Понятие производной. Урок лекция на 2 часа. Содержание 1. Приращение функции 2. Геометрический смысл приращения функции 3. Понятие производной. 4. Алгоритм нахождения производной. 5. Примеры. 6. Таблица производных. Приращение функции Дан график функции у=4-х2 По графику найти значение функции в точке х1=1 и х2=2 у 4 Разность х2 - х1=2-1=1; ∆x=1 f (1)=3; f(2)=0; f(2)- f(1)=0-3= -3 ∆f=-3 3 2 ∆f 1 -2 -1 0 1 2 ∆x х Пусть дана функция у=f(х) y f ( x) f ( x0 x) f x f ( x0 ) 0 х0 x х x ∆х=хх0х –– произвольная приращение Пусть точка в аргумента окрестности Разность f(x)-f(x 0) называется приращением функции фиксированной точки х0 и обозначается f ∆f =Разность f(x)-f(x 0) или х-х 0 называется приращением аргумента обозначается ∆f =f(x 0+ ∆x)-f(x 0) - и приращение функции ∆ x =x-x0 х=х0+ ∆ x Содержание Пример 1: Найти приращение аргумента и приращение 2 функции в точке х0, если f ( x) x x 1,9 x0 2 Решение: x x x0 ; x 1,9 2 0,1; f f ( x) f ( x0 ); f f (1,9) f (2) 1,9 2 3,61 4 0,39 2 2 Ответ : x 0,1; f 0,39 Геометрический смысл приращения функции y=kх+b y В f ( x) f ( x0 x) f А f ( x0 ) 0 f k tg x х0 f С x x х k tg ABC - прямоугольный x BC tg AC Прямая l , проходящая через любые две точки графика функции, называется секущей к графику функции. -угловой коэффициент секущей к графику функции Содержание №184(а ) Пример f ( x) Решение : 1 2 x ; x0 0; x 1 2 tg x x x0 ; f f ( x) f ( x0 ); x 1 0 1; 1 k tg 2 f ; x 1 1 1 f f (1) f (0) 12 02 2 2 2 0 острый 1 Ответ : tg ; острый 2 Понятие производной Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. ∆f f ′(x) = lim ∆x→0 ∆x Нахождение производной называют дифференцированием Содержание Понятие производной у ∆f f ′(x) = lim ∆x→0 ∆x f(x0) у = f(x) ∆f f(x0 + ∆х) ∆х 0 х0 х0+ ∆х х Содержание Алгоритм нахождения производной 1. Зафиксировать значение х0, найти f(x0). 2. Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х). 3. Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0). ∆f 4. Составить отношение . ∆х ∆f 5. Вычислить lim . ∆x→0 ∆х 6. Этот предел и есть f ′(x0). Содержание Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo 1. f x o kxo b 2. f x o Δx k x o Δx b 3. Δf f x o Δx f x o k x o Δx b kxo b kxo k Δx b kxo b k Δx Δf k Δx 4. k Δx Δx Δf 5. lim lim k k Δx 0 Δx Δx 0 kx b k Содержание Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo 1. f xo С 2. f x o Δx С 3. Δf f x o Δx f x o С С 0 Δf 0 4. 0 Δx Δx Δf 5. lim lim 0 0 Δx 0 Δ x Δx 0 С 0 Содержание Примеры 3. Найти производную функции y = x2 в точке хo 1. f xo xо 2 2. f xo Δx xo Δx 2 3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o 2 2 x о2 2 x o Δx Δx 2 x о2 2 x o Δx Δx 2 2x o Δx Δx 2 Δx 2 x o Δx Δf 4. 2 x o Δx Δx Δx Δx Δf 5. lim lim 2 x o Δx 2 x o Δx 0 Δ x Δx 0 x 2х 2 Содержание Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке хo 1. f x o x o 2. f x o Δx xo Δx 3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o x o Δx x o x o Δx x o x o Δx x o x o Δx x o x o Δx x o Δf 4. Δx Δx x o Δx x 2 o x o Δx x o Δx x o Δx x o Δx x o Δx x o 2 1 x o Δx x o Содержание Примеры 4. Найти производную функции y = √x в точке хo Δf 4. Δx Δx Δx x o Δx x o 1 x o Δx x o Δf 1 1 5. lim lim 2 x Δx 0 Δx Δx 0 x Δx x o o o x 1 2 х Содержание Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo 1 1. f x o xо 1 2. f x o Δx x o Δx 1 1 3. Δf f x o Δx f x o x o Δx x o x o x o Δx Δx 2 x o x o Δx x о x o Δx Δf Δx 1 4. 2 2 Δx Δx x о x o Δx x о x o Δx Содержание Примеры 5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo Δf Δx 1 4. 2 2 Δx Δx x о x o Δx x о x o Δx Δf 1 1 2 5. lim lim 2 Δx 0 Δx Δx 0 x x Δx xо o о 1 1 2 х х Содержание Таблица производных f (x) C f ′(x) 0 f (x) √x f ′(x) 1/(2√x) kx + b k ex ex x2 2x ax ax lna xn nxn–1 tg x 1/cos2x 1/x – 1/x2 ctg x – 1/sin2x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x loga x 1/(x lna)