Размерности величин

Размерность величин
На рисунке эффект Прандтля-Глоерта
Измерение – это сопоставление величины с
некоторым эталоном, который называется
единицей измерения.
Если изменить единицу измерения
(эталон), то изменится и измеренное
значение величины.
 Однако, по смыслу, результат измерения
должен отражать физическое явление и
не должен зависеть от выбранной
единицы измерений.
 Это возможно, на основе принципа
абсолютности отношений.

Принцип абсолютности
отношений


Если величину X измерить в единицах [X1] и получить значение K1, а
затем эту же величину X измерить в единицах [X2] и получить
значение K2, то отношение результатов измерения K1/K2 не зависит
от значения измеряемой величины.
Доказательство элементарно:
K1
K2
Х  К1   X1   К 2   X 2 
X2 


не зависит от
 X1 
X
Пример


o
От метро до РГГМУ для англичанина
 Х = 1,24 [мили]
От метро до РГГМУ для Пушкина
 Х = 1,87 [версты]
 1,24/1,87=0.633
От Парижа до Санкт-Петербурга
o Y=2629[мили]
o Y=3964 [версты]
o 2629/3964=0.633
 Х=10[миль]=16[км]->1,6 км=1
миля
$=9000 руб->1$=30 руб
Применение принципа абсолютности
отношений позволяет нам, например,
вводить более мелкие и более крупные
единицы —
1 км=1000 м= 100000 см.
 Y=300
Наиболее употребительные приставки для
изменения единиц измерения
Наименование
Тера
Гига
Мега
Кило
Множитель к
основной
единице
1012
109
106
103
Пример
Тера
вольт
Гига
Герц
Мега
тонн
а
Килоп
аскаль
Обозначение
Тв
Ггц
Мт
кПа
Гек Де
то ка
Деци
Сан
ти
Милли
Микр
о
102
10-1
10-2
10-3
10-6
Гек Де
то ка
пас ли
кал тр
ь
Дециг
радус
Сан
тим
етр
Милли
-метр
Микр
омет
р
гП
а
дгрд
см
мм
мкм
10
1
Да
л
Первичные и вторичные
величины
По отношению к процедуре измерения все величины могут быть
разбиты на две группы: первичные величины (измеряемые) и
вторичные величины (вычисляемые с помощью основных по
формулам).
 Вторичные величины имеют свои единицы измерения, которые
вычисляются через единицы измерения основных величин по
формулам связи.



Формулы связи единиц измерения называются
размерностями величин.
Обозначения слов «размерность величины X»:
[X] или Dim(X)
Основные единицы измерения
 Масса
(M) – ( в СИ 1 кг)
 Длина (L) ( в СИ 1 м)
 Время (t )- ( в СИ 1 c)
 Угол (f) – ( в СИ 1 радиан)
 Температура (T )- ( в СИ 1 К)
НО ДЛЯ СВОИХ ЗАДАЧ МОЖНО
НАЗНАЧАТЬ ОСНОВНЫМИ
ЛЮБЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Вспоминаем – 1:
вторичные единицы измерения
 Ускорение
(a) –1мс-2 ( в СИ )
 Сила (F) –1кгмс-2 ( в СИ 1 н)
 Работа (А), энергия (Е) –1кгм2с-2 ( в СИ 1
дж)
 Мощность (N) –1кгм2с-3 ( в СИ 1 джс-1 =1 вт)
Они возникают из определений по законам
физики
Первая теорема теории
размерностей Бриджмена:
 Размерность
любой
физической величины [F ] является
степенным комплексом
основных единиц
Перси Бриджмен, физик,
лауреат нобелевской
премии
Запись этой теоремы в виде формулы:
F   M





 t  L T  f
Обозначение [F]- читать, как «размерность
величины F
 Не обязательно, чтобы все основные единицы
входили в формулу размерности конкретной
величины (см. пример 3)
 Эти показатели определяются с помощью
формул, определяющих конкретные физические
величины (см. пример 3)
 Показатели степени могут быть дробными

Примеры :
 [F]=[m*a]=кг·м-1·с-2=1н
кг·м-2·с-2=1дж
 [N]=[A/t]= кг·м-2·с-3=1вт
 НО основные можно выбрать произвольно,
например, выберем первичными н,дж,вт
 ТОГДА
 [t]=[N/A]=дж·вт-1
 [s]=[A/F]= дж·н-1
 [m]=[F]·[t2]/[s]=[F·(N2A-2)·(A-1·F)]= =н2вт2дж-3
 [A]=[F*s]=
Размерности вторичных величин получают из
определяющих их формул физических законов

Сила (F )– это произведение массы на ускорение, поэтому
1
[ F ]  [m]  [a]  M 

L
t2
1 1
 M L t
2

кг  м
c2
н
Напряжения трения (как и давление) – это отношение силы
к площади
1 1
[F ] M L  t
[]  [ p] 

2
[S ]
L
2

н
2
м
 па
Запомнить важные величины!

Поток тепла - энергия на единицу площади за
единицу времени
 H  =  E  S

1
t
1 


дж
м 2с

вт
м2
Приток тепла –разность (остаток) потоков
тепла после прохождения единицы расстояния
или энергия в единице объема
дж
вт
1 1 1 

Q  =  E  S  t  l   2  3
м см м
Поток и приток!

В конце XIX века на Всемирной
выставке в Париже изобретатель
О. Мушо демонстрировал
инсолятор - аппарат, который при
помощи зеркала фокусировал лучи
на паровом котле. Котел приводил в
действие печатную машину,
печатавшую по 500 оттисков
газеты в час.

Энергия солнечных лучей,
падающих на поверхностьэто поток тепла
Поглощенная объемом
энергия, идущая на
нагревание – это приток
тепла

Для своих задач можно использовать
как основные и вспомогательные
удобные для себя единицы измерения!
 Например:



Тепловую энергию удобно измерять в
килокалориях – 1 ккал=4182 Дж=4,182 кДж
Электроэнергию измеряют в кВт·ч – 1 кВт·ч=
1кВт·3600с=3,6 мДж
Энергопотребление в тоннах условного топлива
(при сгорании 1 кгУт выделяется 7000 ккал
тепла)
Поэтому необходимо уметь решать
задачи на перевод размерностей

Скорость ветра 10 м/с не измениться, как
физическая величина, если расстояние измерять
в километрах, а время в часах. Отсюда следует
полезная для работы переводная формула:



3

10 км 
3600  км 
 м
 км 
10    10 
 10 
 36  



1000  ч 
с
ч 
 1 ч
 3600 
При анализе воздействия опасных явлений
погоды для характеристики силы используют
единицу 1 кгс (один килограмм силы).
Это сила, с которой масса 1 кг притягивается Землей в месте
хранения эталона массы (Севр, Франция, g = 9,80665 м/с2).
Так как сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 , равна
1 ньютону (1н), то нетрудно вычислить значение 1 кгс в ньютонах :
м
 кг  м 
1кгс =1кг   9.8   =9.8 
=9.8 Н 

 с2 
 с2 
Калория – это энергетическая
единица, равная 4,18 джоуля
В старых учебниках по метеорологии и
климатологии солнечная постоянная считается
приблизительно равной 2 кал/(см2 мин).
 Требуется выразить эту величину в современных
единицах (Вт/м2).




 кал  
 Вт 
4,18Дж
 =1393  
2
=2 

 м2 
 см2 мин   10-2 м 2 60с 
 





Тротиловый эквивалент
 При
взрыве 1 кг тринитротолуола (ТНТ)
выделяется 4,6 гДж энергии
 Перейдем к от СИ к системе СГС
(см,грамм,сек):
 1 Дж=1н·м=1кг·м2/с2=103г ·104см2 /с2 =107эрг
(1 эрг=1гсм2 /с2 )
 4,6 гДж=4,6 ·109+7эрг=4,6 ·1016эрг
 (это энергия сильного горного удара)
Теплота сгорания условного
топлива - 7000 ккал/кг
Для того чтобы к 2025 году человечество смогло удовлетворить свои
потребности в энергоресурсах, потребуется в год около 25 миллиардов тонн
условного топлива. (Энергопотребление человечества –ЭП)
 Для того, чтобы сравнить эту величину с потоком (СЭ) энергии солнца (1.38
кВт/м2), поступающей на земную поверхность (510·106 км2), нужно вычислить
эти энергии в одинаковых единицах. Воспользуемся единицами СИ.

25  109  103
 кг 
3  кал   4.18  Дж   22.5  1012 Вт  22.5 Твт
ЭП 

7000

10
 
 
 кг 
 как 
365  24  3600  с год  год 
 м2 
 Вт 
3
6
2
6
  7  1017  Вт  7  105 Твт
СЭ  1.39 10 
 510  10  км   10 



 км2 
 м2 
Если требуется изменять основные единицы
измерения, то следует согласованно изменить и
остальные. Пример:
du
F(  ,  , ,z )  0
dz
Пусть имеется зависимость:
В нее входят величины:
  
Н
 ML1T 1 ,
м2
  
кг
 du  1
 ML3 ,     T 1 ,
 dz  c
м3
z  м  L
Здесь три основные величины (M,L,t ), но вместо них можно взять за
основу три другие величины, например: будем плотность измерять в D (1
D= 1 кг/м3), вместо Т-1 можно использовать 1 (гц) герц, ну и оставим
метры для Z.
Тогда, по 1 теореме Бриджмена, следует изменить и размерность
напряжения по формуле:

    


 du 
    z
 dz 
Как вычислить показатели?
Сравнивая размерности в СИ!



du
 



1

3

2

1

L

T

ML

T
ML

z





 
     
 dz 

  
M : 1   ; L : 1  3   ; T : 2   
  1;   2;   2 
2
du
2  
2  гц 2
м

D
1


z




      
 dz 
Запомните этот результат! Он скоро пригодится!
Пи-теорема теории размерностей
(вторая теорема Бриджмена)
 Всякая
зависимость между n
размерными переменными, из которых
m имеют независимую размерность,
может быть сведена к зависимости
между n-m безразмерными комплексами.

Не доказывая эту теорему в общем виде, разберем всю процедуру
доказательства и использования выводов на конкретном примере
задачи Прандтля о логарифмическом профиле скорости потока у
стенки
Потренируемся. Пример
Центробежное ускорение
Ускорение: A [мс-2]
Линейная скорость вращения : V[мс-1]
Радиус вращения: R[м]
Доказать, что A=C* V2/R
Потренируемся. Пример
 Расход жидкости
в трубе Q[м3с-1]
 Радиус трубы r[м],
 Градиент давления dp/dx [кгм-2с-2]
 Динамический коэффициент вязкости k
[кгм-1с-1]
 Доказать,
что Q=C*r4 / k dp/dx
Потренируемся. Пример
 Фазовая
скорость волны на глубокой воде
c [мс-1]
 Плотность жидкости ro [кгм-3]
 Ускорение силы тяжести g [мс-2]
 Длина волны L [м]
 Доказать,
что с = С*(Lg)1/2
Потренируемся. Пример
 Сила
трения, действующая на дождевую
каплю F [кгмс-2]
 Скорость падения дождевой капли V [мс-1]
 К-т динамической вязкости воздуха
k [кгм-1с-1]
 Радиус капли r[ м ]
 Доказать, что F =C*k r V (C=6p)
(откуда при весе капли P = 4/3p r3 ,  =1 и
F=P следует формула Стокса V= 2gr2/9k)
Потренируемся. Пример:
Скорость подъема воздушного шара
(w) зависит от плотности воздуха (ρ),
силы Архимеда (gρ), отнесенная к
единице объема, и размера шара (r)
 g   
Н
 ML2T 2 ,
м3
  
F( w,g  , a ,r )  0
кг
 ML3 ,
м3
 w 
м
 LT 1 ,
c
z  м  L
Три основные единицы (M,L,t ) заменим на три новые: объемную силу будем
измерять в Архимедах (1А=1 кг/м2/с2), плотность в D, а размер снова в метрах.
Тогда размерность скорости шара можно найти по формуле:

 








1

3

2

2
 ML T
 L
 w       g     z   LT  ML
M : 0     ; L : 1  3  2   ; T : 1   2
  1 / 2;   1 / 2;   1 / 2 
 w   g  1 / 2   z 1 / 2    1 / 2  1 A  м / D 1 / 2
Особый случай. Как классик орудовал
размерностями (Рассеяние Релея)
 Амплитуда падающей
св. волны A [м]
 Амплитуда рассеянной св. волны S [м]
 Линейный размер частицы l [м]
 Расстояние до частицы r [м]
 Длина падающей и рассеянной волны l [м]
Релей: хотя размерности и одинаковы, все
величины, кроме A и S независимы, поэтому
из 5 независимых 4, т.е.
 S=C*Aa lb rc ld
А дальше дополнительные соображения






По ф-ле размерностей м=мaмbмcмd, 1=a+b+c+d
Т.к. A и S – одной природы, a=1
Т.к. амплитуда убывает с расстоянием, то с = -a=1
Тогда b=1-d и S=C*Albr-1l1-b=C*(Al/r)(l/l)b
Наконец, учтем, что рассеивает объем, поэтому
b=3(понятно?), тогда получим
 S=C*Al3/rl2
Учитывая, что интенсивность света
пропорциональна квадрату его амплитуды
получим знаменитое следствие Релея (Какое?)
Задача:
почему профили скоростей ламинарного и
турбулентного потоков в трубе различны по форме?
При малой скорости потока в гладкой трубе (число
Рейнольдса Re < 2300) режим движения жидкости
ламинарный и профиль скорости описывается параболой
u(z)=U·z·(h-z)
 А при высокой скорости (Re > 10000) – турбулентный и
профиль скорости гораздо более пологий и описывается
логарифмикой u(z)=U·ln(z/z0)

В начале ХХ в Людвиг Прандтль
объяснил это на основе анализа
размерностей
Он указал, что для градиента
скорости du/dz течения любой
турбулентной жидкости вблизи
стенки влияющими параметрами
являются: значение касательного
напряжения в пристеночном слое
, плотность жидкости ρ,
расстояние до стенки z.
 Это значит, что существует,
функциональная зависимость
между этими размерными
переменными

du
F(  ,  , ,z )  0
dz
Эту ситуацию мы рассматривали в
примере 2 :
du
F(  ,  , ,z )  0
dz
Пусть имеется зависимость:
В нее входят величины:
  
Н
 ML1T 1 ,
м2
  
кг
 du  1
 ML3 ,     T 1 ,
 dz  c
м3
z  м  L
Здесь три основные величины (M,L,t ), поэтому их можно заменить на
три другие величины, например: плотность (в нее входит M), градиент
скорости (в него входит t ) и высоту над стенкой Z (в нее входит L).
Тогда, по 1 теореме Бриджмена, размерность касательного напряжения
в этих единицах определяется по формуле:

    


 du 
    z
 dz 
Как вычислить показатели?
Сравнивая размерности в СИ!



du
 



1

3

2

1

L

T

ML

T
ML

z





 
     
 dz 

  
M : 1   ; L : 1  3   ; T : 2   
  1;   2;   2 
2
du
2  
z




       
 dz 
Пусть в эксперименте получено,что
 du/dz=A[du/dz] - т.е. значение величины градиента
скорости равно числу А с размерностью [du/dz]
 ρ=B[ρ]
- т.е. значение величины плотности жидкости равно
числу А с размерностью [ρ]
 z=C[z] - т.е. значение величины расстояния до стенки равно
числу С с размерностью [z]
 А =D[] - т.е. значение величины напряжения трения равно
числу D с размерностью []=[ρ][z]2[du/dz]2
А теперь выберем масштабы основных
величин равными их значениям в
эксперименте!
Тогда будет А=1,В=1,С=1
 А значение D измениться и станет, предположим
D1
 Тогда формула связи этих величин преобразуется:

2


du
du


2 

F  ,  , ,z   0  F D1     z    ,1,1,1  0


dz 
dz 




Чтобы понять, что отсюда следует,
рассмотрим пример 7
Предположим, что у нас есть функция 3х переменных:
Ф(x,y,z)=0 (скажем, 3x2*sinz/exp(y)-5=0)
 А теперь используем значения z=1,y=1.
 Получим Ф(x,1,1)=0. Что это за математический объект?
 Вернемся к конкретике 3x2*sin1/exp(1)-5=0


Что это ? Это уравнение с решением
x={5/[3sin(1)/exp(1)]}1/2
 Таким образом при Ф(х,1,1)=0 это уравнение
вида х=const
Вернемся к решению
Прандтля
2


du 
du



2
F   ,  , ,z   0  F  D1     z    ,1,1,1  0


dz 
dz 




откуда
2
D1 
du
2  du 
  D1     z     const или ???! 


dz
z
 dz 
откуда следует, что u( z )    V*  ln( z / z0 )
где  = D1  0,38 V* 


u( z  z0 )  0
Ну, и что? А вот что!
 Не
прибегая ни к каким гипотезам, кроме
анализа размерностей, Прандтль объяснил
важный экспериментальный факт.
 А мы доказали для случая произвольной
функции с 4 аргументами, из которых 3
имели независимую размерность, Питеорему Бриджмена:
Логарифмический профиль ветра
Height above surface (m)
Нужна нейтральная стратификация
u*
z
vh z 
ln
k
z0,m
Вычислено при u* = 1 м с-1.
k =0,4 – безразмерная постоянная Кармана
10
8
6
z
4
0, m
=1.0 m
z
0, m
=0.1 m
2
Теодор фон Карман
0
0
2
4
6
8
Wind speed (m -1s )
10
12
Fig. 8.3
Как оценить шероховатость?
ln z
Выбираем случаи нейтральной стратификации
1) Находим скорости ветра на различных высотах
2) Наносим их на график в зависимости от логарифма высоты (Следить,
чтобы основание логарифмов было одинаковым!)
3) Находим регрессионную прямую и экстраполируем ее до значения
скорости, равного нулю)
Fig.6.5
Пример на дом :
 Вычислить
уровень шероховатости по
данным наблюдений из учебника (с.202)
Еще раз формулировку 2
теоремы Бриджмена
Всякая зависимость между n (у нас 4)
размерными переменными, из которых m (у
нас 3) имеют независимую размерность,
может быть сведена к зависимости между nm (у нас n-m=1) безразмерными
комплексами .

(Отметим, что при n-m=1 получаем сразу
окончательное решение – безразмерный комплекс
равен постоянной, которую можно найти из опыта)
Обобщение теории Прандтля


Обухов, A. M.,1946: Турбулентность в
температурно-неоднородной атмосфере
Параметры, характеризующие динамику
атмосферы выше вязкого подслоя:
g: ускорение силы тяжести
T0: температура поверхности
v∗: динамическая скорость трения
q: турбулентный поток тепла
cp: удельная теплоемкость
ρ: плотность воздуха
Масштаб высоты приземного слоя

Обухов ввел масштаб высоты:
Κ=0,38 – постоянная Кармана.



L характеризует толщину динамического подслоя,
где влияние стратификации пренебрежимо мало
L пропорционально толщине, а не равно
L помогает провести анализ размерностей для
замыкания УБЭТ
Универсальное описание
приземного слоя
 А.С.Монин,
А.М. Обухов. Безразмерные
характеристики турбулентности в
приземном слое атмосферы. ДАН
СССР,93,№2.
Доказательство теоремы Монина-Обухова

Пусть факторы, определяющие турбулентность в Призем. Слое:

динамической скоростью V*, размерность которой [LT-1]

Параметр пловучести. Размерность величины gβ это [LT-2K-1].

Поток тепла w’T’=H0/cpρ, Размерность этого потока [LT-1K].

высота рассматриваемого уровня над земной поверхностью z,
размерность которой – [L].

Независимых размерностей в задаче 3: L -длтна, T-время, Ктемпература
Таким образом, задача определения формы профиля скорости ветра в
стратифицированном приземном слое состоит в нахождении
функциональной зависимости между пятью переменными , из которых
3 имеют независимую размерность
F( u,v ,P0 / C p ,g  ,z )  0
*
Выразим
размерности
зависимых
переменных
u и z в виде степенных
комплексов от принятых за независимые.
v ,P0 /  C p ,g 
*
Начнем с определения размерности скорости:
n1
 m1
p1 
u   v*  P0 /  C p   g    


m1
n1
p1

1

1

1

2

1
LT  LT
 LT K
 LT K



 
 

K : 0  n1  p1 ; L : 1  m1  n1  p1; T : 1   m1  n1  2 p1
m1  1 p1  n1  0
n1
 m1
p1   
 P0 /  C p
 g    v
v*

  *


Таким образом, в качестве эталона для измерения
скорости должна быть выбрана
динамическая скорость трения V*
Теперь выразим размерность
высоты через размерности
взятых за независимые
переменных
v ,P0 /  C p ,g 
*
n2
 m2
p2 
 z   v*  P0 /  C p   g    


p2
n2
m2
1

2

1

1

 LT K
 LT K
L  LT

 



 
K : 0  n2  p2 ; L : 1  m2  n2  p2 ; T : 0   m2  n2  2 p2
а"
m2  3; p2  n2  1
1
n2
 m2
1 
p2   3

g

C

/
P

v


g

C

/
P

v
    
   *
p
0
p
0
 *

 

v 3
*
это "характерный масштаб Монина-Обухов

 g    P0 /  C p






Т.е. в качестве эталона высоты должна быть выбрана
характерная длина Монина-Обухова
F( u, v , P0 /  C p , g  ,z )  0
*
F(
u


,1,1,1,
z


n2
p
m
2
g  2
 P0 /  C p
v
*
u
z
u
z
 f 
,1,1,1, )  0 тогда
или F(
v 

v 

*
*
n1
p
m
1
 g  1
 P0 /  C p
v
*
v
z
откуда u  *  fu ( ), где   


v 3
*
g   P0 /  C p

)0

Получилось, что профиль скорости ветра в приземном слое при любой
стратификации должен определяться только высотой Z, динамической
скоростью V* и параметром стратификации, принявшим форму
некоторой характерной длины 
Параметр стратификации 
 u 
3
v
 k 
v
v
*
 u( 2 )  u( 1 )
z 

*
*




g  T( 2 )  T( 1 )
  
g   P0 /  C p
g    k

z 

v

*
u( 2 ) 
 ln( z2 )  ln( z0 )



v

  u( 2 )  u( 1 )

*
v
ln( z2 z1 )

*
u( 1 ) 
 ln( z1 )  ln( z0 ) 




  u( 2 )  u( 1 )


 sign(  )  si gn( T( 1 )  T( 2 ), g  9,8,   1 / T ,   0.4
g  T( 2 )  T( 1 )
2
При неустойчивой стратификации, когда у земли теплее и начинается
конвекция, параметр  становится положительным (>0), а при
устойчивости атмосферы он отрицателен (<0)
Порядок величины и
изменчивость  от U и T
 U \ T
-1.5
-1
-0.5
-0.25
-0.1
0.1
0.25
0.5
1
1.5
10
-742.9
-1114.3
-2228.6
-4457.1
-11142.9
11142.9
4457.1
2228.6
1114.3
742.9
9
-601.7
-902.6
-1805.1
-3610.3
-9025.7
9025.7
3610.3
1805.1
902.6
601.7
8
-475.4
-713.1
-1426.3
-2852.6
-7131.4
7131.4
2852.6
1426.3
713.1
475.4
7
-364
-546
-1092
-2184
-5460
5460
2184
1092
546
364
6
-267.4
-401.1
-802.3
-1604.6
-4011.4
4011.4
1604.6
802.3
401.1
267.4
5
-185.7
-278.6
-557.1
-1114.3
-2785.7
2785.7
1114.3
557.1
278.6
185.7
4
-118.9
-178.3
-356.6
-713.1
-1782.9
1782.9
713.1
356.6
178.3
118.9
3
-66.9
-100.3
-200.6
-401.1
-1002.9
1002.9
401.1
200.6
100.3
66.9
2
-29.7
-44.6
-89.1
-178.3
-445.7
445.7
178.3
89.1
44.6
29.7
1
-7.4
-11.1
-22.3
-44.6
-111.4
111.4
44.6
22.3
11.1
7.4
0.5
-1.9
-2.8
-5.6
-11.1
-27.9
27.9
11.1
5.6
2.8
1.9
Поскольку все четыре перечисленных фактора, определяющих
турбулентность в приземном слое, сохраняются и в задаче о
профиле температуры, то
F1( T ,v ,P0 /  C p ,g  ,z )  0
*
F1(
T


n1
p
m
1
v
 P0 /  C p
 g  1
*
,1,1,1,
z


n2
p
m
2
v
 P0 /  C p
g  2
*
P0 /  C p
T*
z
или T   fT ( ), где T* 


v
*
Значительные усложнения вносит необходимость учета переноса
водяного пара. Но получаемая зависимость аналогична
q
E0 / 
z
*
q
 f q ( ), где q 
*


v
*
)0
Как получают профильные функции?
Современное состояние теории

Hogstrom (1988) получил используемые в настоящее время формулы
универсальных функций
Используются значения κ =0.40, =Prt−1=1.05
До настоящего времени значение числа Прандтля известно не
точно, а значение числа Шмидта, совсем плохо изучено.