Лекция 8 ПЛАЗМЕННЫЕ УСКОРИТЕЛИ. Электромагнитные ускорители плазмы. МГД приближение для описания динамики.

Лекция 8
ПЛАЗМЕННЫЕ УСКОРИТЕЛИ.
Электромагнитные ускорители плазмы. МГД приближение для
описания динамики.
Одножидкостная модель. Магнитное давление. Равновесие
плазменной границы. Рельсотрон.
Для описания ускорения плазмы магнитным полем воспользуемся МГД приближением.
Система МГД уравнений состоит из уравнения непрерывности, уравнения движения,
уравнения состояния для каждой компоненты плазмы и четырех уравнений Максвелла:

 dn
 dt  divn V  0 - уравнение непрерывности

 1   
dn

m n
 p  Z  en  E  V  B   Fтр
dt
c




p  nkT





div
E

4

e
Z
n

n


 i
l 

  l




1 B

rot
E



 c t

divB  0



 4  4 

rotB 
j
e  Z  ni Vi  nlVl 

c
c   l

Одножидкостная модель.
В одножидкостной модели считается, что ионы и электроны движутся с
одинаковой скоростью как целое. Для достаточно плотной плазмы это
оправдано эффектом амбиполярности, более подвижные электроны не могут
далеко убежать от ионов из-за возникновения сильных электрических полей.
Вводится:  
n m - массовая плотность ;


 1

V   n V m



- массовая скорость ;

Суммируя уравнения непрерывности для электронов и ионов, получим
массовое уравнение непрерывности или закон сохранения масс   div  v  0
t
Суммируя уравнения движения для электронов и ионов в пренебрежении сил
трения , получим уравнение движения для плазмы:
dv
1

dt
 p 
c
jB
B2
Можно показать, что второе слагаемое соответствует магнитному давлению pm 
8
В правой части этого уравнения нет электрической силы, так как
Z n  n


e
e
Одножидкостная модель.
Система уравнений примет вид:
плюс последние три уравнения Максвелла:
и закон Ома
 
 t  div V  0

1
 dV
 p  j  B

c
 dt
p  nkT




 
1 B
rot
E



 c t

 divB  0
 rotB  4 j

c



  1  
j  E эфф    E  V  B 
c


К последнему уравнению системы применим операцию :


  
 







4
1

  [  B]  (B)   2 B  grad  divB  2 B 

rot
E

rot
V

B




 

c
c


  1 B
0
 c t

«Вмороженность» магнитного поля
Если плазма покоится, то


B
c2

B
t 4
- уравнение диффузии.

 
B
 rot V  B
Уравнение «вмороженности» магнитного поля.
t

2
2
2
 2B 2B 2B 
B

c
c
S
 Pмаг  2  2  2 
 Pм аг 
 S  Pмаг S 
S
t

x

y

z
4
S
4



Покажем это. Возьмем замкнутый контур длины dl:



d
dB
dS 
 

dS  
dB
Магнитный поток    BdS ;
dt
dt
dt

разность потоков равна потоку через боковую поверхность. (т. Стокса: циркуляция внутри замкнутого контура.



 
 
 
d
B 
BdS  
dS   B  Vdl   rot V  B   B  Vdl  0

dt
t
Движение плазмы в одножидкостном приближении описывается уравнением:


dV 1  

 j  B  p
dt c

Магнитное давление
1 
jB
Выясним природу силы Лоренца
c
Для этого вспомним тождество анализа




   
 
 

 

   
grad a  b   a  b   a b    a  b   a   b  b   a  a    b  b   a  









 

 a  grad b  b  grad a  a  rotb  b rota










 
    
  
 [a  [b  c ]]  b ac   c ab 

 
  



 b ac   b a c   [a  [b  c ]] 
 


  ab  a b  a    c  


 

 

 
  1  1
 


1  1
B2
1  
jB 
rotB  B 

B B  p маг
  grad B  B  Bgard B   
c
4
4  2
8

4


2
B


0
0 
 8

2
2
B
B


-магнитное давление
p м аг   0
0  - тензор магнитного давления p м аг 
8
8

2 
B
 0

0 

8 

Натяжение магнитных силовых линий
Покажем, что последнее слагаемое в силе Лоренца
соответствует натяжению магнитных силовых линий,
т.е. связано с кривизной силовых линий.

2







1 
1
1
B
B


B  B  
B 2     B  B  
n
 B 
B  B 4
4
4 Rкр
4





  n
n
  lim
 lim

S 0 S
S 0 R 
Rкр
кр




 
Если обозначить        , то

 
n
   
Rкр

 

 B2 
1 
B2 
 
j  B    
n
c
8

4

R


кр
Т.о. сила Лоренца – это сила магнитного давления в поперечном
к магнитному полю направлении.


В вакууме, где j  0
S  Rкр  
 B
n

B
Rкр
- это отношение означает, что топология магнитного поля
соответствует уравновешиванию поперечного магнитного
давления натяжением силовых линий.
Равновесие плазменной границы.
плазма
Вновь вернемся к уравнению движения плазмы как

dV 1  
жидкости

 j  B  p
dt c

B

B

1 
Если плазма стационарна, то V  0  j  B  p
c
условия равновесия плазмы, из которого следует, что вектора j и B лежат
на поверхности p  const , т.е. магнитные поверхности в плазме являются
изобарическими.
2
 
B
1
Если магнитное поле однородно, то
j  Bz    z
c
8
B z2
т.е. газокинетическое давление уравнивается магнитным:
p   
Или можно записать:

B2
Bz2
p   
 0   p 

8
8

8
2

B
  0  p  z  const

8

Т.о. магнитное поле в плазме зависит от давления плазмы и меняется так,
чтобы оставалась постоянной величина
B2
p
z
8
 const
Плазменные ускорители.
Полная индуктивность системы:
Lx - погонная
L  L0  Lx x
индуктивность. Систему уравнений,
описывающая данную модель,
можно представить в виде
x  v

v  1 Lx I 2
2m p


U   1 I

c0

U  ( L0  Lx  x) I  I ( R  Lx  v )

1 Lx  I 2

P  2 a  b

a
R 
 p  p  b  lp

P

n


kT (1   p )

 R I 2    T 4
St
 p
L0
Рельсотрон

V
b
U0

Bc
C0

Bb
ln
L0
R0
a
Bc  Bb
I
Lx
C0
Rp
Плазменные ускорители.
где a, b, l p высота, длина, ширина поршня  p - проводимость
плазмы, определяемая, например, по формуле Спитцера,  p - степень
ионизации плазмы, определяемая уравнением Саха. Последнее уравнение
системы задает тепловой баланс в предположении, что все омически
выделяемое в плазме тепло идет на излучение плазмы как излучение черного
тела. Система замкнута. Точность расчета определяется сохранением
энергии:
t
c0U 02 c0U 2 L0 I 2 Lx xI 2 mv 2
W0 




  RI 2 dt  const
2
2
2
2
2
0
Двухмерный случай.
С учетом соотношения
div v  v  grad    divv
L0
R0
r
c0
с учетом того, что в цилиндрической
системе
1 
1 v vz
divv 
(rvr ) 

r r
r  z
z
r
r2
r1
z
z0
Zк
Плазменные ускорители. Двухмерный случай.
Система будет иметь вид:
vr vr vz


 

v

v


(
 
)  0;
r
z
 t
r
z
r r z

B2
B2
vr
vr

 vr
  ( t  vr r  vz z )   r ( p  8 )  4 r ;

B2
vz
vz

 vz
 vr
 vz
)   ( p  );
 (
r
z
z
8
 t


p

kT ;

mi

 B
 2 B
c 2 1  B
1
1

(
(
r
)

)

(
v
B
)

(vz B ).

r 
2
4 r r
r
z
r
z
 t
Расчет каждого из уравнений системы является задачей Коши,
требующей задания начальных условий.