Адиабатический квантовый компьютер, «квантовый отжиг» и неравновесная термодинамика А.М.Сатанин Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, Кафедра теоретической физики, Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ,Н.Новгород, Россия “Quantum computing is here NOW! Moscow understands quantum!” Mark A. Novotny, CSP2015 talk План Классические компьютеры Элементная схема: транзистор и триггер Квантовый компьютер Элементная база: кубит Эффект Джозефсона Сверхпроводящие кубиты Запись и считывание Принцип суперпозиции Запутанность (Entanglement) Адиабатический квантовый компьютер Туннелирование Ландау-Зинера Краткие выводы 2 Краткая история классического компьютера 1. Механические устройства. Счеты 3000 лет до.н.э., 87 год до н. э. Греции- «антикитерский механизм» -шестеренки. Счётная машина Паскаля(«Паскали́на») ,1642 г. 2. Перфокарты. XIX века Герман Холлерит счетно-перфорационные машины (для хранения числовой информации; перфорация, сортировка, суммирование, вывод на печать числовых таблиц) IBM! («Паскали́на») 1822 Бэббидж 3. Релейные вычислительные машины 4. Электронные лампы. Z3 Конрад Цузе 1941, 1945 – ENIAC Конструкторами ENIAC были Дж.Моучли и Дж.Эккерт. 5. Транзисторы. В 1949, Дж. Бардин, У. Браттейн и У. Шокли ENIAC,1945 Аналоговые и цифровые компьютеры • Цифровые: Z3 Конрад Цузе 1941 создал первую вычислительную машину современного типа; 1945- ENIAC - электронный цифровой интегратор и вычислитель). Электрические АВМ - это аналоговые вычислительные машины, в которых переменные представляются электрическим напряжением постоянного тока. • «Итера́тор» — специализированная АВМ, предназначенная для решения линейных краевых задач систем линейных дифференциальных уравнений,1962. • Мозг человека— самое мощное и эффективное «аналоговое устройство» из существующих. И хотя передача нервных импульсов происходит за счет дискретных сигналов, информация в нервной системе не представлена в цифровом виде. Нейрокомпьютеры— аналоговые, гибридные компьютеры (модели реализованные на цифровых ЭВМ), построенные на элементах, которые работают аналогично клеткам мозга. • 4 Специализированные процессоры GRAPE-6 задачи N тел, моделирующей формирование Галактики с использованием 200 млн. частиц, показывает производительность 38,9 млрд. оп./с. 5 Кассическая машина фон Неймана 1946 году в журнале «Nature» вышла статья Дж. фон Неймана, Г. Голдстайна и А. Беркса «Предварительное рассмотрение логической конструкции электронного вычислительного устройства». Полевой транзистор Intel Дж. Бардин, У. Браттейн и У. Шокли, Bell Laboratories, 1947 г. Инки Триггер Английские физики В. Эклс и Ф. В. Джордан (1918 г.) Триггер (триггерная система) — класс электронных устройств, обладающих способностью длительно находиться в одном из двух или более устойчивых состояний и чередовать их под воздействием внешних сигналов От микро- к наноэлектронике Silicon wafer (12 inches) 100 mm Minimum Feature Size Silicon “chip” (~ 2 cm sq.) 10 mm 1 mm 100 nm 10 nm ? 1 nm 1950 1970 1990 2010 2030 Year Currently: >200M transistors/chip 2016: Technology generation L L/√2 ~10B transistors/chip Cost per function drops 25% / yr 2050 Вице-президент NVIDIA: «Закон Мура мертв» Вице-президент NVIDIA Билл Дэлли в гостевой колонке журнала «Форбс» написал, что знаменитый закон Мура больше не работает и «мертв». По его словам, современные многопроцессорные решения становятся все менее эффективными, и простое увеличение числа ядер уже не дает результата. Решением проблемы Дэлли считает энергоэкономичные параллельные системы типа CUDA. NVIDIA & ADM CUDA (Compute Unified Device Architecture) и CTM (Close To Metal или AMD Stream Computing), Краткая история квантового компьютера Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics, VoL 21, Nos. 6/7, 1982. And therefore, the problem is, how can we simulate the quantum mechanics? There are two ways that we can go about it: i) We can give up on our rule about what the computer was, we can say: Let the computer itself be built of quantum mechanical elements which obey quantum mechanical laws. ii) Or we can turn the other way and say: Let the computer still be the same kind that we thought of before - a logical, universal automaton; can we imitate this situation? 1985 Deutsch - The concept of a quantum computer; quantum generalisation of the classical universal Turing machine 1990s, Bernstein and Vazirani - quantum computing and quantum complexity theory. 1992 Deutsch, Jozsa - rapid solution of problems by quantum computation 1993, Simon described an oracle problem for which quantum computers are exponentially faster than classical ones. 1994, Shor described a quantum algorithm for efficient factorization of large numbers 1996, Grover's search algorithm : a fast quantum mechanical algorithm for database search 1980’s, Weisner and Bennett explored the idea of quantum key exchange 1998, the first functional two qubit nuclear magnetic resonance computer was demonstrated at UC Berkeley 7-qubit NMR system was demonstrated at IBM Almaden to execute Shor’s algorithm and successfully factor the number 15 12 Квантовая динамика В квантовой механике система описывается: а) волновой функцией - ”чистое состояние”, замкнутая система; i (t ) Hˆ (t ) , t б) матрицей протности ̂ (t ) Uˆ (t ) (0) , t i Uˆ (t ) Tˆ exp Hˆ (t )dt 0 - “смесь”, незамкнутая система. 1 ˆ ˆ (t ) H , ˆ (t ) St ( ˆ (t )) t i (t t ) Uˆ (t ) (t )Uˆ (t ) t jums Hˆ dis t Uˆ (t ) exp i Sequential quantum computer Последовательный квантовый компьютер Начальное состояние (0) 1 (0) 2 (0) 3 (0) Действуя на начальный вектор (t ) Uˆ (t ) (0) , n (0) t i ˆ ˆ ˆ U (t ) T exp H (t )dt 0 Считываем ответ Наблюдаемая Sˆ sn sn sn , pn sn (t ) 2 14 Важная теорема. Пусть имеется унитарная матрица ˆ ˆ † Iˆ, Uˆ , UU размерности N*N. Такую матрицу можно представить в виде разложения на произведение двухуровневых унитарных матриц, действующих не более чем на двух базисных векторах. Пример. b 0 c 0 d 1 0 0 a * * ˆ U b a 0 0 1 0 e f * * * 0 d * 0 1 c 0 f e Кубит 1 0 0 1 1 2 2 15 Universal gates 1 1 1 Hadamard 1 1 2 0 1 rotation i / 4 0 e 1 0 CNOT 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 16 Двухуровневая система Классика 0 Квантовая система 1 Принцип суперпозиции Фталоцианина A.Tonomura, Am.J.Phys.57,117(1989) University of Vienna, Thomas Juffmann et al./Nature Nanotechnolog Бит и кубит Basis (logical) state 0 0 Superposition states cos( ) 2 i sin( )e 2 2 1 Basis (logical) state 1 (a) One bit (b) One qubit Раби осцилляции в двухуровневой системе При w w0 (используя приближение RWA) Кубиты NMR Quantum Dot Superconductor SET (charge) Josephson Junctions (phase) 3 Junction SQUID (flux) RF SQUID Quantum!! Chip? scalability coupling Ions Neutral Atoms CQED Coherence atomic mesoscopic macroscopic Экспериметнальные системы Требования: возможность контроля на квантовом уровне, большое время декогерентности и т.д. Decoherence free circuit? Quantum? Олег Астафьев (МФТИ, Лаборатория искусственных квантовых), Алексей Устинов (Российский квантовый центр и МИСиС) и Валерий Рязанов (Институт физики твердого тела РАН) МАЙ 24, 2015 22 What are Josephson junctions? A Josephson junction is composed of two bulk superconductors separated by a thin insulating layer through which Cooper pairs can tunnel. B. D. Josephson, “Possible new effects in superconductive tunneling,” Phys. Lett., Vol. 1, pp. 251–253, July 1962. P. The devices are named after Brian Josephson, who predicted in 1962 that pairs of superconducting electrons could "tunnel" right through the nonsuperconducting barrier from one superconductor to another. He also predicted the exact form of the current and voltage relations for the junction. Experimental work proved that he was right, and Josephson was awarded the 1973 Nobel Prize in Physics for his work. 23 C.H. van der Wal. Technische Universiteit Delft, 2001. How do they work? R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III L L L ei L , i t U L L K R , R R ei R . R i U R R K L . t The supercurrent through the junction is I I c sin , where the critical current L R Ic 2K L .R is the phase difference of the two superconductors across the junction The time variation of this phase difference is related to the potential difference V between the two superconductors: d 2eV dt In summary: I I c sin d 2eV dt 24 I I c sin d 2eV dt Energy of the junction: CV J d H E J (1 cos ) I ext E J (1 cos ) I ext 2 2e 2 dt 2e 2 2 J C ( / 2e ) 2 E J / 2e I c U(φ)/EJ Iext/Ic=0 5 2 4 6 -5 0.5 -10 -15 φ/ 2 0.95 Tilted washboard potential of a Josephson junction for different values of a bias current 25 Реализация JJ Переход Джозефсона SQUID Потоковый кубит (3JJ qubit) 2πf-φ1-φ2 EJ 1 EJ 2 IC 0 / 2 EJ 3 EJ 1 IC (б) 0 h / 2e T 20mK f q / 0 внешний магнитный поток i разность фаз волновой функции на i-ом переходе J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999). Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman, Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001) Потенциальный рельеф J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999). U J EJ {2cos cos cos(2 f 2 )} f q / 0 внешний магнитный поток, может быть подстроен При f 0.5 минимум потенциальной энергииU J : SQUID readout of flux qubit qubit +underdamped SQUID ~20 ns To hold voltage state after switching SQUID Ib pulse ~30 ns rise/fall time ~1 ms 0 1 qubit switch 0 Switching probability (%) 100 time w/o -pulse 80 60 40 20 w/ -pulse 0 1.30 1.32 1.34 I bias (a.u.) I. Chiorescu, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, and J.E. Mooij, Science 299, 1869 (2003) 1.36 Entanglement Entanglement is a term used in quntum theory to describe the way that particles of energy/matter can become correlated to predictably interact with each other regardless of how far apart they are. E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935). The superposition principle is the basis of quantum theory. When this principle is applied to composite systems a new concept of entanglement is appeared. It was introduced by Schrödinger in quantum theory in the last century and at present time this principle became a central topic in discussion as main resource of quantum information and quantum computational problems. Entanglement is a property shared by two or more correlated systems. Quantum correlations are also responsible for a number of interesting effects in mesoscopic systems. These correlations may be realized in superconducting waveguides and circuits with embedded Josephson junctions and such kind of circuits are considered as promising candidates for future quantum information processing. Interaction c c An initial state of the decoupled system: Entanglement: c c 0 c ,0 c ,0 U c ,0 c ,0 c , 1 c , 1 A maximal entangled state: c c s 1 , 1 , 1 2 Нow to prepare entangled states of photons in the microwave frequency domain? Связанные кубиты Два связанных кубита A. Izmalkov et al., Phys. Rev. Lett. 93, 037003 (2004); M. Grajcar M. et al., Phys. Rev. B 72, 020503 (2005); A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il`ichev, Phys. Rev. Lett. 101, 017003 (2008). Схема для измерений Three flux qubits coupled by Josephson junctions Sample parameters were reconstructed from measurements: J12=J13=J23=0.61 K, 123 =70 mK, Ip1=Ip2=115 nA, Ip3=125 nA A. Izmalkov et al., EPL, 76, 533, (2006) Four qubit sample Layou A3 Iq3 Micrograph Iq1 q1 q3 A2 q2 Ib4 A1 Iq2 Tunable coupling Layout Coupler current-flux relation 0.6 0.4 7 Ia fc 9 Ib 4 5 Ib2 6 I/IC7,9; dI/dfcIC7,9 3 qubit b Ib1 2 coupler 1 qubit a 8 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 fc E8/E7,9=1/2, E2,5/E1,3,4,6=0.75, E1/E7=7/20 Interaction strength 1 I C ( f C ) S. H.W. van der Ploeg et al., PRL 98, 057004 J ( f c ) 2e I 2 I 2 ( f ) I a I b 7 C C (2007) Адиабатический квантовый компьютер Идея: H A | A E A | A t 0, | g H A HB Edward Farhi, Jerey Goldstone, Sam Gutmann, and Michael Sipser. Quantum computation by adiabatic evolution. quant-ph/0001106, 2000. D. Aharonov et al. quant-ph. 0405098 (2004) Any quantum algorithm can be transfomed to adiabatic quantum computation H (t ) H A (t )( H B H A ), 0 (t ) 1 B считываемответ! H есть N – кубитный («частичный») гамильтониан, но с ростом числа частиц щель с спектре уменьшается. Возрастает роль процессов туннелирования Ландау-Зинера! Адиабатическое приближение H=(t ) H=( p, q, (t )) i (t ) H =( t ) (t ) t H=( p, q, (t )) k (t ) k (t ) k (t ) (t ) ck (t )e i t k ( t) dt 0 k (t ) k i ck (t ) i t e l i l ( t ) l (t ) k (t ) cl (t ) t 41 ck (t ) e i k ( t ) k ck (t ) i t k ( t) dt 0 H =( t ) k ( t ) t l (t ) (t ) l (t ) k (t ) l (t ) k (t ) kl t t i ck (t ) i (t ) t l k ( t ) H =( t ) ( t ) l (t ) k (t ) l (t ) ei ( k ( t ) l ( t )) cl (t ) Условие адиабатичности t sT , 0 s 1 max ck (0) k ( s ) min k H =( s ) l ( s ) s ( s) l ( s) 2 T 42 Адиабатическая эволюция AQC is essentially a form of analog computing 43 Пример: туннелирование ЛандауЗинера i c c H ( t ) , t c c H (t ) | (t ) E (t ) | (t ) 1 v H (t ) 2 E v 1 ( v ) 2 2 2 2 PLZ exp( 2 / 2v ) Et 1 0 Ландау, Зинер, Штюкельберг и Майорана 1 2 0 1 2 3 t 4 5 6 L.D. Landau, Phys. Z. Sowietunion, 1, 88 (1932); 2, 46 (1932) C. Zener, Proc. R. Soc. A137, 696 (1932) E.C.G. Stückelberg, Helv. Phys. Acta 5, 369 (1932) E. Majorana, Nuovo Cimento 9, 43 (1932). Теория Зинера 1 v H (t ) 2 c c i H (t ) , t c c v H (t ) | (t ) E (t ) | (t ) 2c iv (v )2 2 c 0 2 t 4 2 E 1 ( v ) 2 2 2 2 2 i / 4 i / 4 c ( ) A D 2 2e B D 2 2e i i v v v v 2 1 0.8 0 0.6 Pt Et 1.0 0.4 1 0.2 2 0 1 2 3 t 4 PLZ exp( 2 / 2v ) 5 6 0.0 0 1 2 3 t 4 5 6 Два кубита 46 A. Deep Freezer A massive refrigeration system uses liquid helium to cool the D-Wave chip to 20 millikelvin—or 150 times colder than interstellar space. B. Heat Exhaust Gold-plated copper disks draw heat up and away from the chip to keep vibration and other energy from disturbing the quantum state of the processor. C. Niobium Loops A grid of hundreds of tiny niobium loops serve as the quantum bits, or qubits, the heart of the processor. When cooled, they exhibit quantummechanical behavior. D. Noise Shields The 190-plus wires that connect the components of the chip are wrapped in metal to shield against magnetic fields. Just one channel transmits information to the outside world—an optical fiber cable. 47 48 49 50 51 Температурная зависимость вероятности перехода цепочки спинов в основное состояние при квантовом отжиге (эксперимент и теория). M.W.Johnson et al., Nature 473, 194 (2011). 52 Expanding simulated annealing Tadashi Kadowaki and Hidetoshi Nishimori. Quantum annealing in the transverse ising model. Physical Review E, 58(5):5355, 1998. T. Lanting et al. Entanglement in a Quantum Annealing Processor PHYSICAL REVIEW X 4, 021041 (2014) 53 T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014) 54 55 T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014) 56 T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014) 57 T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014) 58 59 Computational Complexity Turing machines Church-Turing thesis: A function is efficiently calculable only if it is computable by a Turing machine Complexity classes O (n ) Class P (for Polynomial): those problems which are for O(n d ) input sized n and some constant d NP class A special group of problems are those that fall into the NP class: these are decision problems (that is, problems whose output is either yes or no) for which verifying whether or not a candidate solution is correct is in P. Problems are considered hard to solve if they require an exponential number of steps, e.g. O (2n ) 60 61 Layout of the qubits in the C4 Chimera chip employed to train the car detector. The irregular graph structure results from the fabrication process not yet rendering all qubits functional. 62 The traveling salesman problem N d ij (i, j 1,..., N ) 1 U T T 2 S 2U I A tour : Tij 1 visit , Tij 0 novisit H = 1 d U 2 i , j ij ij H = 1 d U 2 i , j ij ij ij Sij 1 H = dij 2 i, j 2 63 64 Термодинамика и вычисления 1. Демон Максвелла ,1871 – нарушение второго начала термодинамики: разделение частиц на горячие и холодные путем управления заслонкой “gate”! 2.1921, Leo Szilard - превращение информации в тепло 3. Rolf Landauer, 1961 - Landauer's principle – минимум энергии на «стирание» бита kT ln 2, 4. 1970s, Bennett, Fredkin, Toffoli, вычисления обратимы пока нет «стирания» 65 66 Неравновесная термоднамика 1. Отклик систем на внешнее воздействие: формула Кубо 2. Переход в состояние равновесия: кинетическое уравнение 3. Флуктуации: Найквист, соотношение симметрии Онсагера, флуктуационно-диссипационное соотношние Каллена-Велтона P (Q ) J 2 w w 2 Q 2 w 1 e 2 CT Q2 2 CT J 2 w T R 67 Бочков-Кузовлев (1977) H=(t ) H=( p, q, (t )) z ( p, q ) H =( t ) H =0 ( p , q ) ( t )Q ( p , q ) t W ( t )Q ( p ( t ),q( t ))dt 0 Michele Campisi, Peter Ha“nggi, and Peter 68 Talkner,RMP(2011) Work is not a quantum observable Michele Campisi, Peter Ha”nggi, and 69 Peter Talkner,RMP(2011) Краткие выводы 1. Адиабатический квантовый компьютер – реальный коммерческий проект 2. Проблема квантового отжига тесно связана с рядом актуальных трудно решаемых задач: фазовые переходы, коммивояжера 3. Адиабатическая эволюция имеет пересечение с переходом системы в состояние неравновесной термодинамики 70