Магнитное поле проводников с токами

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1. Особенности электрического и магнитного
взаимодействия.
2. Сила Ампера.
3. Закон Био-Савара-Лапласа.
4. Магнитное поле движущегося заряда.
5. Сила Лоренца.
6. Движение заряженных частиц в однородном магнитном
поле.
7. Эффект Холла.
В 1820 году - Эрстед обнаружил действие проводника с
током на магнитную стрелку, а Ампер открыл
взаимодействие токов.
Особенности электрического и магнитного
взаимодействия:
 - Электрическое взаимодействие возникает при наличии
зарядов на проводниках и зависит от этих зарядов;
- Магнитное взаимодействие не зависит от зарядов
проводников, возникает только при наличии токов в
проводниках и зависит от этих токов;
 - Если заряженное тело находится внутри замкнутой
металлической оболочки, то действие на него других зарядов,
находящихся вне оболочки, не наблюдается;
- Если же заэкранировать проводящей оболочкой один из
контуров с током, то магнитное взаимодействие сохраняется;
 - Причиной возникновения сил магнитного взаимодействия
является магнитное поле, которое появляется вокруг
проводника с током.
Сила Ампера
idl
 Изучая взаимодействие проводников с токами Ампер
установил, что сила взаимодействия проводников
пропорциональна силе тока в каждом из них, зависит от
размеров контуров, их формы и взаимного
расположения.
Закон взаимодействия можно дать для элементов тока.
Элементом тока называют произведение
idl .
 Способность магнитного поля вызывать
появление силы, действующей на какой-либо
элемент тока, можно количественно описать,
задавая в каждой точке поля

некоторый вектор B . При этом сила,
действующая на элемент тока равна:


 

dF  i dl , B  сила Ампера
 Величина

B
называется вектором магнитной
индукции и является основной характеристикой
магнитного поля.
 dF  idlB sin 
B

 Модуль силы:


- угол между вектором dl
, где

и вектором B .
Направление силы определяется правилом правого
буравчика или правилом левой руки.
Правило левой руки
Линии магнитной индукции
 Линии магнитной индукции всегда замкнуты в отличие
от линий напряженности электростатического поля.
Закон Био-Савара-Лапласа (установлен
экспериментально)
 Закон Био-Савара-Лапласа определяет вектор магнитной
индукции поля, созданного элементом тока
0 i  dl , r 
7
dB 
,


4


10
Ãí / ì
0
3
4
r
 Модуль
 0 idl sin 
dB 
4
r2
 Направление вектора
правого винта.

dB
определяется правилом
 Принцип суперпозиции полей: если поле
создано несколькими проводниками с током, то
  результирующего


магнитная индукция
поля
B

B

B

....

B
1
2
n
равна сумме магнитных индукций полей,
созданных каждым проводником в отдельности:
B   Bi
i

Принцип суперпозиции справедлив и для
 
элементов тока:

0 i dl , r
B
.
3
4 r
 
Магнитное поле прямолинейного
проводника с током
 0 idl sin 
dB 
4
r2
dl sin  dl cos  ds rd



 d
r
r
r
r
dS
dl

R
dl sin  cos d
r
,

2
cos 
r
R
2

R

0 2
0i
B
cos d 

4R 
2R
d
i
B
Магнитное поле кругового тока
0 idl cos 
dBz  dB cos  
.
2
4
r
r 2  R2  z 2,
R
cos   
r
2 R
B
dl;
3 
4
0
 2
2
 R z 2
0
iR




Если z=0, то
R
R
0
B
4
B
0i
2R
2
1
2 2
z 
iR
R
2
z
.
3
2 2

2 R.
Магнитное поле движущегося заряда
Электрический ток – это движение зарядов.
Следовательно, движущиеся заряды создают вокруг себя
магнитное поле:
0 i  dl , r 
dB 
.
3
4
r
Силу тока выразим через плотность:
Учтем, что
i  jS  enuS .



idl  enuSdl  enSdlu
 Подставим
0 enSdl u , r  0 edN u .r 
dB 

3
3
4
r
4
r
Находим:
 e u .r   

  dB0  0 eu , r 
B
B  4  r 3
N 4 r 3
-индукция поля положительного заряда, движущегося
 .
со скоростью u
Действие магнитного поля на
движущийся заряд. Сила Лоренца
Проведем аналогичные рассуждения, чтобы получить
магнитную составляющую силы Лоренца.
Сила, действующая на проводник с током:
dF  i  dl , B 
Подставим:
idl  dNqu
dF  dNq u , B 
 Сила, действующая на одну частицу,
- магнитная составляющая силы Лоренца.
dF
F
 q u , B 
dN
Модуль силы равен:
 F  quB sin  , где  - угол
между вектором B и вектором u .
 Направление силы определяется правилом левой руки.
 В электромагнитном поле на частицу действует полная
сила Лоренца, равная:



 

F  qE  q u , B
Правило левой руки
Движение заряженных частиц в
однородном магнитном поле
Уравнение движения частицы в
электромагнитном поле
имеет вид:

B
 

 
du
m
 qE  q u , B
dt
R
F
Рассмотрим частный случай,
u
когда электрического поля нет.
1. Частица влетает в магнитное
поле перпендикулярно силовым линиям.
Сила Лоренца перпендикулярна к вектору скорости и
следовательно играет роль центростремительной силы.
Уравнение движения имеет вид:
mu2
 quB,
R
отсюда радиус окружности, которую описывает
mu
частица, равен:
mu.
R 
,
qB
qB
Важная особенность движения заряженной частицы
по окружности: период обращения (частота) не
зависит от энергии частицы (от скорости):
T
2 R
mu
m
q
 2
 2
,  B
u
uqB
qB
m
2. Частица влетает под углом к направлению магнитного
поля.
В этом случае скорость раскладывается на две
составляющие:
u//  u cos  ;
- параллельную полю
u  u sin .
- перпендикулярную полю.
Частица движется в этом случае
по спирали, радиус которой равен:
а шаг:
mu sin 
R
,
qB
m
h  uT cos   2
u cos  .
qB
Эффект Холла
Если металлическую пластинку, вдоль которой
течет постоянный электрический ток, поместить в
перпендикулярное к ней магнитное поле, то между
параллельными направлению тока и поля гранями
возникает разность потенциалов:
(1)
U  R  b  j  B,
x
где b - ширина пластинки;
j - плотность тока;
B - магнитная индукция поля;
R- коэффициент пропорциональности – постоянная
Холла.
Эффект Холла является следствием существования
силы Лоренца.
Эффект Холла
B












U
j
В отсутствие магнитного поля ток в пластинке
обусловлен электрическим
полем E0 , имеющим тоже

направление, что и j .
При включении магнитного поля каждый носитель
оказывается под действием силы Лоренца:
 


 
F  qE   q u , B ,
при этом магнитная составляющая направлена
перпендикулярно и к направлению тока и к магнитному
полю.
Эффект Холла
Траектория электронов будет искривляться. Одна из
граней пластинки зарядится отрицательно, а другая –
положительно, внутри пластины возникает поперечное
электрическое поле.
Когда напряженность этого поля достигнет такого
значения, что его действие на заряды уравновесит
действие магнитного поля, перераспределение зарядов
прекратится.
Эффект Холла. Проводник.
 За направление тока принято движение
положительных зарядов, хотя ток в проводниках
создается электронами.
B
  F    

u
u
F

ýë
ì
j
euB  e  E ;
При равновесии:
U  1   2  E  b  u  B  b.
Скорость упорядоченного движения выразим через плотность:
j
u ,
en
тогда:
1
U  b jB
ne
Полученное выражение совпадает с формулой (1), где:
1
R
ne
Постоянная Холла зависит от концентрации электронов, поэтому эффект
Холла используют для определения концентрации электронов внутри
проводника.
Эффект Холла. Полупроводник.
Поперечная разность потенциалов зависит от знака
носителей тока. При эффекте Холла в полупроводниках
ток обусловлен движением как положительных, так и
отрицательных зарядов. По этому эффекту можно
судить о принадлежности полупроводника к n- или pтипу.
B
  F    


u
u
F
F

ýë
ì
ì
j
Подвижность
Одной из важнейших характеристик вещества
является подвижность в нем носителей заряда.
Подвижностью называют среднюю скорость,
приобретаемую носителем при напряженности
электрического поля равной единице.
Если в поле E носители приобретают скорость u , то
подвижность:
u
0  .
E
Подвижность
 Подвижность можно связать с проводимостью σ и
концентрацией носителей n :
j  enu ;
j
enu

   e  n  0 .
E
E
 Измерив R и σ можно оценить n. Эффект
Холла в собственных полупроводниках возникает
за счет разности в подвижностях носителей тока.
Аномальный эффект Холла объясняет квантовая
механика.