Различные схемы морфологического проецирования бинарных

Различные схемы морфологического проецирования
бинарных образов на основе преобразования Хафа.
А.Ю. Рубис1, Ю.В. Визильтер 2
ФГУП «ГосНИИ Авиационных систем» (ФГУП «ГосНИИАС»), Москва
E-mail: 1 arcelt@mail.ru, 2 viz@gosniias.ru.
1.Проективные морфологии на базе преобразования Хафа и его модификаций
Морфологический фильтр H-открытие вычисляется как объединение проекций
изображения A(p) на отдельные прямые линии:
Pr(A(p),t) = maxqQ(A(q,t)Pr(A(p),(p,q))) = maxqQ(A(q,t)A(p)(p,q)),
(1)
где p=(x,y); q=(,) – параметры нормальной параметризации прямой; Q – пространство
параметров; (p,q){0,1} – характеристическая функция прямой с параметрами q;
A(q,t){0,1} – аккумулятор преобразования Хафа, бинаризованный по порогу t.
Аналогичным образом могут быть построены проективная морфология на базе
обобщенного преобразования Хафа (GHT) и других методов голосования. В частности,
проективная морфология на базе рекуррентного преобразования Хафа в скользящем
окне (Recurrent Hough Transform, RHT), определяет оператор RHT-открытия, также
описываемый формулой (1), где q=(p,); (p,q) – структурирующий элемент в виде
прямолинейного отрезка фиксированного размера, p – положение центра
структурирующего элемента,  – угол поворота отрезка; A(q,t) – содержимое
бинаризованного аккумулятора преобразования Хафа в скользящем окне.
1.Проективные морфологии на базе преобразования Хафа и его модификаций
(а)
(b)
(c)
Рис.1. Пример морфологического H-открытия: a) исходное бинарное изображение A(p);
b) аккумулятор пространства Хафа A(q,t); c) результат H-открытия Pr(A(p),t).
Рис.2. Пример морфологического RHT-открытия: a) исходное полутоновое изображение;
b) исходный бинарный контурный препарат A(p); c) результат RHT-открытия контурного препарата Pr(A(p),t).
2. Морфологическое сравнение образа с формой другого образа
Проекция образа B(p) на базовую t-составляющую H-формы образа A(p) как
объединение всех точек образа B, лежащих на t-прямых, выделенных в образе A:
PrP(B(p),A(p),t) = B(p)maxqQ(A(q,t)(p,q)).
(2)
Свойства проективного оператора (2) :
1. PrP(B(p),A(p),t)  B(p) – неувеличивающий по отношению к B(p)
2. PrP(PrP(B(p),A(p),t)A(p),t) = PrP(B(p),A(p),t) - идемпотентный
по отношению к B(p)
При этом фильтр (1) является частным случаем фильтра (2):
Pr(A(p),t) = PrP(A(p),A(p),t).
Морфологический коэффициент H-корреляции образов A(p) и B(p) в стандартной форме Пытьева:
Kt(B(p),A(p)) = || PrP(B(p),A(p),t) || / || B(p) ||
1) Kt(B(p),A(p))  [0,1];
2) Kt(A(p),A(p)) = 1.
3) Kt(B(p),A(p))  Kt(A(p),B(p)) (4)
(3)
2. Морфологическое сравнение образа с формой другого образа
(а)
(b)
(c)
(d)
Рис.3. Пример морфологического проецирования точечных паттернов на H-форму: a) Точечный
паттерн A, используемый для получения H-формы; b) точечный паттерн B; c) точечный паттерн
Bn – паттерн B с добавленным шумом «соль-перец»(p=0,1; q=0,1); d) проекция паттерна Bn на
H-форму паттерна A (порог H-формы t=9)
2. Морфологическое сравнение образа с формой другого образа
(c)
(d)
(e)
t=20, Kt = 0.9112
(e)
t=20, Kt = 0.1995
(а)
(d)
(b)
(d)
(e) t=20, Kt
= 0.0700
Рис.4. Примеры морфологического проецирования контурных изображений на H-форму:
a) – исходный фрагмент космического снимка; b) – соответствующее контурное изображения,
полученные оператором Собела; c) Контурный фрагмент A, используемый для получения Hформы; d) контурный фрагмент B; e) проекция образа B на H-форму образа A с указанием
соответствующих порогов и коэффициентов H-корреляции.
2. Морфологическое сравнение образа с формой другого образа
(b)
(c)
(d)
(а)
(e)
(f)
(g)
Рис.5. Пример морфологического проецирования точечных паттернов на H-форму,
инвариантную к сдвигам и поворотам: a) Точечный паттерн A, используемый для получения Hформы; b),e) точечные паттерны B1 и B2 со сдвигами по вертикали и горизонтали и поворотом
соответственно; c), f) точечные паттерны Bn1 и Bn2– паттерны B1 и B2 с добавленным шумом
«соль-перец»(p=0,1; q=0,1); d), g) проекция паттернов Bn1 и Bn2 на H-форму паттерна A (порог
H-формы t=9)
3. Морфологическое сравнение образов с максимальной общей составляющей их
формы
Образ B более сложным по H-форме по отношению к A, если проекция A на B совпадает с A:
BA  PrP(A(p),B(p),t) = A(p).
(5)
Из (5) и (2) следует, что это отношение определяется отношением соответствующих H-форм
BA  B(q,t)  A(q,t),
(6)
где отношение  понимается стандартным образом в смысле поэлементного сравнения значений
бинаризованных аккумуляторов преобразования Хафа.
Для любой пары образов A и B существует как более сложный образ (супремум) и более простой образ
(инфимум)
С = sup(A,B): CB, CA, C(q,t) = max(B(q,t), A(q,t))
D = inf(A,B): BD, AD, D(q,t) = min(B(q,t), A(q,t))
(7)
(8)
Максимальная общая составляющая H-формы двух образов A и B:
D = inf(A,B): BD, AD, D(q,t) = B(q,t)A(q,t).
(9)
3. Морфологическое сравнение образов с максимальной общей составляющей их формы
Проекция образа B на максимальную общую составляющую формы A и B образов
PrS(B(p),A(p),t) = B(p)maxqQ(A(q,t)B(q,t)(p,q)).
PrP(B(p),A(p),t) = B(p)maxqQ(A(q,t)(p,q)).
(10)
(2)
(1) также является частным случаем фильтра (10):
Pr(A(p),t) = PrS(A(p),A(p),t)
Морфологический коэффициент H-корреляции бинарных образов в двух различных формах
Kt(B(p),A(p)) = || Prs(B(p),A(p),t) |||| Prs(B(p),A(p),t) || / || A(p) |||| B(p) ||,
(11)
Kt(B(p),A(p)) = || Prs(B(p),A(p),t) ||+|| Prs(B(p),A(p),t) || / || A(p) ||+|| B(p) ||.
(12)
Оба эти коэффициента корреляции обладают следующими основными свойствами:
1) Kt(A(p),B(p))  [0,1];
2) Kt(A(p),A(p)) = 1;
3) Kt(B(p),A(p)) = Kt(A(p),B(p)).
3. Морфологическое сравнение образов с максимальной общей составляющей их формы
Определим n-ансамбль образов как вектор
A(p) = <A1(p), …, An(p)>.
Проекция компоненты ансамбля Ai(p)A(p) на максимальную общую составляющую форм образов из
A(p) как образ, определяемый выражением
PrS(Ai(p),A(p),t) = Ai(p)maxqQ(A1(q,t)…An(q,t)(p,q)).
(13)
Проекция ансамбля образов A(p) на максимальную общую составляющую форм образов из A(p)
определяется как ансамбль образов той же размерности:
PrS(A(p),t) = <PrS(A1(p),A(p),t), …, PrS(An(p),A(p),t)>.
Морфологический коэффициент H-сходства образов заданного n-ансамбля
( A(p) ) = ||A1(p)|| … ||An(p)||,
( A(p) ) = ||A1(p)|| + … + ||An(p)||.
Kt( A(p) ) = ( PrS(A(p),t) ) / ( A(p) ),
Kt( A(p) ) = ( PrS(A(p),t) ) / ( A(p) )
3. Морфологическое сравнение образов с максимальной общей составляющей их формы
(а)
(b)
(c)
(d)
(а)
(b)
(c) t=15
(d) t=15
(а)
(b)
(c) t=21
(d) t=21
Рис.7. Пример морфологического проецирования точечных паттернов на максимальную общую составляющую
их H-формы: a) Точечный паттерн A; b) точечный паттерн B; c) проекция A на общую составляющую H-формы
{A,B}; d) проекция B на общую составляющую H-формы {A,B} (порог H-формы t=9).
Рис.8. Примеры морфологического проецирования контурных изображений на максимальную общую составляющую их Hформы: a) контурное изображение A; b) контурное изображение B;c) проекция A на общую составляющую H-формы {A,B};
d) проекция B на общую составляющую H-формы {A,B} (пороги H-формы указаны под изображениями проекций).
3. Морфологическое сравнение образов с максимальной общей составляющей их формы
(а)
(e)
(b)
(c)
(f)
(g)
(d)
Рис.9. Примеры морфологического проецирования ансамблей образов на максимальную общую составляющую их Hформы: a), b), c) исходный ансамбль образов A - набор точечных паттернов; d) прямые максимальной общей составляющей
H-форм набора A ;e), f), g) проекция ансамбля образов A на общую составляющую его H-формы
Спасибо за внимание