СВОЙСТВА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА

СВОЙСТВА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА
1. Устойчивость и неустойчивость.
Ляпуновские показатели
Наличие хаотической динамики тесно связано с неустойчивостью, присущей
фазовым траекториям системы. В качестве иллюстрации рассмотрим рисунок, где
показан набор большого числа наложенных друг на друга временных
зависимостей одной из динамических переменных для модели Лоренца. Все они
получены решением одной и той же системы уравнений, демонстрирующей
хаотическую динамику, при слегка отличающихся начальных условиях.
Видно, что разные реализации практически неотличимы на начальном участке, но
с течением времени уходят друг от друга и картина «замазывается». Именно
присутствие неустойчивости создает возможность соединить несоединимое –
динамическую природу системы, т.е. предсказуемость, и хаос, т.е.
непредсказуемость.
Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре
Понятие устойчивости и, соответственно, неустойчивости, определяется поразному. Наиболее часто используются определения устойчивости по Пуассону,
Ляпунову и асимптотической устойчивости.
Устойчивость по Пуассону означает, что через
некоторое время фазовая траектория возвращается в
сколь угодно малую окрестность начальной точки.
Интервал времени, по прошествии которого
траектория возвращается в окрестность точки x00
заданного радиуса , называется периодом возврата
Пуанкаре.
Любой установившийся режим колебаний нелинейных диссипативных систем
представляется траекториями, устойчивыми по Пуассону. Это относится и к
динамическому хаосу, связанному с существованием странного аттрактора –
режиму, который можно считать установившимся в смысле постоянства во
времени его усредненных статистических характеристик.
Устойчивость по Пуассону является важным, но слабым свойством устойчивости.
Мы ничего не можем сказать о поведении соседних траекторий, изначально
близких к начальной точке – притягиваются ли они к исходной траектории или
уходят от нее.
Примеры. Состояние равновесия. Ему отвечает фазовая траектория, состоящая из
одной точки, и она, очевидно, устойчива по Пуассону.
Рассмотрим замкнутую траекторию – предельный цикл. Возвраты Пуанкаре будут
фиксироваться периодически со сколь угодно высокой точностью. Время возврата
T есть просто период цикла и оно не зависит от выбора , по крайней мере, когда 
становится достаточно малым.
Предположим, что для любого заданного  можно указать период возврата T(), один
и тот же для любой точки старта на данной траектории, причем при   0 этот
период стремится к бесконечности. Иными словами, возвраты с данной степенью
точности следуют друг за другом регулярно, с правильной периодичностью, но
период увеличивается, если мы ходим увеличить точность сравнения состояний.
Такие движения называют квазипериодическими. В фазовом пространстве этому типу
динамики отвечает траектория, плотно покрывающая поверхность тора.
Динамический хаос – это такая ситуация, когда возвраты Пуанкаре в -окрестность
стартовой точки не проявляют регулярности, интервал времени между двумя
последовательными возвратами оказывается каждый раз другим и возникает
некоторое статистическое распределение времен возврата.
Устойчивость по Ляпунову
Устойчивость по Пуассону касалась свойств одной, отдельно взятой траектории.
Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения
поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности.
Две близкие на старте траектории
остаются близкими всегда. Малое
начальное возмущение устойчивых по
Ляпунову фазовых траекторий не
возрастает с течением времени.
Для каждой траектории динамической системы x(t) определен набор (спектр)
ляпуновских показателей 1, 2 , …, N , который дает уравнение в вариациях для
эволюции малого возмущения в линейном приближении
dx
 Ax,
dt
Для решения уравнения в вариациях справедлива теорема Ляпунова.
1) Для любого решения уравнения в вариациях существует ляпуновский
характеристический показатель – вещественное число, отличное от ,
определяемое как верхний предел,
1
x (t )  lim ln || x(T ) || .
T  T
2) При умножении решения на константу ляпуновский показатель не меняется,
Сx (t )  x (t ) .
3) Ляпуновский показатель линейной комбинации двух решений меньше или
равен большему из показателей этих двух решений, т.е.
Cx Cx  max(x , x ).
1
2
1
2
4) Имеется N (по размерности фазового пространства) линейно независимых
решений уравнения в вариациях (фундаментальная система решений),
которым отвечает N ляпуновских показателей, нумеруемых в порядке
убывания. Наибольшее из этих чисел называют старшим ляпуновским
показателем.
Присутствие в спектре показателя  означает, что существует такое
возмущение исходной траектории, которое эволюционирует во времени как
exp(t). Следовательно, наличие в спектре хотя бы одного положительного
ляпуновского показателя означает неустойчивость рассматриваемой фазовой
траектории. Если все показатели отрицательны, то это говорит об
асимптотической устойчивости траектории.
Для асимптотически устойчивой неподвижной точки все ЛХП отрицательны.
Если имеется хотя бы один положительный ляпуновский показатель, то
неподвижная точка неустойчива.
В случае предельного цикла ляпуновский показатель дается следующим
соотношением:

1
ln  .
T
 - собственные числа матрицы монодромии или мультипликаторы цикла.
Ляпуновские показатели аттракторов
Спектр ЛХП аттрактора обязан удовлетворять следующим требованиям:
1) Сумма всех N показателей должна быть отрицательна:
N

s 1
s
 0.
Это условие диссипативности, благодаря которому аттрактор является
притягивающим множеством нулевой меры в фазовом пространстве, на
котором концентрируется с течением времени облако изображающих точек.
2) У аттрактора, отличного от неподвижной точки, обязательно должен иметься
хотя бы один нулевой показатель.
Зависимость величины ляпуновского показателя логистического
отображения (2) от значения параметра 

Области левее  соответствуют
неположительные значения . Это
отвечает областям периодических
решений ( < 0).
Точки  = 0 соответствуют точкам
бифуркаций k удвоения периода
циклов отображения.
Правее значения  имеется
множество значений параметра ,
для которых  > 0, что говорит о
хаотической динамике. В то же
время имеются провалы до
отрицательных значений ,
которые соответствуют окнам
периодичности – наличию
устойчивых циклов определенных
периодов.
Рассмотрим фазовые портреты притягивающих
множеств отображения Эно (6) и бассейны их
притяжения.
При определенных значениях управляющих
параметров
отображение
Эно
может
демонстрировать свойство мультистабильности
– режим сосуществования двух притягивающих
подмножеств на фазовой плоскости. Если
менять начальные условия, то наблюдается
чередование двух хаотических режимов. Это
подтверждает расчет старшего ляпуновского
показателя в зависимости от изменения
начальной координаты x при фиксированном y.
Максимальный показатель случайным образом
«скачет» между двумя положительными
значениями, свидетельствуя о переходах
системы с одного хаотического аттрактора на
другой.
Если сравнить эти результаты с видом
структуры
бассейнов
притяжения,
то
становится понятно, что изменение начальных
условий приводит к пересечению границ
соответствующих бассейнов.
Подобно логистическому отображению, в закритической области значений
управляющего параметра (в области существования хаотического аттрактора)
в отображении Эно также наблюдается чередующуюся картина смены
регулярных и хаотических режимов – «окна периодичности».
Это иллюстрирует зависимость старшего ляпуновского показателя от
параметра а. На графике видно наличие как положительных, так и
отрицательных значений ляпуновского показателя, что свидетельствует о
нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в
системе при вариации параметра.
а
2. Функция распределения, инвариантная мера,
эргодичность и перемешивание
Пример 1. Эволюция набора изображающих точек, располагавшихся в
начальный момент в узлах прямоугольной сетки на фазовой плоскости для
ансамбля систем Ван дер Поля при  = 2
Пример 2.
Функция распределения и инвариантная мера
(13)
Результаты расчета p(x) для двух значений , соответствующих
хаотическим режимам логистического отображения
Плотности распределения вероятностей p(x,y) на хаотических
аттракторах в системе Эно
Обобщение, охватывающее как гладкие, так и сингулярные
распределения,
достигается
привлечением
специальной
математической конструкции, меры. Меру можно рассматривать как
функцию, которая ставит в соответствие подмножеству фазового
пространства некоторое неотрицательное число. Понятие меры шире,
чем понятие функции распределения: любой функции распределения
отвечает некоторая мера, но не всякой мере будет соответствовать
«разумная» функция распределения.
(14)
(15)
Свойство динамической системы, позволяющее ввести однозначно определенную
инвариантную меру, называется эргодичностью.
Или: Если фазовая
траектория всюду плотно заполняет фазовый объем G в фазовом пространстве,
движение называют эргодическим. При этом в пределе
t   относительное
время пребывания траектории в любом конечном элементе объема G
пропорционально относительному объему этого элемента:
PG  lim(tG / t )
t 
G / G.
(16)
tG – время пребывания траектории в элементе объема G, PG – вероятность
попадания траектории в элемент объема G.
Простым наглядным примером эргодического движения служит движение на
двумерном торе при иррациональном соотношении базовых частот. Доступный
фазовый объем G в этом случае есть просто двумерная поверхность тора,
являющая аттрактором системы. Все предельные траектории лежат на этой
поверхности. Эргодичность движения означает равномерное и плотное покрытие
этой поверхности фазовой траекторией.
Если определено понятие вероятности (16), то для эргодического движения
системы справедливо соотношение
lim t
t 
1
t
   x(t ) dt    ( x)dP( x),
0
(17)
G
что означает с вероятностью единица равенство усреднения по времени вдоль
конкретной траектории x(t) и усреднения по вероятностной мере,
определенной в фазовом пространстве с помощью теоремы (16) (т.е.
усреднения по ансамблю траекторий). Условие (17) является, по сути дела,
определением эргодичности ДС. Однако эргодичность слишком слабое условие
ДС, чтобы использовать его как критерий хаоса.
Помимо статистики посещения переменной x той или иной области значений,
непериодический процесс можно охарактеризовать с точки зрения свойств во
временной области. Этой цели служит вычисление автокорреляционной
функции.
Корреляция – это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных
величин. При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводит к
систематическому изменению другой или других величин.
Автокорреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными
величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайных
процессов – со сдвигом во времени.
Определим автокорреляционную функцию процесса x(t):
 x ( )  lim t
1
t 
t
 x( ) x(   )d ;
(18)
0
с учетом того, что любое периодическое ограниченное решение системы можно
представить в виде ряда Фурье:
x(t ) 
получаем

C
n 
n
 x ( ) 
exp( jn0t ),

C
n 
2
n
0  2 / T .
exp( jnot ).
(19)
(20)
Автокорреляционная функция периодического
процесса является периодической с тем же
периодом.
Вид
АКФ
для
временной
реализации,
порождаемой логистическим отображением (2)
для  = 3.56 (цикл периода 4)
Спектральная плотность мощности периодических автоколебаний есть фурьепреобразование от АКФ:
S x ( )  (2 )
1



 x ( ) exp( j )d 

C
n 
n
2
 (  n0 )
(21)
и содержит только дискретные составляющие на гармониках основной частоты
n0 .
В случае, если решение ДС характеризует движение на странном аттракторе и,
следовательно, не является периодическим, оно представимо в виде интеграла
Фурье

1
x(t )   2   ( ) exp( jt )d ,

( ) 
(22)

 x(t ) exp( jt )dt ,

где () – спектральная амплитуда процесса. В предположении стационарности и
эргодичности движения на странном аттракторе справедливы соотношения
Винера-Хинчина

 x ( )   S x ( ) exp( j )d ,


(23)
S x ( )  (2 ) 1   x ( ) exp( j )d ,

которые применимы к описанию случайных процессов. Случайные процессы
характеризуются затуханием во времени автокорреляционной функции и
непрерывным характером зависимости спектральной плотности мощности от
частоты.
Режиму динамического хаоса (или движению на странном аттракторе) также
соответствует затухающий характер зависимости от времени АКФ и сплошной
спектр мощности колебаний. Именно это обстоятельство роднит хаотические
автоколебания детерминированных систем по своим физическим свойствам со
случайными процессами и служит для экспериментаторов одним из основных
критериев перехода к хаотической динамике. Спектр регулярных аттракторов
всегда дискретный. Возбуждение режима динамического хаоса сопровождается
появлением ярко выраженной непрерывной компоненты в частотном спектре
процесса.
АКФ для логистического отображения
(2) для значений параметра  = 3.8 и 
= 4.0, соответствующих режимам
хаоса
АКФ аттрактора Лоренца
Фазовые портреты, временные реализации и спектры мощности периодических и
хаотического режимов в системе ГИН
Перемешивание. Энтропия Колмогорова
Чтобы проследить за движением изображающей точки в фазовом пространстве
колебательной системы, в общем случае целесообразно исследовать эволюцию
малого фазового объема, включающего начальную точку. Если предельная
траектория есть устойчивое состояние равновесия или периодическое движение,
то малая область сжимается в точку (линию) и подходящим является
детерминированное динамическое описание. Если же предельная траектория
неустойчива по Ляпунову, то малая начальная область растягивается вдоль одних
направлений, сжимается по другим и в виде сильно деформированного
образования заполняет исходное фазовое пространство или некоторую его часть;
фазовый объем начальной области может сохраняться (консервативные системы)
или уменьшаться в пределе до нуля (диссипативные системы). Этот процесс
называется перемешиванием.
Перемешивание: эволюция облака изображающих точек, представляющего
ансамбль отображений кота Арнольда
В ходе эволюции в системе с перемешиванием две сколь угодно близкие по
начальным условиям фазовые траектории спустя определенное время могут
оказаться в различных, удаленных друг от друга областях фазового пространства.
В результате получается, что, хотя эволюция произвольной фазовой точки
полностью детерминирована, для описания любой сколь угодно малой области в
фазовом пространстве системы с перемешиванием, по существу, нужно
использовать статистический подход.
Для эргодических систем предельные значения (в смысле статистических
средних) достигаются только в среднем по времени, а при наличии
перемешивания они имеют место асимптотически на больших временах.
Перемешивающие системы эргодичны, но не наоборот. Перемешивание – более
сильное по сравнению с эргодичностью свойство, которое дает возможность
определить понятие вероятности для индивидуальной фазовой траектории и
понятие
асимптотической
статистической
независимости
событий.
Статистическая взаимосвязь будущего состояния системы x(t) и настоящего x(t0)
при этом распространяется на конечные интервалы времени  = t – t0. Говорят о
явлении расщепления корреляции, вследствие чего АКФ процесса
экспоненциально затухает во времени. Спектр перемешивающих процессов –
сплошной с шириной по частоте, обратно пропорциональной времени корреляции
0. Характерное время  =0 уменьшения АКФ в е = 2.713… раз отражает скорость
процесса перемешивания. Величина, обратная 0, связана с метрической
энтропией.
Энтропи́я (от греч. ἐντροπία — поворот, превращение) в естественных науках — мера
беспорядка системы, состоящей из многих элементов. В частности, в статистической
физике — мера вероятности осуществления какого-либо макроскопического состояния; в
теории информации — мера неопределённости какого-либо опыта (испытания), который
может иметь разные исходы, а значит и количество информации.
Энтропия впервые введена Клаузиусом в термодинамике в 1865 году для определения меры
необратимого рассеивания энергии, меры отклонения реального процесса от идеального.
Термодинамическая энтропия — функция состояния термодинамической системы.
Информационная энтропия — мера неопределённости источника сообщений, определяемая
вероятностями появления тех или иных символов при их передаче.
Энтропия динамической системы — в теории динамических систем мера хаотичности в
поведении траекторий системы.
Энтропия отражения — часть информации о дискретной системе, которая не
воспроизводится при отражении системы через совокупность своих частей.
Энтропия в теории управления — мера неопределённости состояния или поведения
системы в данных условиях.
Энтропия — функция состояния системы, равная в равновесном процессе количеству
теплоты сообщённой системе или отведённой от системы, отнесённому к
термодинамической температуре системы.
Энтропия — связь между макро- и микро- состояниями, единственная функция в физике,
которая показывает направленность процессов. Функция состояния системы, которая не
зависит от перехода из одного состояния в другое, а зависит только от начального и
конечного положения системы.
Фундаментальное
понятие
метрической
энтропии
преобразования
с
сохраняющейся вероятностной мерой введено А.Н. Колмогоровым в 1958 г.
Благодаря понятию энтропии Колмогорова удалось строго сформулировать
абсолютный критерий хаотичности динамической системы как неустойчивого по
Ляпунову движения с положительной метрической энтропией.
Введение в рассмотрение метрической энтропии обобщает шенноновские
представления на случай ДС. Если имеется множество M = mn различных
комбинаций из m символов по n, на котором определена вероятностная мера, то
степень неопределенности, характеризующая среднее количество информации на
один символ в отсутствие шумов, дается энтропией Шеннона
H  n
1
M
 P ln P
j 1
j
j,
 P  1,
j
(24)
j
где Pj – вероятность j-й последовательности в n символов из алфавита m. Эта
неопределенность (и информация) будет нулевой в случае, когда одна из
последовательностей характеризуется единичной вероятностью, а все
оставшиеся – нулевой. Неопределенность отлична от нуля только тогда, когда
задано любое другое распределение вероятностей, и максимальна при
равновероятных исходах события.
Существенным различием между хаотическим и периодическим движениями
системы является то, что хаотическая траектория непрерывно производит энтропию,
чего не может быть в случае периодичности. Докажем это простыми рассуждениями.
Произведем разбиение фазового пространства G, включающего в себя аттрактор, на
m элементарных непересекающихся ячеек Gj ( j = 1,2,…, m). Проделаем серию
измерений, следя за траекторией x(t) и через равные промежутки времени t отмечая
n последовательных ячеек Gj, в которой побывала траектория. При каждом
независимом испытании получим конкретную n-членную реализацию в виде
последовательности Gj(n, t). Предположим, что нам известна нормированная на
единицу вероятностная мера P(Gj) на множестве возможных последовательностей
Gj(n, t). Неопределенность (или энтропия), определяющая среднее количество
информации на одну реализацию, в данном эксперименте будет
H n   P (G j ) ln P (G j ).
(25)
j
Величина Hn зависит от числа элементов n в последовательности, от интервала
времени t регистрации положения точки в фазовом пространстве и от способов
разбиения фазового пространства на элементы Gj . Введем нормированную
характеристику – энтропию на один элемент процесса в единицу времени – как
предел:
(26)
H  lim( H n / nt ).
n 
Для стационарных эргодических процессов этот предел существует и конечен.
Величина H есть средняя скорость производства энтропии на один элемент
процесса. Однако остается зависимость H от способа разбиения фазового
пространства на элементы. Выберем такое разбиение, при котором H максимальна,
и получим метрическую энтропию динамической системы:
(27)
h  sup H .
G
Если траектория регулярная, то при измерениях найдется такое n = n0 , что для
любых измерений последовательность Gj (n0 ) идентична, т.е. имеет вероятность,
равную единице. Метрическая энтропия в таком случае равна нулю. Для
хаотической последовательности, когда каждые отдельно взятые отрезки
реализаций отличаются друг от друга для любых сколь угодно больших n,
энтропия всегда положительна, что служит строгим критерием хаотичности
системы. Положительность энтропии характеризует качественную сторону
вопроса, а ее числовое значение является количественной характеристикой
степени хаотичности системы. Для истинно случайных процессов энтропия
неограниченно велика, для регулярных равна 0. Энтропия системы в режиме
странного аттрактора положительна, но имеет конечное значение. Доказано, что
энтропия положительна в том и только в том случае, когда фазовая траектория в
среднем экспоненциально неустойчива на аттракторе. Энтропия равна сумме
положительных показателей спектра ЛХП:
(28)
h  .



i 0
i