Лекция №1. Геометрическая оптика.

Лекция № 1
Геометрическая оптика
Алексей Викторович
Гуденко

08/02/2013
План лекции
1.
2.
3.
4.
Формулы Френеля.
Принцип Ферма. Законы отражения и
преломления.
Полное внутреннее отражение. Мираж.
Зеркало (лево-право), уголковый отражатель,
призм, параболическое зеркало.
Линза. Формула линзы. Увеличение линзы.
Близорукость, дальнозоркость.
Зрительная труба. Труба Галилея, труба
Кеплера. Яркость изображения. Нормальное
увеличение.
демонстрации

Аквариум с водой:
1.
преломление, полное внутреннее отражение
искривление луча из-за градиента плотности
2.



Уголковый отражатель
Линза в проекционном фонаре: проекция на
экран спирали лампы накаливания и газового
разряда в киловаттной ксеноновой лампе
высокого давления
Призма: минимальное отклонение и
определение показателя преломления.
Предмет оптики


Оптика – раздел физики, изучающий свойства и
физическую природу света, а также взаимодействие
излучения с веществом.
Свет – электромагнитная волна
Спектр электромагнитных волн
λ
ν (Гц)
ε = hν
радиоволны
оптика
рентген
гамма
Км - мм
2 мм – 10 нм
10 -10-2 нм
< 0.01 нм
< 1011
1,5 1011 – 3
1016
3 1016 – 3 1019
> 3 1019
10-3 – 100 эВ
20 эВ – 0,1
Мэв
> 0,1 MэВ
Оптический диапазон: 2 мм – 10 нм
(~ 17 октав)





Инфракрасное излучение: 2 мм – 760 нм
Видимый свет: 400 – 760 нм
Ультрафиолет: 400 – 10 нм
Энергия кванта видимого света ε = hc/λ
ε(эВ) = 1.23/λ(мкм) = 1.6 – 3 эВ
Почему мы видим свет с λ ~ 0,5 мкм?
Электромагнитные волны



Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2
Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2
Из уравнений Максвелла:
E
 H
E = Ex(z); H = Hy(z)


z
c t
H
 E

z
c t
Волновое уравнение

Волновое уравнение:

Решение волнового
уравнения:
 2 E   2 E
 2
2
z
c t 2
 2 H   2 H
 2
2
z
c t 2
v  c / 
E  E 0 cos(t  kz)
H  H 0 cos(t  kz)
Волновое уравнение
 E   E
 2
2
z
c t 2

Волновое уравнение:

Скорость распространения волны
в среде:
2
2
v  c /   c / n



Показатель преломления среды: n  
Решение волнового уравнения: E  E0 cos(t  kz)
Скорость v = ω/k = λ/T
Формулы Френеля (нормальное
падение)



Е0 – падающая волна
Er – отражённая
Ed – прошедшая
Граничные условия: Et1 = Et2
Ht1 = Ht2
Er + Ed = E0
Hd – Hr = H0 ,
εE2 = μH2 или (при μ = 1) nE = H
Ed + Er = E0
nEd - Er = E0
Формулы Френеля (нормальное
падение)






Er = (n – 1)/(n + 1) E0
Ed = 2E0/(n + 1)
Коэффициент отражения:
R = Ir/I0 = Er2/E02 = (n – 1)2/(n + 1)2
Коэффициент прохождения:
T = Id/I0 = nEd2/E02 = 4n/(n + 1)2
R+T=1
От воды отражается R = (n – 1)2/(n + 1)2 = 2%
От поверхности стекла: R = (n – 1)2/(n + 1)2 = 4%
Всё что греет, то и светит
Закон смещения
Вина



Формула Планка –мощность излучения с ед.поверхности
в ед. интервале длин волн:
u(λ,T) = 2πhc2/λ5 (1/(exp ε/kT – 1)
λmax(мм) = 2,9/T(К)
T(К) = 2.9/0.5 мкм ~ 6000 К – температура Солнца!
Геометрическая оптика
1.
2.
3.
4.
Закон прямолинейного распространения света
Закон независимости световых пучков
Закон отражения
Закон преломления
Закон прямолинейного
распространения света

В прозрачной однородной среде свет
распространяется по прямым линиям.
Закон независимости световых
пучков


Распространение всякого светового пучка в
среде совершенно не зависит от того, есть в
ней другие пучки света или нет:
изображение на сетчатке не меняется, если
свет, образующий это изображение будет
проходить поперёк пучков света, не
попадающих в глаз.
Напряжённость поля в солнечного излучения:
I = cE2/4π ~ 1,5 кВт/м2 = 1,5 эрг/см2с → E ~
(4πI/c)1/2 ≈ 7,5 В/см
Законы отражения и преломления


При падения границу двух сред свет частично
отражается, а частично проникает во вторую среду
(преломляется)
Падающий и отражённый лучи лежат в одной плоскости
с нормалью к границе раздела в точке падения (эта
плоскость называется плоскостью падения), и угол
падения равен углу отражения.
Принцип Ферма – принцип
наименьшего времени


Свет при распространении из одной точки
в другую выбирает путь, которому
соответствует наименьшее время
распространения.
Свет выбирает самый короткий
оптический путь s = ∫ndℓ
Принцип Ферма и закон зеркального
B
отражения.


При зеркальном
отражении путь ACB кратчайший

A

C
Закон Снеллиуса





Преломлённый луч лежит в плоскости падения,
причём синус угла падения к синусу угла преломления
не зависит от угла падения, т.е.
sinα/sinβ = n21
n21 – относительный показатель преломления второй
среды относительно первой.
Показатель преломления относительно вакуума
называется абсолютным показателем преломления n.
Относительный показатель преломления выражается
через абсолютные по формуле n21 = n2/n1
Закон Снеллиуса в симметричном виде:
n1sinα1 = n2sin α2
Принцип Ферма и закон
преломления




Δt = +Δt1 - Δt2 = 0
Δt1 = Δx sinα/c
Δt2 = Δx sinβ/v = Δx n sinβ/c
Δt1 = Δt2 → sinα = nsinβ - Снеллиус
Принцип Ферма и формула линзы







S1 = a + Δ1 + Δ2 + b
S0 = (a – Δ) + nΔ + b
Δ1 = h2/2a; Δ = h2/2R; Δ2 = h2/2b
S1 = S0
1/a + 1/b = (n – 1)/R = 1/F = D – оптическая сила
линзы
D = 1/F = (n – 1)(1/R1 + 1/R2) – оптическая сила
двояковыпуклая линза
1/a + 1/b = 1/F – формула линзы
Принцип Ферма и мираж

Демонстрация по отклонению луча в
аквариуме
Полное внутреннее отражение


Если n21 < 1 (луч переходит в оптически менее плотную
среду, т.е. с меньшим показателем преломления), то
при α > αкр: sin αкр = n21 преломлённый луч не возникает.
αкр – предельный угол полного внутреннего отражения
Показатель преломления n
вещество
NaCl (кристалл)
Оптические
стёкла
n
1,544
1,4 – 2,1
Алмаз
2,42
Сапфир
1,77
вода
1,33
Призма

Показатель преломления:
n = sin ½(φ + γ)/sin½γ

Отклонение луча: φ = (α1 – β1) + (α2 – β2) = (α1 +
α2 ) - (β1 + β2) = (α1 + α2 ) - γ
Симметричный ход лучей α1 = α2 = α –
минимальное отклонение луча
φ = 2(α – β) = 2α – γ → α = ½(φ + γ)
β = ½γ



Призма

малый преломляющий угол + малые углы падения:
Угол отклонения не зависит от угла
падения: φ = (n – 1)γ

φ = (α1 – β1) + (α2 – β2) = (α1 + α2 ) - (β1 + β2) =
n(β1 + β2) + (β1 + β2) = (β1 + β2)(n – 1) = (n – 1) γ
Измерение показателя преломления
плоской пластинок и жидкостей




В микроскоп рассматривают верхнюю и
нижнюю поверхность пластины (слоя
жидкости).
толщина пластины h0 = 3 мм
смещение тубуса h = 2 мм (видимая
толщина пластины)
Показатель преломления:
n = h0/h = 1,5
Уголковый отражатель.
Зеркало, не меняющее лево на право.
уголковый отражатель
Кошачий глаз
(кОтОфот)
Вот так
выглядит кот в
свете фото
вспышки или в
свете
автомобильных
фар
Линза как увеличительное стекло.
Яркость изображения

Увеличение линзы Г = θ/θ0 = d0/F
d0 = 25 см расстояние наилучшего зрения
F – фокусное расстояние линзы




θ0 = ℓ0/d0 – угловой размер предмета с расстояния
наилучшего зрения d0 = 25 см.
θ0 = ℓ0/F – угловой размер предмета, рассматриваемого
в лупу.
Угловое увеличение Г = θ/θ0 = d0/F
Пятикратная линза: F = 5 см.
Зрительная труба Кеплера и Галилея
Яркость изображения протяжённых
предметов не зависит от расстояния!






E0 ~ Wd02/r2s ~ Wd02/r2ℓ2 ~ Wd02/r2θ2b02 =
Wd02/r2θ2b02 = Wd02/ℓ02b02 = const
d0 ~ 3-5 мм диаметр зрачка
b0 ~ 2 см – расстояние от хрусталика до
сетчатки
ℓ - размер изображения на сетчатке
ℓ0 – размер предмета
θ = ℓ0/r – угловой размер предмета
Линза: яркость изображения






Поток, формирующий изображение увеличился в D2/d02 раз
(работает весь зрачок)
Изображение на сетчатке увеличилось в Г = rD/rd = D/d0 раз
Площадь изображения на сетчатке увеличилась в s/s0 = Г2 = D2/d02
раз
Яркость изображения не изменилась
Ни один оптический прибор не увеличивает яркость
изображения на сетчатке.
При нормальном (и меньшем) увеличении яркость
изображения равна яркости изображения предмета
невооружённым глазом
Можно ли в телескоп увидеть
звёзды днём?



Звезда – точечный объект, размер
изображения на сетчатке не изменяется;
яркость изображения звезды растёт ~ D2
Участок неба – объект протяжённый –
яркость изображения на сетчатке не
изменяется.
При определённом диаметре объектива D
изображение звезды станет ярче
изображения неба!
Камера обскура (тёмная комната)
Импульс электромагнитного поля.
Давление света



Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v
 
Плотность импульса
 wv S
1  
g 2  2 
EH
электромагнитного поля:
4c
c
c
Давление света:
wc I
P  cg  w 

c
c

Если коэффициент отражения R, то:

Давление солнечного света:
P  (1  R )
I c  1,5 кВт/м 2
P  I / c  5  10 6 Па
I
c