Документ 4733954

Электроемкость
Электроемкость уединенного проводника
Рассмотрим уединенный проводник: проводник, удаленный от других
проводников и зарядов.
Между зарядом проводника q и его потенциалом  существует прямая
пропорциональная зависимость:
Запишем в виде равенства:
Величина
q ~
q  C
C
q

называется электроемкостью уединенного проводника.
Электроемкость зависит от размеров и формы проводника.
Единицей электроемкости является фарад (Ф).
C    Кл   Ф
В
Электроемкостью 1Ф обладает проводник, потенциал которого
изменяется на 1В, при сообщении ему заряда 1Кл.
Пример. Вычисление электроемкости уединенного проводника, имеющего
форму шара радиуса R.
Поместим на проводник заряд q и вычислим его потенциал ,
воспользовавшись связью между напряженностью и потенциалом

   Edr 
R
Тогда


qdr
1  q
1 q





4 0 R r 2
4 0  r  R 4 0 R
1
q 4 0 R
C 
 4 0 R

q
q
Конденсаторы
Систему проводников называют конденсатором.
Простейший конденсатор это система из двух проводников (обкладок)
находящихся на малом расстоянии друг от друга.
Заряды на обкладках равны по величине и противоположны по знаку, чтобы
электрическое поле было бы сосредоточено внутри конденсатора.
Электроемкостью конденсатора называют отношение заряда на
положительно заряженной обкладке к разности потенциалов (напряжению)
между обкладками
q
q
C

1   2 U
Емкость конденсатора зависит от размеров и формы обкладок, от зазора
между ними и от заполняющей конденсатор среды.
Электроемкость плоского конденсатора
Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин,
разделенных зазором шириной d. Предположим, что заряд
конденсатора равен q, тогда поверхностная плотность заряда
=q/S
Напряженность поля, создаваемого каждой
из пластин равна по модулю

E1 
2 0
Результирующая напряженность поля
между обкладками

q
E 
 0  0S
Разность потенциалов между пластинами будет равна
d
d
qdr qd
U   Edr  

 0S
0
0  0S
Подставим выражения для U в формулу для электроемкости
конденсатора получим:
q q 0 S  0 S
C 

U
qd
d
Если между обкладками находится диэлектрик с диэлектрической
проницаемостью , то
C
 0 S
d
Выражение для емкости сферического конденсатора:
R1 R2
C  4 0
R2  R1
R1 и R2 радиусы внутренней и наружной обкладок.
Выражение для емкости цилиндрического конденсатора:
2 0 l
C
ln R2 R1 
где l - длина конденсатора, R1 и R2 радиусы внутренней и наружной
цилиндрических обкладок.
Энергия системы точечных зарядов.
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2,
находящихся на расстоянии r друг от друга, равна:
q1q2
W
4 0 r
1
Представим выражение для энергии в виде:
1  1 q2
1 q1 
W  
q1 
q 2 
2  4 0 r
4 0 r

Обозначим
1 
q2
4 0 r
2 
1
q1
4 0 r
1
- потенциал создаваемый зарядом q2 в
точке нахождения заряда q1;
- потенциал создаваемый зарядом q1 в
точке нахождения заряда q2;
Тогда соотношение для энергии взаимодействия двух зарядов примет вид:
1
W  q11  q2 2 
2
Обобщим это выражение для системы, состоящей из n зарядов:
1 n
W   qi  i
2 i 1
где i - потенциал создаваемый в точке нахождения заряда qi всеми
остальными зарядами.
Энергия заряженного уединенного проводника
Рассмотрим уединенный проводник емкость, потенциал и заряд которого
соответственно равны C, , q.
Увеличим заряд этого проводника на dq.
Для этого необходимо перенести заряд dq из бесконечности на
уединенный проводник, совершив работу, равную
dA   dq
Так как заряд q и потенциал  уединенного проводника связаны
соотношением
q  C
то
следовательно
dq  Cd
dA   dq  C d
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до , необходимо совершить
работу

2
C
A   Cd 
2
0
Энергия заряженного проводника равна работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот проводник:
C 2 q q 2
W  A


2
2 2C
Энергия заряженного конденсатора
Рассмотрим конденсатор емкости C, заряженный до напряжения U.
Для того, чтобы перенести на него добавочный заряд dq требуется совершить
работу
dA  Udq
В конденсаторе заряд и напряжение связаны соотношением
q  CU
dq  CdU
дифференцируя которое, получим
Тогда
dA  CUdU
Полная работа, которую надо совершить для заряда конденсатора
CU 2
A   CUdU 
2
0
U
Эта работа идет на создании энергии электрического поля конденсатора
CU 2 q 2 qU
W  A


2
2C
2
Объемная плотность энергии электрического поля.
Введем в рассмотрение величину
W
w
V
которая называется объемная
плотность энергии.
2
Подставляя в формулу для энергии конденсатора
выражение для емкости плоского конденсатора:
CU
W
2
C
 0 S
а объем конденсатора V  Sd
U  Ed
 0 S 2 2  0 2
W
E d 
E V;
2d
2
и учитывая, что
находим:
d
W  0 E 2
w

V
2
- плотность энергии
электрического поля