15. Основные понятия рассеяния в неупорядоченных системах.

15. Основные понятия рассеяния в неупорядоченных системах.
Какую информацию о системе можно получить, анализируя
такие спектры рассеяния в неупорядоченных средах. Функция
вероятности распределения межатомных расстояний.
РАССЕЯНИЕ НА СЛУЧАЙНОМ СКОПЛЕНИИ
РАССЕИВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ
Мгновенные значения
координат частиц
r1 , r2 , ...rj , ...rN
r j  ma  nb  pc
Пусть в этой системе имеется N атомов с
атомными факторами рассеяния
s0 , s
,.
k s  s
0
K-K
1
0
S
E
M
j
N
E0 N
ik  s-s0 ,rj 

  fi  e
R j 1
S - вектор в обратном пространстве, но
это не вектор обратной решетки H !!!
Решетки теперь нет.
N
Тогда мгновенное значение рассеянной
амплитуды можно записать в виде
2
единичные векторы определяющие направления
падающего и отраженного лучей
Тогда суммарная мгновенная
амплитуда волны в точке М
будет определяться формулой
Введем обозначение
f , f , ... f , ... f
E  E0   f j  e
M
j 1
i ( S ,r j )
I S  E  E
*
Мгновенное значение
рассеянной интенсивности
в точке M
E02 N N
i  S,rj 
 i  S,rj' 
I S  
  f j f j '  e
e

R j j'
E02 N N
i  S,rj -rj' 

  f j f j '  e

R j j'
E02 N N
i  S,rjj' 

  f j f j '  e
R j j'
Здесь rjj’
r jj  r j  r j
Так как в общем случае мы не можем знать мгновенные значения
координат всех рассеивающих центров, эта величина не имеет особого
смысла. Реально можно определить лишь среднее значение рассеянной
интенсивности.
Выделим из полученной суммы члены описывающие рассеяние на частицах с
одинаковыми индексами; тогда выражение для интенсивности может быть записано в
виде
E0 2 
i  S,r jj '  
2
I S 
   f j   f j f j '  e

R  j j '
j
j'

Определим среднее значение рассеянной интенсивности
2
E0
I S 
R

i S,r jj '
e


i  S,r jj '  
2
   f j   f j f j '  e

j
j'
 j j '

1 iS,r jj ' 
 e
W  r jj '  dr jj '
VV
W (r jj )
-среднее значение
фазового множителя
- вероятность распределения значений вектора
т.е. функция распределения вероятности
межатомных расстояний
r jj
РАДИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
МЕЖАТОМНЫХ РАССТОЯНИЙ
Допустим, что в объеме V имеется N частиц j1, j2,.. jN
Эти частицы могут перемещаться по этому пространству.
Рассмотрим два элемента объема dVj и dVj’. Если частицы
независимы и не взаимодействуют, вероятность того,
что в какой-то момент времени частица с индексом j попадает
в элемент объема dVj , а частица с индексом j’ попадает в
элемент объема dVj’ можно записать в виде
dV j dV j '
dP r j ,r j '  

V
V
В случае если частицы взаимодействуют друг с другом,
картина усложняется и величина вероятности примет
вид

dP r j ,r j '



dV j dV j '
 W r j ,r j ' 

V
V
Эта функция функции получила название распределения вероятности межатомных расстояний
Введем обозначение
rj , r j '   r jj '   r j - r j '   r 
тогда функцию W можно
переписать в виде
W  r j , r j'   W  r jj '   W  r j - r j '   W  r 
Выражение для вероятности dP(rjj’) можно представить в другом виде
Один из элементов объема, например, dVj можно
поместить в начало системы координат. Тогда вероятность
обнаружить частицу в сферическом слое r, r+dr , будет
иметь вид
r+dr
r
4 r 2 dr
dP  r   W  r  
V
Написанное выше
выражение удовлетворяет
условию нормировки


1
2
dP
r


W
r

4

r
dr  1




0
V 0
В самом деле - вероятность нахождения данной частицы на всех возможных
расстояниях от фиксированной в начале координат частицы должна быть равна 1
Если в этом сферическом слое находится dN частиц, тогда плотность их будет
определяться формулой , причем плотность частиц в слое будет зависеть от радиуса
слоя и является средним значением за время наблюдения.
dN
 r 
4 r 2dr
Следовательно число частиц в сферическом слое r+dr будет равно
dN    r   4 r dr
2
Вспоминая, что полное число частиц в объеме V равно N-1, т.к. одна
частица находится в начале координат, можно записать условие
нормировки

   r   4 r dr  N  1  N
2
0
Сравнивая это выражение с условием нормировки для вероятности
dP(r) получим
V
W r    r
N
a
б
2r
в
г
д
Схематический вид радиальной функции
распределения межатомных расстояний
W(r) для простейших случаев разреженных
газов, жидкостей, кристаллов:
а) - невзаимодействующие частици,
имеющие нулевой объем;
б) - несжимаемые частицы с радиусом r,
причем взаимодействие между ними
отсутствует, частицы не могут приблизиться
к началу координат ближе, чем на
расстояние 2r;
в) - сжимаемые частицы, граница в области
2r размывается
г) - для жидкостей;
д) - кристаллы
РАССЕЯНИЕ НА МОЛЕКУЛАХ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА.
УРАВНЕНИЕ ДЕБАЯ
nj
rjj’
nj’
Рассмотрим газ, содержащий N одинаковых молекул, каждая из которых
состоит из n атомов различного сорта. Рассуждения останутся справедливы и
для большого количества маленьких кристаллов случайным образом
ориентированных в пространстве (идеальный порошок). Если давление газа
мало, и взаимодействием между молекулами можно пренебречь, то за
конечный промежуток времени все ориентации молекул будут встречаться
одинаково часто. Такие системы получили название идеально
неупорядоченных. Поэтому, чтобы получить полную интенсивность рассеяния
в таком газе, необходимо определить среднее значение интенсивности
рассеянное одной молекулой и затем умножить его на число молекул N в
объеме.
nj
rjj’
nj’
n
n
j
j'
n
n
I  S    f j f j '  e
I  S    f j f j '  e
j
j'




i S ,r jj '
i S,r jj '
мгновенное значение
интенсивности рассеянное
одной молекулой
среднее значение интенсивности
рассеянное одной молекулой
Для вычисления среднего значения I(S) по
всем возможным ориентациям этой
молекулы рассмотрим два ее атома с
индексами j и j'. Введем полярные
пространственные координаты r, , , как
показано на рис, причем пусть частица nj
располагается в начале координат. Тогда
вероятность того, что частица с nj', или, что
тоже самое, конец вектора rjj’ попадет на
элемент поверхности ds, будет
rjj’
nj
W  r jj '  
rjj’
nj’
ds
s

rjj ' sin   d  rjj 'd
n
n
2 
j
j'
0 0
I  S    f j f j '    e
n
n
j
j'
I  S   N   f j f j ' 
sin  S,r jj ' 
S,r 
jj '
4 rjj ' 2

i S,r jj '
 sin   d  d

4
Это соотношение получило
название уравнения Дебая

Интегралы типа eia cos x  sin x  dx часто встречается в теории дифракции. Поэтому
мы проведем его подробное вычисление
2

1
i  S,r jj '  sin   d
0 d  0 e  4  4
iSr jj ' cos 
1
1
 2 

e
4 iSrjj '
2
0
 d  e
iSr jj ' cos 
d  cos   
0
0



1
iSr
 iSr

 e jj '  e jj ' 
2iSrjj '
1

 cos  iSrjj '   i sin  iSrjj '   cos  iSrjj '   i sin  iSrjj '   
2iSrjj '
sin  Srjj ' 
1

 2i sin  Srjj '  
2iSrjj '
Srjj '
e
 ix
 cos x  i sin x
N
N
j
j'
I  S   N   f j f j ' 
sin  S,r jj ' 
S,r 
jj '
Это выражение получило название уравнение Дебая по имени
автора. Оно описывает распределение интенсивности,
рассеянное не взаимодействующими молекулами газа.
Полученное уравнение было применено Дебаем для
мелкокристаллических порошков (поликристаллов), где каждая
частичка является маленьким кристаллом и все их ориентации в
пространстве равновероятны. Ясно, что проведенные выше
рассуждения в этом случае так же останутся в силе. Можно
показать, что уравнение Дебая после несложных
преобразований переходит в обычную функцию Лауэ.