{ определение случайных величин - математическое ожидание - примеры – дисперсия – центральные и начальные моменты – коэффициент корреляции - ковариация } Математическое ожидание Математическим ожиданием дискретной случайной величины () называется величина M ( )p( ) Если д.с.в. имеет математическое ожидание, то оно находится как сумма всех произведений значений случайных величин на их вероятности n P M Pj x j 1 xj j pj Случайных величин без математического ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать. Из студенческой контрольной работы Пример @ Найти математическое ожидание для биномиального распределения дискретной случайной величины. Решение M( ) n n j 1 m 1 x j p j mC p g m n m n m n m m 1 n! p m g n m m !( n m ) ! (n-1)! p m 1 g n m m 1 ( m - 1 ) !(( n - 1 ) - ( m - 1 )) ! n np n np C m 1 m 1 n 1 p m 1 g ( n 1 ) ( m 1 ) np n C m 0 m n m p g n m np M ( ) np Математическое ожидание случайной величины Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется величина M xf ( x )dx Свойства: Mc c Mc cM f(x) n Mj j 1 x n M j 1 j M( ) M( ) M( ) ( и – независимые СВ) Пример @ Найти математическое ожидание для нормального распределения непрерывной случайной величины. Решение 1 σ 2π M M 2π 2π te (t m) 2 2σ 2 dt 1 ( z m )e z2 2 (t m ) d(t m ) 1 z dt dz σ σ σ =1! dz ze z2 2 dz m( =0! 1 2π e z2 2 dz ) m M() = m Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания M(ξ Mξ ) M(ξ ) M(ξ ) 0 - cреднее квадратичное отклонение D M( M ) 2 2 D M( M ) 2 M( 2 ) M( 2 M) M(M 2 ) Dξ M(ξ 2 ) ( Mξ ) 2 f(x) Д.С.В. D pj (x j M ) 2 x j2 pj ( x j pj ) Н.С.В. D j j f (x)(x M ) Свойства: x Dc 0 2 dx 2 j x 2 f (x)dx ( Dc c 2 D xf (x)dx) 2 D j D j j j j независимы в совокупности D( ) D( ) D( ) Пример @ Найти дисперсию для биномиального распределения Решение Предварительно найдем дисперсию в распределении Бернулли X 0 P q 1 p MX 0 q 1 p p MX 2 0 q 1 p p DX MX 2 (MX) 2 p p 2 p( 1 p) pg X 1 X 2 .... X n D n DX j 1 j M n MX j 1 j np npg npq Пример @ Найти дисперсию для равномерного распределения f(x) 1 , x [a, b] f (x) b a 0 , x [a, b] b M x a 1 x dx b a 2 (b a ) 2 b a b x a b 2 a 1 x M x dx b a 3 (b a) a 2 3 2 b a b a 2 ab b 2 3 a 2 ab b 2 (a b) 2 (b a) 2 D M (M ) 3 4 12 2 2 Центральные и начальные моменты Математическим моментом случайной величины называется k математическое ожидание величины ( - a) k : μk (a) M(ξ a) Если a = M() , момент называется центральным, если a = 0 , то начальным - k k Абсолютный момент k-го порядка: mk (a) M | a | 1 M(ξ ), 0 1, 1 0 , 2 (a) M( a) 2 M( 2 ) (M ) 2 2 12 3 3 3 2 1 2 13 4 4 4 3 1 6 2 3 2 1 n A n ( 1 ) n k k 2 C k k n 3 3 23 / 2 3 Коэффициент ассиметрии n k 1 E f(x) 4 1 ( 1 ) n 1 (n 1 ) n 1 3 > 0 3 < 0 4 3 4 Эксцесс – степень крутости распределения E=0 для случая Н.З. распределения Пример @ Определить числовые характеристики для экспоненциального распределения e x , x 0 f (x ) x 0 0 , D 2 A 2 1 2 x 2 e x dx 0 3 3 3 1 2 2 3 3 1 3 1 M 1 f(x) 2 1 2 ( 1 / ) 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 1 E 4 3 9 4 M = 1/2 A 2 D = 1/4 Числовые характеристики зависимости двух случайных величин Для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Чему равна дисперсия суммы в общем случае? D( ) M( ) 2 ( M( )) 2 M( 2 2 2) ( M ) 2 ( M ) 2 2MM D( ) D D 2( M( ) MM ) Величина M(ξη) - MξMη равняется нулю, если случайные величины ξ и η независимы. Однако из равенства ее нулю вовсе не следует независимость. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» пары случайных величин. Ковариацией cov(ξ,η) случайных величин ξ и η называется число cov( ξ,η ) M(( ξ Mξ )( η Mη )) cov( ξ,η ) M(( ξ Mξ )( η Mη )) M( ξη ) MMη D( ξ1 ... ξn ) cov( ξ,ξ ) Dξ cov( ξ,η ) cov( η,ξ ) n Dξ cov( ξ ,ξ i i 1 i i j j ) n Dξ 2 cov( ξ ,ξ i i 1 i i j j ) cov( ξ ,ξ i j ) i ,j Если ковариация cov(ξ,η) отлична от нуля, то величины ξ и η зависимы ! Пример @ Пусть ξ и η — независимые случайные величины, и дисперсия ξ отлична от нуля. Доказать, что ξ и ξ + η зависимы. M ( ξ ( ξ η )) M ξ 2 M M M M ( ξ η )) ( M ξ ) 2 M M cov( ξ,ξ η ) Mξ 2 M Mη (( Mξ ) 2 M Mη ) Dξ 0 Следовательно, ξ и ξ + η зависимы Коэфициент корреляции Ковариация – размерная величина. Её нужно нормировать так, чтобы она не менялась при умножении или сдвиге случайных величин и свидетельствовала о силе их зависимости. Говоря о «силе» зависимости между с.в., мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость – функциональная, а из функциональных – линейная зависимость, когда ξ = aη + b. Коэффициентом корреляции ρ(ξ, η) случайных величин ξ, η, дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число cov (ξ , η) ρ(ξ,η) Dξ Dη 1. Если с. в. ξ и η независимы, то ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) = 0 2. | ρ(ξ, η) | 1 3. | ρ(ξ, η) | = 1, если и только если случайные величины ξ и η с вероятностью 1 линейно связаны, т.е. существуют числа а 0 и b такие, что P( η = a, ξ = b) = 1 Пример @ Найти коэффициент корреляции для ξ и ξ +η . ξ , η - независимые случайные величины, дисперсии ξ и η равны между собой и отличны от нуля. Решение cov( ξ,ξ η ) M ξ 2 M M η (( M ξ ) 2 M M η ) Dξ ρ(ξ, ξ η) cov (ξ , ξ η) Dξ D(ξ η) Dξ Dξ Dξ Dη Dξ 1 2 Dξ 2Dξ ξ и ξ + η зависимы с коэффициентом корреляции r = 0.707 Пример @ Найти коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасываниях симметричного кубика. Решение Обозначим для i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 через ξi случайную величину, равную числу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Подсчитаем cov(ξ1, ξ6) Каждая из случайных величин ξi имеет биномиальное распределение с параметрами n и p =1/6, поэтому n Mξi np 6 1 5 5n Dξi npg np ( 1 p ) n 6 6 36 Пример @ Cумма ξ1 + … + ξn равна n. В силу симметрии кубика, все математические ожидания Mi,j равны, но отличаются от Mi,i 5n n 2 M ξ1ξ 2 M ξ1ξ 3 .... M ξ1ξ 6 Mξ1ξ1 Mξ Dξ1 ( Mξ1 ) 36 36 n2 или по другому Mξ1( ξ1 ... ξ6 ) Mξ1n 6 2 1 2 2 5 n n Mξ1( ξ1 ... ξ 6 ) Mξ12 5 Mξ1ξ 6 5 Mξ1ξ 6 36 36 n2 n n2 M( ξ1ξ6 ) Mξ1Mξ6 36 1 ρ(ξ1,ξ6 ) ρ ( ξ1, ξ6 ) 36 5n 5 Dξ1 Dξ6 36 Зависимость между двумя величинами Даны два множества величин xi и yi , где yi – измеряется с ошибкой. Рассмотрим задачу установления функциональной зависимости между двумя величинами y=(x) по результатам измерений, в которых значения функции определяются с ошибкой – случайной величиной, которая подчиняется нормальному закону. yi (y1,y 2,y 3, .... ,y n ) y m (xi ) y = (x) xi dPi fi (yi )dy i x 1 dP e 2π i 1 σ n σ 1 σ 2 ..... σ i ... σ min [y i (x i )] 2 2σ 2 1 e σ 2π [y i (x i )] 2 2σ 2 n dy i Ke dy i 1 2 [y i (x i )] 2 2σ i 1 Метод наименьших квадратов Данная совокупность измеренных значений величин yi будет наивероятнейшей, если сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений yi от предполагаемых ( xi ) будет минимальной. Получаем использование метода максимального правдоподобия для получения статистических оценок. y (x,a,b,c,. ..) a ?,b ?, c ?,... n [y i 1 i n 2 [y (x ,a,b,c,... )] min i i i 1 (xi ,a,b,c,... )](/a)i 0 y .......... .......... .......... .......... .......... 0 n [y i 1 i (xi ,a,b,c,... )](/c)i 0 y = (x, a, b, c,..) xi x Подбор параметров для линейной функции n ( /a )i xi ( /b )i 1 y [y i 1 n y (x,a,b) ax b x n x y i 1 n i n y i 1 n i n i a x i 1 x i 1 n i b x i 1 n i [ y x i 1 n 0 i i i ax i b]xi 0 ax i b] 0 ax i xi bxi ] 0 ax i ] bn 0 0 n ~ m x i [ y i 1 b i 1 n n 2 n n a i [y i xi i 1 n n ~ , m y yi i 1 n n , ~1,1 xi yi i 1 n n , ~2 2 x i i 1 n Подбор параметров для линейной функции ν~2[x] ~ m x Решение ~ ~ a ν mx 1,1[x,y] ~ 1 b my Система уравнений примет вид ~m ~ ν~1,1[x,y] m x y ~ am ~ a ~ , b m y x 2 ~ ν 2[x] mx Запись уравнений упрощается, если ввести “центральные моменты” ~ ~m ~ K xy ν~1,1[x,y] m x y ~ ~ )2 Dx ν~2[x] (m x ~ Решение K xy ~ am ~ a ~ , b m y x Dx Подбор параметров для линейной функции В приведенных формулах появляются выборочные средние, дисперсия и корреляционный момент ~ 1 n 1 n 1 n ~ ~ ~ )2 mx xi , my yi , Dx (xi m x n i 1 n i 1 n i 1 ~ 1 n ~ )(y m ~ ) cov (x,y) M((x Mx)(y My)) K xy (xi m x y i n i 1 ~ K xy ~ ~ ) y my ~ (x m x Dx n K xy x y i 1 n Dx i n x i 1 n i i mx my y Линейная регрессия 2 mx2 x