Интеграл. Площади криволинейных фигур

Интеграл. Площади
криволинейных фигур
Знание - самое
превосходное из
владений. Все стремятся
к нему, само же оно не
приходит.
(Ал-Бируни)
Авторы проекта:
• Никитин Виктор
• Николаев Руслан
Учащиеся 11А класса,
МОУ«СОШ№12»
Цель исследования
путь познания увлекателен,
но не усыпан розами
• Найти способы вычисления площади
криволинейной фигуры
• Составить справочник формул площадей
• Решить задачи на нахождение площадей фигур
Этапы работы
• Подготовка. Изучение
теоретического материала.
• Исследование. Нахождение
способов вычисления площадей
данных фигур.
• Результаты и выводы.
• Представление. Защита
полученных результатов.
Определение.Фигуру, ограниченную
графиком непрерывной функции y=f(x) ,
принимающей неотрицательные значения
на отрезке [a;b] , отрезком [a;b] оси Ox и
прямыми x=a и x=b, называют
криволинейной трапецией.
Для вычисления площади криволинейной трапеции
применяют формулу S=F (b)- F(a), где F (b)- F(a) приращение первообразной F (x) для функции f (x) на отрезке
[ a; b]. Еще разность F(b)-F(a) называют интегралом
от
b
функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают так.  f ( x)dx
a
Значит, площадь криволинейной
трапеции можно
b
вычислить по формуле S  f ( x)dx  F (b)  F (a),

a
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
Важный принцип решения мат емат ических задач–
сведение задачи к извест ной.
Чтобы вычислить площадь более сложной фигуры,
нужно выделить в ней криволинейные трапеции,
вычислить их площади.
Пример 1.
Эт апы вычисления площади:
а) найти отрезок [a; b], на
котором задана функция f(x).
б) построить график f(x) на отрезке [a;b]
в) если f(x) ≤0 на [a; b], то
b
S  

a
f ( x ) dx
Пример 2
Этапы вычисления S:
а) построить графики функций f(x) и g(x),
образующие (вместе с осью Ox),
криволинейную трапецию.
б) найти абсциссы точек пересечения
графиков функций f(x) и g(x) друг с другом и
осью Ox.
в) если S=S1+S2 , то
S
b
c
a
b
 f ( x)dx   g ( x)dx
Пример 3.
Эт апы вычисления S:
а) найти на оси Ох отрезок [a;b],
на котором заданы функции f(x)
и g(x).
б) построить графики функций
f(x) и g(x) для xє[a;b].
b
b
в) Если S1   f ( x)dx,S 2   g ( x)dx
a
b
a
и S=S1-S2, то S   ( f ( x)  g ( x)) dx,
a
где f(x)≥g(x) на [a;b].
Задача 1. Укажите различные способы вычисления
площади заштрихованной фигуры.
Решение.
1 способ.
Функции заданы на отрезке [-3;3].
Запишем основные этапы
2 2
f ( x)   x  2 вычисления:
9
y
а) выделим криволинейные
трапеции ABC и ADC.
B
А
-3
C
O
3
x
D
2
g ( x)  x 2  2
9
3
Итак,
б) вычислим их площади SABC и
SADC.
в) площадь искомой фигуры
S=SABC+SADC
3
2 2
2
S   (
x  2)dx    ( x 2  2)dx  16
9
9
3
3
2 способ.
4 2
2
2
f
(
x
)

g
(
x
)


x

4


(
x

2
)(
x  2)  0 ,при -3≤x≤3,
Так как
9
3
3
то чтобы найти площадь искомой фигуры применим
b
формулу S   ( f ( x)  g ( x)) dx.
3
a
Итак, S  ((  2 x 2  2)  ( 2 x 2  2)) dx  16

3
9
9
3 способ.
3
S  4SOBC
2 2
 4 ( x  2)dx  16
9
0
Ответ: 16.
Задача 2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной отрезком
  7 
7
 2 ; 6  оси Ox, графиком функции y=cos x и прямой x=
.
6
1. Нарисуем данную фигуру
y
7
6


2
O
x

2
2. Решим уравнение cos x =0. График
  7 
функции y=cos x на отрезке  ;
 2 6 
пересекает ось Ox в точках

x1  
2
, x2 
3. Искомая площадь
S

2


2
7
6

2

2

cos xdx   cos xdx  sin x
 sin x

2


 sin(   )  sin  2  0.5  1  3.5
6
2
7
6

2

2
 sin


 sin 
2
2
Ответ:3.5
Выводы:
• Нашли способы вычисления
площадей криволинейных фигур.
• Составили справочник формул
площадей.
• Решили задачу1 тремя способами.
• Узнали много интересного в ходе
работы над проектом.