Основы теории электрических цепей Юрия Петровича Усова Лекции профессора ЭЛТИ

Лекция 3
Основы теории
электрических цепей
Лекции профессора ЭЛТИ
Юрия Петровича Усова
17.09.09
1
Лекция 3
Спектр ЭМ колебаний
17.09.09
2
Лекция 3
Синусоидальные
(гармонические)
колебания
17.09.09
3
Лекция 3
Для характеристики
синусоидаль-ных колебаний
используются:
Т[c] – период колебания;
f =1/T[Гц] – частота
колебаний;
ω=2πf=2π/T[рад/c] – круговая
частота.
n=60f[об/с] – число оборотов
17.09.09
4
Лекция 3
Т[c] – период колебания;
f =1/T[Гц] – частота колебаний;
ω=2πf=2π/T[рад/c] – круговая частота.
Промышленная частота
f=50 Гц,
T=0.02 c,
ω=314 рад/с.
17.09.09
5
Лекция 3
i  I m sin( t    )
i
Im
0
i
t
-Im
17.09.09
6
Лекция 3
u  U m sin( t   )
Um
i
u
Im
/  0
ii
0
t
-Im (  )  0

-Um
17.09.09
7
p  ui
Um
Лекция 3
i, u, p
u
Im
i
t
0
-Im
-Um
17.09.09
p
8
Лекция 3
Где:
Im и Um - максимальные
значения тока и напряжения
- начальная фаза
напряжения (град или рад)
-угол сдвига фаз между
напряжением и током (град
t или рад)
- время (с)
17.09.09
9
Лекция 3
Действующие значени
гармонических
токов и
напряжений
17.09.09
10
Лекция 3
Действующие значения
тока
и напряжения
характеризуют,
например, процесс
выделения
тепла в линейном
резистивном
17.09.09
11
Лекция 3
R
i
+ u
ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА:
T
2
2
W   i R dt  I RT, Дж
0
ПО ЗАКОНУ ОМА:
u  R i, B
17.09.09
T  2 , c

12
Лекция 3
Действующее значение
гармонического тока i
численно равно такому
постоянному току I , который
за время Т в том же
сопротивлении R выделяет
такое же количества тепла W
17.09.09
13
Лекция 3
I, Im , i(t)
1  Cos2t
I RT   RI Sin  tdt  RI 
dt
2
0
0
T
2
T
2
m
2
I
2
m
I m2
Im

;
2
2
T
 Cos2tdt  0.
0
17.09.09
14
Лекция 3
При токе и напряжении:
i  I m sin(t  )
u  U m sin(t  )
17.09.09
15
Лекция 3
Действующее значение
тока
T
1 2
Im
I
i
dt


2
T0
17.09.09
16
Лекция 3
Действующее значение
напряжения
T
1 2
U
m
U
u
dt


2
T0
17.09.09
17
Лекция 3
Действующие значения тока
и напряжения не зависят
от угловой частоты
и начальной фазы 
17.09.09
18
Лекция 3
i  2 I sin(t  )
u  2 U sin(t  )
17.09.09
19
Лекция 3
Символический метод
17.09.09
20
Лекция 3
Символический метод
применяется для расчета
линейных
цепей с гармоническими
токами
и напряжениями
Этот метод основан на
изображении
гармонических величин
комплексными числами
17.09.09
21
Лекция 3
Основная идея:
проекция вращающегося
вектора на любой из
диаметров
окружности,
описываемая его
концом, является
гармоничес-кой
функцией времени
17.09.09
22
Лекция 3
Следовательно,
синусоидальная
величина может быть
изображена
вращающимся вектором
на
комплексной плоскости,
причем
этот вектор записывается
в
17.09.09
23
Лекция 3
Таким образом:
i  Im sin( t  )  2 I sin( t   ) 
 IM[ 2 Ie
 I  Ie
IM [ 2 Ie
j( t   )
j
j ( t   )
] IM[ 2 I e
jt
]
 I cos   jI sin  
 a  jb
составляюща
]мнимая

вращающегося вектор
j – мнимая единица
17.09.09
24
Лекция 3
 j  1
b

I
t=0
>0
a
1
I  комплекс действующего
значения тока
17.09.09
25
Лекция 3
j
t=0
b
I
0
17.09.09

a
+1
26
Лекция 3
j
t=t
Ie
jt 1
1
+1
0
17.09.09
27
Лекция 3
j
t=t
Ie
jt 2
2
+1
0
17.09.09
28
Лекция 3
j
t=t
3
0
17.09.09
Ie
jt 3
+1
29
j
Лекция 3
t=t
4
Ie
0
17.09.09
jt 4
+1
30
Лекция 3
j
t=t
5
Ie

0
17.09.09
jt 5
+1
31
Лекция 3
Действия
с комплексными
числами
17.09.09
32
Лекция 3
Где:
F  F e
j
 a  jb- комплексное
число
F - модуль
 - аргумент (фаза)
- aвещественная составляющ
-b мнимая составляющая
17.09.09
33
Лекция 3
1. Переход от алгебраической
формы записи
к показательной форме
17.09.09
34
Лекция 3
a  jb  Fe
2
F a b
j
2
b
  (180)  arctg
a
17.09.09
35
Лекция 3
При этом 180 градусов
учитывается при а<0
17.09.09
36
Лекция 3
2. Переход от показательной
формы записи
к алгебраической форме
17.09.09
37
Лекция 3
Fe
j
 a  jb
a  F cos
b  F sin 
17.09.09
38
Лекция 3
3. Сложение и вычитание
17.09.09
39
Лекция 3
F1e
j 1
 F2e
j 2

 (a1  jb 1 )  (a 2  jb 2 ) 
 (a1  a 2 )  j(b1  b 2 ) 
j
 a  jb  Fe .
17.09.09
40
Лекция 3
4. Умножение
17.09.09
41
Лекция 3
(a1  jb1 )(a 2  jb 2 ) 
 F1e
j 1
 F1F2e
j 2

j(  1   2 )

 F2e
j
 Fe .
17.09.09
42
Лекция 3
5. Деление
17.09.09
43
Лекция 3
j 1
a1  jb1 F1e


j 2
a 2  jb 2 F2e
F1 j(  1   2 )
 e

F2
j
 Fe .
17.09.09
44
Лекция 3
6. Возведение в степень
17.09.09
45
Лекция 3
m
(a1  jb1 ) 
 (F1e
j 1 m
) 
m jm 1
 F1 e

j
 Fe .
17.09.09
46
Лекция 3
7. Некоторые соотношения
17.09.09
47
Лекция 3
j 1
2
j  1
1  j
j
3
j  j
17.09.09
48
Лекция 3
je
j90
1e
17.09.09
j0
 je
 j90
1 e
j180
49
Лекция 3
Действия
с синусоидальными
величинами
17.09.09
50
Лекция 3
Рассмотрим действия
с синусоидальными
величинами, имеющими
одинаковую угловую
частоту 
17.09.09
51
Лекция 3
1. Сложение
17.09.09
52
Лекция 3
f (t )  2F sin( t   ) 
 f1 ( t )  f 2 ( t )
17.09.09
53
Лекция 3
f1 (t )  2F1 sin( t   1 ) 
 F1  F1e
j 1
f 2 (t )  2F2 sin( t   2 ) 
 F 2  F2e
17.09.09
j 2
54
Лекция 3
Для определения
F
и

используются:
17.09.09
55
Лекция 3
а) комплексные числа
F1е
j 1
 F2е
j 2
 определяются
17.09.09
 Fе
j
F и
56
Лекция 3
б) вектора на комплексной
плоскости
j
0
F1
1  0
2  0
F  Fe

j
+1
F2
17.09.09
57
Лекция 3
2. Вычитание
17.09.09
58
Лекция 3
f (t )  2F sin( t   ) 
 f1 ( t )  f 2 ( t )
17.09.09
59
Лекция 3
f1 ( t ) 
f 2 (t ) 
17.09.09
F1  F1e
j 1
F 2  F2e
j 2
60
Лекция 3
Для определения
F
и

используются:
17.09.09
61
Лекция 3
а) комплексные числа
F1е
j 1
 F2е
j 2
 определяются
17.09.09
 Fе
j
F и
62
Лекция 3
б) вектора на комплексной
плоскости
j
F1
1
0
2
F  Fe

j
+1
F2
17.09.09
63
Лекция 3
3. Дифференцирование
17.09.09
64
Лекция 3
f (t )  2F sin( t   ) 
 F  Fe
j
df (t )
 2F sin( t    90) 
dt
 Fe
17.09.09
j(   90 )
 jF
65
Лекция 3
В результате при
f (t )  F
имеем
df (t )
 jF
dt
17.09.09
66
Лекция 3
Таким образом
дифференцированию
синусоидальной функции
соответствует умножение
изображающего ее
комплекса
j
на
17.09.09
67
Лекция 3
4. Интегрирование
17.09.09
68
Лекция 3
f (t )  2F sin( t   ) 
 F  Fe

j
2F
f (t )dt 
sin( t    90) 

F j(  90 ) F
 e


j
17.09.09
69
Лекция 3
В результате при
f (t )  F
имеем

17.09.09
F
f (t )dt 
j
70
Лекция 3
Таким образом
интегрированию
синусоидальной функции
соответствует деление
j
изображающего
ее
комплекса
на
17.09.09
71
Лекция 3
ЗАКОН ОМА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
17.09.09
72
Лекция 3
Закон Ома в комплексной
форме
основан на символическом
методе
и справедлив для линейных
цепей
с гармоническими
напряжениями
и токами
Этот закон следует из
17.09.09
73
Лекция 3
I
Резистивный
элемент
Комплекс
напряжения
R
UR
UR  R  I
+j
Вектора
напряжения и
тока
17.09.09
I
UR
+1
74
Лекция 3
На комплексной плоскости
вектор напряжения
резистивного элемента
совпадает по направлению
с вектором своего тока
17.09.09
75
Лекция 3
Индуктивный
элемент
Комплекс
напряжения
I
jXL
UL
U L  jLI  jX L I
+j
Вектора
напряжения и
тока
UL
I
+1
17.09.09
76
Лекция 3
На комплексной плоскости
вектор напряжения
индуктивного элемента
опережает по направлению
вектор своего тока
на 90 градусов
17.09.09
77
Лекция 3
Емкостный
элемент
Комплекс
напряжения
I
 jXC
UC
j
UC  
I   jX C I
C
+j
Вектора
напряжения и
тока
17.09.09
I
UC
+1
78
Лекция 3
На комплексной плоскости
вектор напряжения
емкостного элемента
отстает по направлению
от вектора своего тока
на 90 градусов
17.09.09
79
Лекция 3
Где:
X L  L - индуктивное
сопротивление (Ом)
XC  1
17.09.09
- емкостное
C
сопротивление (Ом)
80
Лекция 3
Например, комплексная схема
замещения цепи:
jX L
E
R
 jX C
I
17.09.09
81
Лекция 3
R(  jX C )
Z  jX L 
R  jX C
E
I
Z
17.09.09
82
Лекция 3
Где:
j
Z  RЭ  jX Э  Z  e
– эквивалентное комплекс
сопротивление цепи (Ом)
2
2
Z  RЭ  X Э
- модуль сопротивления (Ом
XЭ
-аргумент (фаза)
  arctg
RЭ
сопротивления
17.09.09
(Град)
83
Лекция 3
ЗАКОНЫ КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
17.09.09
84
Лекция 3
Сложению и вычитанию
рмонических токов и напряжени
с одинаковой угловой частотой
в законах Кирхгофа
ответствует сложение и вычитан
их комплексных величин

17.09.09
85
Лекция 3
ПЕРВЫЙ
ЗАКОН КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
17.09.09
86
Лекция 3
я любого узла комплексной схем
замещения цепи алгебраическая
мма комплексных значений токо
равна нулю
17.09.09
87
Лекция 3

I

0
 k
17.09.09
88
Лекция 3
Например:
I2
I1
а
I3
узел а:
 I1  I2  I3  0
17.09.09
89
Лекция 3
ВТОРОЙ
ЗАКОН КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
17.09.09
90
Лекция 3
Для любого контура комплексной
cхемы замещения цепи алгебраическая
сумма комплексов напряжений
на пассивных элементах равна
алгебраической сумме комплексов
ЭДС и напряжений на
источниках тока
17.09.09
91
Лекция 3
  U n   E k    U Jq    U p
17.09.09
92
Лекция 3
Например:
+
E
R
UR
U
jX L
J
UJ
17.09.09
IR
+
 jX C
UC
+
IL
UL
+
IC
93
Лекция 3
UR  UL  UC  E  U J  U
или
RIR  jX L IL  ( jX C)I C  E  U J  U
17.09.09
94
Лекция 3
МЕТОД ЗАКОНОВ
КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
17.09.09
95
Лекция 3
Решая комплексные
алгебраические уравнения,
составленные по законам
Кирхгофа в комплексной форме,
можно определить комплексы
токов и напряжений в
комплексной
схеме замещения цепи
17.09.09
96
Лекция 3
Например:
jX L
R
E
1 к.
a
I2
J
2 к.
+
UJ
 jX C
I1
17.09.09
в
97
Лекция 3
ny  2
nв  3
n1  n y  1  1
n 2  n в  n1  2
17.09.09
98
Лекция 3
a:
1к :
 I1  I2  J  0
(R  jX L )  I1  ( jX C )  I2  E
2к :  ( jX C )  I2   U J
17.09.09
99
Лекция 3
1
1
(R  jX L ) ( jX C )
0
17.09.09
jX C
0
I1
J
0  I2  E
1
UJ
0
100
Лекция 3
МЕТОД
КОНТУРНЫХ
ТОКОВ
17.09.09
101
Лекция 3
Метод контурных токов
используется для расчета
резистивных линейных цепей
с постоянными токами и
для расчета комплексных схем
замещения линейных цепей
с гармоническими токами
17.09.09
102
Лекция 3
При этом в расчет вводятся
контурные токи – это фиктивные
токи, которые замыкаются
независимых замкнутых контура
отличающихся друг от друга
наличием хотя бы одной новой
ветви
17.09.09
103
Лекция 3
Например:
I1
a
Z1
I11
Z2
I 44
17.09.09
I 22
E2
I2
с
E1
в
I3
Z3
I 33
104
Лекция 3
I11, I22 , I33 , I 44 
контурные токи
I1  I11  I22
I2   I11  I 44 
I3  I33  I11
17.09.09
токи ветвей
контура
105
Лекция 3
По второму закону
Кирхгофа:
Z1 I1  Z 3 I3  Z 2 I2  E1  E 2
или
Z1 (I11  I22 )  Z 3 (I33  I11 ) 
 Z 2 (I11  I 44 )  E1  E 2
17.09.09
106
Лекция 3
Тогда
(Z1  Z 2  Z 3 )I11  Z1 I22 
 Z 3 I33  Z 2 I 44  E1  E 2
17.09.09
107
Лекция 3
Z кк I кк    Z кm I mm  E кк
17.09.09
108
Лекция 3
Z кк 
суммарное
сопротивление к-контура
I кк 
контурный
контура
17.09.09
ток
к-
109
Лекция 3
Z кm  общее
I mm 
сопротивление
между к-контуром и m контуром
соседний контурный ток
m-контура
E кк  суммарная
ЭДС
к-
контура
17.09.09
110
Лекция 3
Контурный ток рассматриваемог
контура умножается на сумму
сопротивлений своего контура,
ричем перед этим произведение
ставится знак “+”
17.09.09
111
Лекция 3
Соседний контурный ток
множается на общее сопротивлен
ежду соседним и рассматриваемы
контурными токами, причем
еред этим произведением ставит
знак “+” если направления
этих контурных токов в общем
сопротивлении совпадают между
собой и ставится знак “-”
сли направления их не совпадаю
17.09.09
112
Лекция 3
В правой части уравнения
записывается алгебраическая
сумма ЭДС рассматриваемого
контура, причем со знаком “+”
берутся те ЭДС, направления
оторых совпадают с направление
ассматриваемого контурного ток
17.09.09
113
Лекция 3
Для контура с источником тока
нтурное уравнение не составляет
к как контурный ток этого конту
известен и равен току источника
тока, причем через источник ток
должен проходить только
один контурный ток
17.09.09
114
Лекция 3
Например:
Z1
E1
I11
E2
I1
I2
Z5
I5
17.09.09
I 33
Z3
I3
U J I 22
+
J
Z4
I4
115
Лекция 3
ny  4
17.09.09
nв  6
ni  5
116
Лекция 3
n кт  n в  n y  1  3
n ку  n i  n у  1  2
17.09.09
117
Лекция 3
I33  J
(Z1  Z 3 )I11  Z 3 I22  0  I33  E1  E 2
 Z 3 I11  (Z 5  Z 3  Z 4 )I22  Z 5 I33  E 2
17.09.09
118
Лекция 3
(Z 1  Z 3 )
( Z 3 )

( Z 3 )
(Z 5  Z 3  Z 4 )
I11
I 22
E1  E 2

E2  Z5 J
матрица симметрична относительно
главной диагонали
17.09.09
119
Лекция 3
I1  I11
I2  I22  I33  I11
I3  I22  I11
17.09.09
120
Лекция 3
I 4   I 22
I 5  I 22  I 33
U J  Z 4 I 4  Z 3 I3
-
17.09.09
по 2 закону Кирхгофа
121
Лекция 3
Например:
R4
d
J1
a
R1
I11
I2 R 2
I 22
J2
b
I 44
E5
c
I 33
E1 J 3
17.09.09
E4
R3
122
Лекция 3
ny  5
17.09.09
nв  8
ni  5
123
Лекция 3
n кт  n в  n y  1  4
n ку  n i  n у  1  1
17.09.09
124
Лекция 3
I11  J1
I22  J2
I33  J3
(R1  R 2  R 3 )I 44  R 2I11  0  I22 
 R 3I33  E1  E 5
17.09.09
125
Лекция 3
I 44
E1  E 5  J1R 2  J3R 3

R1  R 2  R 3
I2  I 44  I11  I 44  J1
17.09.09
126
Лекция 3
Таким образом по методу
контурных токов необходимо
решить значительно меньше
уравнений по сравнению
с методом законов Кирхгофа
17.09.09
127
Лекция 3
17.09.09
128
Лекция 3
+
а
i(t)
u(
t)
в
u(t)  2U sin(t  ), (B)
i(t)  2I sin(t  ), (A)
17.09.09
129
Лекция 3
P(t )  u (t )  i(t ) 
 P  S cos(2t    ), (Вт)
17.09.09
130
Лекция 3
P  UI cos , (Вт)
- средняя или активная
мощность
S  UI, (ВA)
-амплитуда гармонической
составляющей мощности
или полная мощность
17.09.09
131
Лекция 3
    , (град )
- угол сдвига фаз между
напряжением и током
P
соs   1, т.е. S  P
S
- коэффициент мощности
17.09.09
132
Лекция 3
Вт
P(t)
S+P
S
P
S-P
17.09.09
S
t
133
Лекция 3
Когда
P (t)  0
- энергия поступает в двухполюсник
P (t)  0
- энергия поступает из
двухполюсника во внешнюю цепь
17.09.09
134
Лекция 3
Пусть задано:
+
а
U
Z
в
Z  Ze
17.09.09
j
U  Ue , (В)
I
j
j
I  Ie , (A)
 R  jX, (Ом)
135
Лекция 3
При
I  Ie  j
находим

S  UI  P  jQ, (ВА)
- комплекс полной мощности
где
I  Ie  j
17.09.09
-сопряженное
значение тока
136
Лекция 3
Q  UI sin , (ВАр)
- реактивная мощность
17.09.09
137
Лекция 3
Т.к.
U  ZI
, то
S  UI  (Z I)I 
2
2
2
 ZI  I R  jI X, (ВА)
17.09.09
138
Лекция 3
Таким образом
активная мощность:
2
P  UI cos   I R, (Вт)
- это мощность тепловой
энергии
17.09.09
139
Лекция 3
Реактивная мощность:
2
Q  UI sin   I X, (ВАр)
- пропорциональна максимальной
энергии, запасаемой в
электромагнитном поле
17.09.09
140
Полная мощность:
Лекция 3
P
S  UI 
, (ВА )
cos 
-это максимально возможная
активная мощность
при
17.09.09
cos   1
141
Лекция 3
Можно изобразить:
а) треугольник сопротивлений
2
Z

R
17.09.09
Z R X
Х
2
R
cos  
Z
142
Лекция 3
б) треугольник напряжений
U
U
UХ
2
UR

2
Ux
UR
UR
cos  
U
UR  IR;
U X  IX

17.09.09
143
Лекция 3
в) треугольник мощностей
2
S

P
17.09.09
S P Q
Q
2
P
cos  
S
144
Лекция 3
17.09.09
145
Лекция 3
Топографические и лучевые
векторные диаграммы
используются при анализе
и расчете цепей с синусоидальными напряжениями и токами
Эти диаграммы строятся
совмещенными на комплексной
плоскости в масштабах
напряжения и тока
17.09.09
146
Лекция 3
Лучевые векторные диаграммы
строятся
для комплексов действующих
значений токов, когда их
вектора выходят из начала
координат каждый под своим
углом
Эти диаграммы используются
для графической проверки
первого закона Кирхгофа
17.09.09
147
Лекция 3
Топографические векторные
диаграммы строятся для
комплексов действующих
значений напряжений, когда
их вектора подстраиваются
один к другому, образуя
замкнутые контуры
Эти диаграммы используются
для графической проверки
второго закона Кирхгофа
17.09.09
148
Лекция 3
Пример 1
I
IС
d
IL
R
U
E
IR
jX L
 jX C
с
17.09.09
149
Лекция 3
m U  ... В
мм
mI  ... A
мм
+j
IL
IR
IС
IR
с
17.09.09
U
I
IL
d
E
+1
150
Лекция 3
Пример 2
R
d
UR
E
а
17.09.09
с
jX L
UL
b
 jX C
UС
I
151
Лекция 3
+j
d
UR
m U  ... В
мм
mI  ... A
мм
с
E
UL
а
I
+1
UC
17.09.09
b
152
Лекция 3
Пример 3
I
IRL
jX L
UL
b
E
UR
17.09.09
IС
с
UС
 jX C
R
а
153
Лекция 3
m U  ... В
мм
mI  ... A
мм
c
+j
UС
IС
I
a
17.09.09
E
UL
45°
IRL
+1
UR
b
154
Лекция 3
17.09.09
155
Лекция 3
Теорема об эквивалентном
генераторе применяется для
расчета и анализа линейных
цепей с постоянными или
гармоническими токами
и напряжениями
Эта теорема доказывается
при помощи теоремы
компенсации и принципа
наложения
17.09.09
156
Лекция 3
Любой активный двухполюсник,
рассматриваемый относительно
двух зажимов (выводов), можно
представить в виде
эквивалентного источника ЭДС
или тока, с ЭДС и током равными
соответственно напряжению
холостого хода или току
короткого замыкания
относительно этих зажимов
17.09.09
157
Лекция 3
При этом внутреннее
сопротивление этих источников
равно эквивалентному
сопротивлению активного
двухполюсника
относительно рассматриваемых
зажимов
17.09.09
158
Лекция 3
а
Iк
ZГ
Zк
Zк
EГ
а Iк
А
+
b
+
Uк
JГ
а
Iк
b
+
ZГ
17.09.09
Uк
Zк
b
Uк
159
Лекция 3
где
когда
17.09.09
EГ 
Iк  0
( хх)
Uк
при
Zк  
160
Лекция 3
где
JГ
когда
17.09.09
EГ
(кз )

 Iк
ZГ
U к  0 при
Zк  0
161
Лекция 3
Z Г  Z ab
17.09.09
162
Лекция 3
Эта теорема используется
как метод эквивалентного
генератора для расчета
некоторого тока,
протекающего в к-ветви
17.09.09
163
Лекция 3
Iк
Eг


Zг  Zк
Jг Z г
Jг


Z
Zг  Zк
к
1
17.09.09
Zг
164
Лекция 3
Пример
Дано:
j
E  Ее , (B)
j
J  Jе , (A)
Z1  Z1е
j1
Z 2  Z 2е
, (Ом)
j2
, (Ом)
I2
Определить:
17.09.09
165
Лекция 3
Схема к примеру
I2
а
Z1
+
Z2
E
А
17.09.09
U2
J
b
166
Лекция 3
17.09.09
167
Лекция 3
Теорема об эквивалентном
генераторе применяется для
расчета и анализа линейных
цепей с постоянными или
гармоническими токами
и напряжениями
Эта теорема доказывается
при помощи теоремы
компенсации и принципа
наложения
17.09.09
168
Лекция 3
Любой активный двухполюсник,
рассматриваемый относительно
двух зажимов (выводов), можно
представить в виде
эквивалентного источника ЭДС
или тока, с ЭДС и током равными
соответственно напряжению
холостого хода или току
короткого замыкания
относительно этих зажимов
17.09.09
169
Лекция 3
При этом внутреннее
сопротивление этих источников
равно эквивалентному
сопротивлению активного
двухполюсника
относительно рассматриваемых
зажимов
17.09.09
170
Лекция 3
а
Iк
ZГ
Zк
Zк
EГ
а Iк
А
+
b
+
Uк
JГ
а
Iк
b
+
ZГ
17.09.09
Uк
Zк
b
Uк
171
Лекция 3
где
когда
17.09.09
EГ 
Iк  0
( хх)
Uк
при
Zк  
172
Лекция 3
где
JГ
когда
17.09.09
EГ
(кз )

 Iк
ZГ
U к  0 при
Zк  0
173
Лекция 3
Z Г  Z ab
17.09.09
174
Лекция 3
Эта теорема используется
как метод эквивалентного
генератора для расчета
некоторого тока,
протекающего в к-ветви
17.09.09
175
Лекция 3
Iк
Eг


Zг  Zк
Jг Z г
Jг


Z
Zг  Zк
к
1
17.09.09
Zг
176
Лекция 3
Пример
Дано:
j
E  Ее , (B)
j
J  Jе , (A)
Z1  Z1е
j1
Z 2  Z 2е
, (Ом)
j2
, (Ом)
I2
Определить:
17.09.09
177
Лекция 3
Схема к примеру
I2
а
Z1
+
Z2
E
А
17.09.09
U2
J
b
178
Лекция 3
а) напряжение холостого хода
Z1
( хх)
: U2
а
+
( хх)
U2
E
J
ЕГ 
( хх)
U2
17.09.09
J
b
 Е  Z1 J  E Г е
j Г
, (B)
179
Лекция 3
б) эквивалентное сопротивление
а
:
Z аb
Z1
Z Г  Zаb  Z1  Z Ге
Тогда JГ 
17.09.09
(кз)
I2
b
jГ
, (Ом)
EГ

, (А)
ZГ
180
Лекция 3
в) окончательный результат
EГ
JГ
j 2
I2 

 I2 e , ( А )
ZГ  Z2 1  Z2
ZГ
17.09.09
181
Лекция 3
Правила преобразований
резистивных и
комплексных схем
замещения
линейных цепей
17.09.09
182
Лекция 3
Преобразования
езистивных и комплексных схем
используются для их упрощения
и могут быть доказаны
при помощи законов
Ома и Кирхгофа
риведем правила преобразований
без доказательства на примере
комплексных схем
17.09.09
183
Лекция 3
1. Правило разброса
I1
Z1
I
Z2
I2
17.09.09
Z2
I1  I
Z1  Z 2
Z1
I2  I
Z1  Z 2
184
Лекция 3
2. Обобщенный закон Ома
а
I
Z
Е
в
Z
J
UJ
в
а
17.09.09
I
а  в  E
Z
U J  в  a  Z J
185
Лекция 3
3. Последовательное
соединение ЭДС и
сопротивлений
Z3
Е2
а
+
Е3
U
Z2 Е
1
I
I
а
+
ЕЭ
U
в
Z1
17.09.09
ZЭ
в
186
Лекция 3
E Э  Е1  Е 2  Е 3
Z Э  Z1  Z 2  Z 3
17.09.09
187
Лекция 3
4. Параллельное
соединение источников
тока
I
J1
J2
J3
I
а
+
+
U
в
а
U
JЭ
в
J Э  J1  J2  J3
17.09.09
188
Лекция 3
5. Параллельное
соединение ЭДС и
сопротивлений
I
+
Z1
Z2
Е2
Е1
17.09.09
Z3
а
I
+
ZЭ
U
а
U
ЕЭ
в
в
189
Лекция 3
ZЭ
1

1 1
1
Z3
Z2
Z1
EЭ
17.09.09
 Е1 Е 2 


  ZЭ
 Z1 Z 2 
190
Лекция 3
6. Замена источника тока
на источник ЭДС и
наоборот
I
J
Z1
а
+
U
I
Z2
Е
в
Z1  Z 2
17.09.09
+
а
U
в
E  JZ1
191
Лекция 3
7. Преобразование треугольника
в звезду и наоборот
а
Z ab
Z сa
с
b
Z bc
17.09.09
192
Лекция 3
Zа 
Zb 
Zс 
17.09.09
Z аb
Z аb Z cа
 Z bc  Z cа
Z аb
Z аb Z bc
 Z bc  Z cа
Z аb
Z са Z bc
 Z bc  Z cа
193
Лекция 3
Z аb
Zа Z b
 Zа  Z b 
Zc
Z bс
Z b Zc
 Z b  Zc 
Za
Z са
Zс Zа
 Zс  Zа 
Zb
17.09.09
194
Лекция 3
8. Перенос источников ЭДС
Е
Е
а
Е
в
а
в
Е
Е
Е
а,в
17.09.09
Е
195
Лекция 3
9. Перенос источников тока
а
а
J
Z1
Z1
в
в
Z2
J
с
17.09.09
Z2
J
с
196
Лекция 3
а
а
J
Z1
Z1
в
Z2
J
в
Е1
Z2
Е2
с
с
E1  Z1 J
17.09.09
E2  Z2 J
197
Лекция 3
На основе приведенных правил
можно реализовать метод
преобразований для расчета тока
или напряжения в к-ветви схемы
Для этого схема преобразуется
до одного контура с искомым
током или напряжением, где
ти величины легко определяются
17.09.09
198
Лекция 3
Пример
Z1
I1
в
Z2
Е1
а
Z4
Е2
с
Z3
Определить
d
Z5
J
I1
методом
преобразования
17.09.09
199
Лекция 3
а)
перенос
источников
тока
Z
1
Е1
I1
Z2
Z4
E4  Z4 J
17.09.09
Z3
Е2
а
Е4
в
с
d
Е5
Z5
E5  Z5 J
200
Лекция 3
б)преобразования
соединений сопротивлений
и ЭДС
Z1,4 I
1
в
Z 2,3,5
Е1,4
а
17.09.09
Е 2,5
с
201
Лекция 3
E1,4  Е1  Е 4
Z1,4  Z1  Z 4
Z 2,3,5
E 2,5
17.09.09
Z 2 (Z 3  Z 5 )

Z2  Z3  Z5
Е5 
 Е2


  Z 2,3,5
 Z2 Z3  Z5 
202
Лекция 3
ЕЭ
ZЭ
I1
E Э  Е1,4  Е 2,5
Z Э  Z1,4  Z 2,3,5
E
I1  Э
17.09.09
ZЭ
203
Лекция 3
Метод
наложения
17.09.09
204
Лекция 3
Метод наложения справедлив
для линейных цепей и
основывается на принципе
наложения, когда любой
ток (напряжение) равен
алгебраической сумме
составляющих от действия
аждого источника в отдельности
17.09.09
205
Лекция 3
17.09.09
Iк 
(n )
  Iк
Uк 
(n )
  Uк
206
Лекция 3
При этом для расчета
ставляющих токов и напряжений
исходная схема
збивается на подсхемы, в каждо
которых действует один источни
ЭДС или тока, причем остальные
источники ЭДС закорочены, а
етви с остальными источниками
тока разорваны
17.09.09
207
Лекция 3
Пример
Z3
с
Z4
Z2
а
J
I4
Е2
Z1
в
Определить
I4  ?
Е1
d
17.09.09
208
Лекция 3
а) подсхема с
:
с
Е1
Z3
Z4
Z2
а
(1)
I4
в
Z1
Е1 I(1)
1
d
17.09.09
209
Лекция 3
(1)
I1

Z2 Z4
(Z1  Z 3 ) 
Z2  Z4
(1)
I4
17.09.09
E1

(1)
I1
Z2
Z2  Z4
210
Лекция 3
б) подсхема с
:
с
Е2
Z3
Z4
Z2
а
(2 )
I4
в
Е2
Z1
d
17.09.09
211
Лекция 3
( 2)
I4
17.09.09
E2

Z 2 (Z1  Z 3 )
Z4 
Z 2  (Z1  Z 3 )
212
Лекция 3
в) подсхема с J :
Z3
с
Z4
Z2
а
(3 )
I4
J
(3 )
I3
в
Z1
d
17.09.09
213
Лекция 3
(3 )
I3
J
Z2 Z4
Z1  (Z 3 
)
Z2  Z4
(3 )
I4
17.09.09
Z1

(3 )
I3
Z2
Z2  Z4
214
г) окончательный
результат
I4 
17.09.09
(n )
  I4

(1)
I4

Лекция 3
(2)
I4

(3)
I4
215
Лекция 3
Метод
узловых
потенциалов
17.09.09
216
Лекция 3
Метод узловых потенциалов
спользуется для расчета сложных
линейных схем замещения
постоянными или гармоническим
напряжениями и токами
счетные уравнения данного мето
могут быть доказаны при помощи
законов Кирхгофа и обобщенного
закона Ома
17.09.09
217
Лекция 3
Получим расчетное уравнение
метода узловых потенциалов
для узла “а” некоторой схемы
17.09.09
218
Лекция 3
в
Е1
с
17.09.09
Z2
Z1
I1
а
I2
J
d
219
Лекция 3
По обобщенному закону Ома
I1  (с  а  Е1)  Y1
I2  (а  в )  Y2
где
Y1  1
Z1
Y2  1
Z2
- проводимости ветвей
17.09.09
220
Лекция 3
По 1 закону Кирхгофа для
узла а:
 I1  I2  J  0
или
 (с  а  Е1)  Y1  (а  в )  Y2  J
17.09.09
221
Лекция 3
Тогда
(Y1  Y2 )  a  Y2 в  Y1 с  Е1 Y1  J
Т.е. в общем виде для узла к- узла:
Y кк  к   Y mк  m 
17.09.09
( у)
Iк
222
Лекция 3
Y кк  узловая проводимость к узла;
к  потенциал к - узла
17.09.09
223
Лекция 3
Y mк  проводимость ветви,
соединяющей к и m узлы
(у)
Iк
   Е q Y q    Jq
- узловой ток к узла
17.09.09
224
Лекция 3
K
Таким образом потенциал
ссматриваемого к-узла умножает
на сумму проводимостей ветвей
подходящих к этому узлу, причем
перед этим произведением всегд
ставится знак “+” и проводимость
ветви с источником тока
равна нулю
17.09.09
225
Лекция 3
m соседнего
Потенциал
-узла умножается на проводимос
ветви, соединяющей
ассматриваемый к-узел с m-узлом
ричем перед этим произведением
всегда ставится знак “-”
17.09.09
226
Лекция 3
В правой части уравнения
записывается узловой ток
рассматриваемого к-узла, равный
алгебраической сумме
подходящих к этому узлу токов
источников тока и произведений
подходящих к этому узлу
ЭДС на проводимости своих
ветвей
17.09.09
227
Лекция 3
В узловом токе со знаком “+”
берутся те слагаемые, у которых
источники тока и ЭДС
направлены в рассматриваемый
к-узел
17.09.09
228
Лекция 3
Потенциал одного из узлов
принимается равным нулю,
причем за такой узел принимаетс
узел, соединенный с корпусом
или “землей”, или один из узлов,
к которому подходит ветвь с
нулевым сопротивлением и ЭДС
17.09.09
229
Лекция 3
Таким образом для схемы с
nУ узлами по методу
зловых потенциалов составляетс
система, содержащая
не более n1 = nУ – 1 уравнений,
з решения которых определяютс
потенциалы узлов, а затем
по обобщенному закону Ома
ассчитываются токи и напряжени
в ветвях схемы
17.09.09
230
Лекция 3
Пример
Z1
Е1
а I2
I1 d
+
UJ
J
Е3
Z2
I3
в
Е5
Z4 I
4
с
I5
Z5
17.09.09
231
Лекция 3


в



(Y  Y  Y ) 
2
5
 1


  Y 5 a  ( Y 4 

 0
17.09.09
d  E 3
a  Y1 d  Y5 с  Е1 Y1  Е 5 Y5
Y5 )  с  Е 5 Y5  J
232
Лекция 3




(Y1  Y 2  Y 5 ) ( Y 5 )  





( Y 5 )
(Y 4  Y 5 ) 








 Е1 Y1  Е 5 Y 5  Е 3 Y1



 Е 5 Y5  J





а



с












=
17.09.09

=
233
Лекция 3
I1  (a  d  Е1)  Y1
I4  (в  с )  Y 4
I3  I1  J
I2  (a  в )  Y2
I5  (с  а  Е 5 )  Y5
U J  d   c
17.09.09
234