Решение задач В8, В10 и С2 СТЮФ МАРИНА АЛЕКСЕЕВНА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ КОУ «ЗАЛИВИНСКАЯ СОШ» Новые задачи раздела В-8 Определение первообразной Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на интервале (a;b). Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если в нем производная функции F равна f: F’(x)=f(x). Задача 1 На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2;4]. Решение Для того, чтобы решить уравнение f(x)=0, надо решить уравнение F’(x)=0, т.е. найти значения х, при которых производная меняет знак с «+» на «-» или наоборот, при этом f(x) сначала возрастает затем убывает или наоборот. Значит на графике это точки максимума или минимума на заданном отрезке [-2; 4]. Ответ: 10. Задача 2 На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции f(x), определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-15; -8]. Ответ: 2. Криволинейная трапеция Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке. Эта фигура ограничена снизу отрезком [a; b] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х=а и х=b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Отрезок [a; b] называют основанием этой криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S=F(b) – F(a), где F(x) – любая первообразная функции f(x). Формула Ньютона-Лейбница Разность F(b) – F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают так: b f ( x)dx a b т.е. f ( x)dx F (b) F (a) a Задача 3 На рисунке изображён график функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) – F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Решение F(8) – F(2) = S трапеции. ab h, 2 6 1 S тр. 2 7 2 F (8) F (2) 7 S тр. Ответ: 7. Задача 4 На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 1 f ( x)dx 7 Решение 1 f ( x)dx F (1) F (7) S тр . 7 S ab 64 h, S 2 10 2 2 1 f ( x)dx 10. 7 Ответ: 10. Задача 5 На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции равна F ( x) 1 3 x x 2 2 x 5. 3 Найдите площадь заштрихованной фигуры. Решение 1 F ( x) x 3 x 2 2 x 5, 3 1 3 2 1 S F (2) F (1) 2 2 2 2 5 (1)3 (1) 2 2 (1) 5 3 3 1 1 9 1 8 8 5 (1) 1 2 5 5 8 3 3 3 6. 3 3 3 3 3 Ответ: 6. Задача 6 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F ( x) x3 30 x 2 302 x 15 8 — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение F ( x) x 3 30 x 2 302 x 15 8 15 S F (9) F (11) (9) 30 (9) 302 (9) 8 15 3 2 (11) 30 (11) 302 (11) 8 15 15 729 2430 2718 1331 3630 3322 8 8 1017 1023 6. 3 2 Ответ: 6. Новые задачи раздела В-10 Задача 1 В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на 3 группы по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе. Решение 7 – 1 = 6 человек случайным образом может попасть в эту же группу, т.к. один из друзей находится в этой группе. 21 – 1 = 20 шестиклассников могут попасть в группу из 6 человек. 6 – благоприятных исходов. 20 – общее количество всех элементарных исходов испытания. 6 3 P( A) 0,3 20 10 Ответ: 0,3. Задание 2 В школе 51 пятиклассник, среди них Петя и Саша. Пятиклассников случайным образом делят на 3 группы по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Петя окажутся в одной группе. Решение 17 – 1 = 16 – количество благоприятных исходов. 51 – 1 = 50 – общее количество всех элементарных исходов испытания. 16 32 P( A) 0,32 50 100 Ответ: 0,32. Задание 3 В классе 26 человек, среди них 2 близнеца Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что близнецы окажутся в разных группах. Решение Решим данную задачу через противоположное событие. Найдем вероятность того, что близнецы окажутся в одной группе, а затем отнимем от единицы полученный результат. 13 – 1 = 12 – количество благоприятных исходов. 26 – 1 = 25 – общее количество всех элементарных исходов испытания. 12 48 0, 48 25 100 1 0, 48 0,52 P( A) Ответ: 0,52. Задание 4 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов). Решение 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что он промахнется. Вероятности складываются, если необходимо найти выполнение либо одного либо другого события (одного из нескольких). Вероятности перемножаются, если необходимо найти выполнение того и другого события одновременно. 0, 4 0, 4 0,16 вероятность того, что стрелок будет дважды стрелять и дважды промахнется. 1 0,16 0,84. Ответ: 0,84. С2. Решение задач по стереометрии Задание 1 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором АВ=12, AD= 31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5. Z B1 A1 C1 D1 B A X М C D Y Дано: ABCDA1B1C1D1 , AB=12, AD= 31 ; AA1=5, α – угол; β – плоскость, перпендикулярная BD1 и проходящая через точку М. Найти: cos α Решение: Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В (0; 0; 0). Вектор нормали – вектор, перпендикулярный к плоскости. Нормаль к плоскости β – B1D . Координаты В и D1: В(0; 0; 0), D1(12; 31 ; 5). BD1 {12, 31 , 5}. Нормаль к ABCD – это B1B . В1(0; 0; 5), В(0; 0; 0). B1B {0; 0; -5}. Z N1 N 2 cos ; N1 N 2 cos 122 B1 0 0 25 31 52 02 02 5 2 A1 2 D1 5 5 5 2 4 144 25 31 200 10 2 Ответ: 2 . 4 C1 B A X М C D Y Задание 2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором АВ=5, AD= 33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AА1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно 3. Решите самостоятельно. Ответ: 1,2. Задание 3 Найдите расстояние от вершины D основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 до диагонали A1C, если сторона основания равна 12, а боковое ребро призмы 4 7 . B1 A1 C1 D1 М B A C D Решение Из AA1 D по теореме Пифагора A1 D AD 2 AA12 144 112 256 16. По теореме о трех перпендикулярах A1 DC прямой ( A1 A ADC , AD CD). По теореме Пифагора A1C A1 D 2 DC 2 256 144 400 20. 1 1 S A1DC DM A1C A1 D DC , откуда 2 2 A D DC 16 12 DM 1 9, 6. A1C 20 Ответ: 9,6. B1 A1 C1 D1 М B A C D Задание 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1. D1 C1 B1 A1 C D A B Решение Достроим данную призму до четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1: AB||DC, AD||CB, AA1||DD1. Проведем диагональ AD1 в грани DD1A1A параллельно BC1, D1 AB1 AB1 BC1. Проведем диагональ B1 D1. Из A1 D1 B1 по теореме косинусов B1 D1 12 12 2 11 cos1200 22 1 3. 2 Из ADD1 по теореме Пифагора AD1 12 12 2. AB1 AD1 диагонали квадратов со стороной 1. 2 2 3 AD B по теореме косинусов cos 2 Из 1 1 2 23 1 . 4 4 2 2 2 2 2 1 Ответ: . 4 Задание 5 В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1. Решение AB1 ; ABC1. Т .к. A...D1 куб , то все грани квадраты. Проведем B1H BC1 ( H середина BC1 ). B1 H AB по теореме о трех перпендикулярах ( B1H , B1B наклонная , BH проекция BB1 , BB1 AB ) B1H ABC1D1. Значит, B1 AH . 2 . 2 Из AB1 H , H 900 применяя соотношение в прямоугольном треугольнике Примем ребро куба за 1. Тогда BC1 AB1 2, B1 H найдем синус угла : sin B1 H . AB1 2 1 : 2 , откуда 300. AB1; ABC1 300. 2 2 Ответ : 300. sin Задание 6 В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 4. N – середина отрезка АС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости NА1Д. C1 D1 B1 E1 A1 F1 C D E N B A F Решение Рассмотрим ABC. AC 2 3; NA 3. В ANA1 A 900 , NA1 3 2 4 2 19. В NCD C 900 , ND NC 2 CD 2 3 4 7; Желаем успехов!