Матрицы Продолжение лекции 2 Определение Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица из чисел , i, 1,2,.., m j, 1,2,..,n где a ij a11 a12 a 21 a 22 A ... ... a m1 a m 2 состоящая из ... a1n ... a 2n ... ... ... a mn m строк и n столбцов. Краткое обозначение матрицы А aij mn Матрица размера mm называется квадратной. Матрица , имеющая только одну строку, называется матрицей-строкой. Матрица, имеющая только один столбец, называется матрицей-столбцом. Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной) , если определитель её равен нулю. Квадратная матрица вида 1 0 ... 0 0 1 ... ... ... 0 ... ... наз. единичной 0 0 ... 1 и обозначается Е Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы. Очевидно, Е 1 Матрица a11 T A a12 a 13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 называется транспонированной по отношению к матрице a11 a12 A a21 a22 a 31 a32 a13 a23 a33 Действия над матрицами. Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B с одинаковыми индексами. Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на число . Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=A+(-B). Произведением матрицы A (aij ) размера m n на матрицу B (bij ) размера n k называется матрица C (cij ) размера m k , элемент cij которой , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B. Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА, т.е.произведение матриц не обладает свойством перестановочности сомножителей. Пример Вычислить 5 8 4 3 2 6 9 5 4 1 4 7 3 9 6 Свойства операций над матрицами 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.(A+B)k=kA+kB 4. (AB)C=A(BC) 5. A(B+C)=AB+AC 6. A+O=A 7. AE=EA=A Если A и B две квадратные матрицы одного порядка, то A B A B Обратная матрица A Пусть - квадратная матрица. Обратной для неё матрицей называется квадратная матрица того 1 же размера,обозначаемая Aи удовлетворяющая условию A A A A E 1 1 Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и при этом единственная матрица, обратная к матрице А. При этом А 1 А11 1 А12 А13 А21 А22 А23 А31 А32 А33 , где Аij - алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы. Замечание Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А располагают в столбцах с теми же номерами, что и строки данной матрицы А. Пример Найти матрицу, обратную к матрице 1 1 2 А 3 5 3 2 7 1