правило справедливо только для достаточно высоких температур (7003000 К).
Значительно более точное описание тепловых свойств кристалла дает
квантовая теория теплоемкости кристаллов, разработанная Эйнштейном и
Дебаем.
В модели Эйнштейна считают, что атомы колеблются независимо друг от
друга и что частоты колебаний всех атомов одинаковы. В таком случае для
подсчета внутренней энергии кристалла, содержащего атомов, достаточно
рассмотреть один осциллятор, а затем домножить результат на 3N- число
осцилляторов.
В рамках модели Дебая считают, что колебания атомов решетки имеют
связанный характер.
Согласно этому подходу для большинства твердых тел при низких
температурах (Т → 0 К) теплоемкость пропорциональна температуре в
третьей степени (закон кубов Дебая):
CV = const·Т3.
Температура Дебая— температура, при которой возбуждаются все моды
колебаний в данном твёрдом теле.
Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод
колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих, то
есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.
Температура Дебая— физическая константа вещества, характеризующая
многие свойства твердых тел— теплоемкость, электропроводность,
теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие
свойства и т. п.
Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.
Температура Дебая определяется следующей формулой:
Где h — постоянная Планка, VD — максимальная частота колебаний
твёрдого тела, kB — постоянная Больцмана.
Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже
которой начинают сказываться квантовые эффекты.
Квант (quantum — «сколько») — неделимая порция какой-либо физической величины.
В основе лежит представление о том, что некоторые физические величины могут
принимать только определенные значения (или физическая величина квантуется).
В некоторых случаях эта величина или шаг её изменения могут быть только целыми
кратными некоторого фундаментального значения — и последнее называют
квантом.
Термин квант был впервые введен Максом Планком.
Тот же термин употребляется для обозначения ситуации, в которой физическая
величина может принимать только дискретные значения — например, говорят, что
энергия электрона в атоме «квантуется».
Термин «квант» в настоящее время имеет в физике довольно ограниченное применение.
Иногда его употребляют для обозначения частиц или квазичастиц, соответствующих
бозонным полям взаимодействия (фотон — квант электромагнитного поля, фонон —
квант поля звуковых или колебательных волн в кристалле, гравитон — гипотетический
квант гравитационного поля и т. д.).
Еще о таких частицах говорят как о «квантах возбуждения» или просто «возбуждениях»
соответствующих полей.
По традиции «квантом действия» иногда называют постоянную Планка, которая
является естественной квантовой единицей измерения действия и других физических
величин такой же размерности (например, момента импульса).
Кванты некоторых полей имеют специальные названия:
Фотон — квант эдектромагнитного поля;
Глюон — квант векторного поля в квантовой хромодинамике;
Гравитон — гипотетический квант гравитационного поля;
Фонон — квант колебательного движения атомов кристалла.
Необходимость использования квазичастиц
Концепция фонона является базовой в физике твердого тела.
В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и
рассматривать в них такие термодинамические явления, как тепловые колебания
отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов
связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое
решение которых невозможно.
Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы
звуковых (колебательных) волн, квантами которых и являются фононы.
Спин фонона равен нулю (в единицах ). Фонон принадлежит к числу бозонов и
описывается статистикой Бозе-Эйнштейна.
Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически
взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию
дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и
являются фононы.