ЕГЭ Логические задачи Урок 9

ЕГЭ
Урок 9
Логические задачи
Советы по решению логических задач
Для решения логических задач рекомендуется соблюдать
следующие правила:

Выделить из условия задачи простые высказывания и обозначить их
буквами. Переход к записи условия задачи в виде логических
переменных позволяет представить условие задачи в более компактном
виде, отбросив все ненужные для решения задачи детали.

Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые
высказывания в сложные с помощью логических операций или
построить таблицу, помогающую более наглядно представить условие
задачи и использовать метод рассуждений.

Попытаться упростить полученное выражение.

Очень важно проверить соответствие полученного решения условии:
задачи.
Рассмотрим три типа логических задач.
Для каждого типа будет приведено одно или несколько решений.
Задачи I типа
В условии приводятся несколько двойных или одинарных утверждений и дается оценка их
истинности, т.е. сообщается, сколько участников говорят только правду, сколько
лгут и сколько говорят то правду, то ложь.
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор
знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а
кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что
никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех
троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда
прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша
сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все,
что говорит Коля, - правда».
Директор понял, кто из них кто.
Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду»,
«всегда лжет», «иногда говорит правду, а иногда лжет».
(Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть:
РТВ.)
1.
Решение:

Обозначим буквой И истинное (правдивое) утверждение и соответственно Л
– ложное утверждение.

Запишем утверждения каждого мальчика:
Саша
И
Коля
Л Л
Миша
Л
утверждение Саши ИСТИННО, т. к. астрономию никто
не прогуливал
первое утверждение Коли ЛОЖЬ, т. к. астрономию
никто не прогуливал, второе утверждение тоже
ЛОЖЬ, т. к. Саша говорит правду
утверждение, что Коля говорит правду ЛОЖЬ
Теперь сразу видно, что Коля лжет всегда (он дважды подряд солгал), Саша
говорит правду (он единственный, кто сказал правду). Получается, что Миша
может сказать правду, а может и солгать.
Ответ: СКМ
2. Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них съел варенье.
На вопрос мамы, кто это сделал, они сказали:
А. Петя: «Я не ел. Маша тоже не ела».
В. Вася: «Маша действительно не ела. Это сделал Петя».
С. Маша: «Вася врет. Это он съел».
Выясните, кто ел варенье, если известно, что двое из них оба раза сказали
правду, а третий один раз соврал и один раз сказал правду.
Решение:
Выделим из условия задачи простые высказывания и обозначим их буквами
Петя
П М
Вася
М П
Маша
В Вася врет
Построим таблицу, в которой совместим высказывания детей и все возможные
варианты их высказываний, когда двое говорят правду (И – ИСТИНА), а один то
правду, то неправду (Л - ЛОЖЬ). В нашей задаче возможных вариантов три.
1
2
3
Петя
П М
Л
И
И
Вася
М
П
И
Л
И
Вася врет
И
И
Л
Маша
В
1
2
3
Петя
П М
Л
И
И
Вася
М
П
И
Л
И
Вася врет
И
И
Л
Маша
В
Проанализируем таблицу.
Первая колонка противоречит условию задачи, т.к. Маша утверждает, что
Вася врет.
Третья колонка тоже противоречит условию задачи, т. к. Петя говорит, что
он не виноват, а Вася, что он виноват.
Из второй колонки следует, что Маша сказала правду и виноват Вася,
который сказал правду про Машу и неправду про Петю.
Ответ: Вася
Задачи 2-го типа
В условии приводятся несколько двойных утверждений, в которых одно утверждение
истинно, а другое ложно. Результат – расстановка участников по местам.
3.
Перед началом турнира болельщики (эксперты) высказали следующие
предположения по поводу своих кумиров:
А. Макс победит, Билл – второй.
В. Билл – третий, Ник – первый.
С. Макс – последний, а первый Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый болельщик был прав только в
одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Билл, Ник, Макс?
В ответе перечислите без пробелов места участников в указанном порядке имен.
Решение:
Решение с применением графа
Нарисуем граф, наглядно показывающий связи между именами и местами, которые
упоминаются в утверждениях экспертов.
М
1
М
1
Б
2
Б
2
Н
3
Н
3
Д
4
Д
4
Исходный граф
Решение
Для рассматриваемой задачи вершинами графа являются имена участников и места,
которые они могут занять. Для каждого из экспертов используются линии разных типов.
В результате решения на графе должна остаться только одна линия каждого типа, и из
каждой вершины должна выходить только одна линия.
Предположим, что победил Макс, т. е. имеет место линия М1. Следовательно М4 - ЛОЖНО,
и мы должны убрать пунктирную линию М4. Однако при этом в вершину 1 придут две
линии: М1 и Д1, тогда Д1 тоже ИСТИННО. Получилось противоречие. Значит линию М1
надо убрать, а линию М4 оставить Так как М1 убрали, то линия Б2 остается.
Теперь перейдем к высказыванию второго эксперта. Поскольку линия БЗ убирается, то в
высказывании истинно, что Ник победил, т. е. Н1 остается. Джон на 3-м месте.
Правильные утверждения отмечены на правом графе, представляющей собой решение
задачи.
Ответ 3214
М
1
М
1
Б
2
Б
2
Н
3
Н
3
Д
4
Д
4
Исходный граф
Решение
В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли
девушки Наташа, Маша, Люда, Рита. Болельщики высказали свои
предположения о распределении мест:
А. Первой будет Наташа, Маша будет второй.
В. Вторая будет Люда, а Рита займет четвертое место.
С. Рита займет третье место, а Наташа будет второй.
Каждый болельщик был прав только в одном из своих прогнозов.
Какое место на турнире заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?
В ответе перечислите без пробелов места участников в указанном порядке
имен.
Решение:
Нарисуем граф, наглядно показывающий связи между именами и местами,
которые упоминаются в утверждениях болельщиков.
4.
Н
1
Н
1
М
2
М
2
Л
3
Л
3
Р
4
Р
4
Исходный граф
Решение
Ответ: 1423
Задачи 3-го типа
В условии приводятся несколько (обычно три) двойных утверждений, в которых одно
утверждение истинно, а другое ложно.
5.
Трое свидетелей так рассказали о машине, которую они видели:
1) Это была Хонда черного цвета.
2) Это был Форд синего цвета.
3) Это Мерседес, но не синий.
Каждый из них был прав только в одном из своих утверждений. Какая это была машина?
Решение методом рассуждений
Сначала предположим, что машина – Хонда, тогда утверждения свидетелей можно
записать в виде:
1 0 – одно утверждение истинно, а другое ложно, иными словами, если утверждение
«машина – Хонда» истинно, то машина была не черная;
0 1 – Хонда, значит, не Форд и, значит, синий;
0 0 – Мерседесом быть не может, но и не может быть черной машиной.
Следовательно, оба высказывания третьего свидетеля ложны. Таким образов мы
пришли к противоречию, т. к. одно из высказываний свидетеля обязательна истинно.
Теперь предположим, что это Форд.
0 1 – не Хонда, значит, истинно высказывание, что машина черная;
1 0 – если Форд, то не синий;
0 1 – не Мерседес и не синий.
Следовательно, это черный Форд.
Для самопроверки сделаем еще одно предположение, что машина – Мерседес.
Утверждения свидетелей запишутся в виде:
0 1 – не Хонда, значит, машина черная;
0 0 – при анализе высказывания второго свидетеля сразу получил противоречие.
На этом решение можно закончить и принять получении ранее ответ.
Ответ: черный Форд.
Машина
100
Хонда
011
черная
010
Форд
100
синяя
00
Мерседес
01
не синяя
6.
При раскопках был найден древний кувшин. Один из экспертов утверждает,
что этот кувшин сделан в городе Владимире в X веке, другой считает,
кувшин изготовлен в Твери в XV веке, третий утверждает, что кувшин
сделан в Суздале, но не в X веке. Как показала последующая экспертиза,
каждый из экспертов был прав только в одном из своих утверждений.
Когда и где был изготовлен кувшин?
Решение:
Кувшин
1
Владимир
0
X век
0
0
Тверь
Суздаль
Ответ: Владимир, XV век.
1
1
XV век
не X век
Домашняя работа (6 задач)
1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания
из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий
говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но
не знает, кто из них правдив, а кто – нет.
Однажды все трое прогуляли астрономию. Директор знает, что никогда раньше никто из них
не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками.
Коля сказал: «Я раньше никогда не прогуливал астрономию».
Саша сказал: «Бывает, что я говорю неправду».
Миша сказал: «Коля соврал Вам. Саша никогда не врет».
Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы мальчиков в порядке: «говорит
всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз».
2. В полуфинал чемпионата по футболу вышли Англия, Германия, Бразилия и Франция.
Эксперты стали высказывать свои предположения о результатах чемпионата.
Один эксперт считает, что на первом месте будет Англия, а на втором Германия.
Второй эксперт утверждает, что на втором месте будет Бразилия, а на четвертом Франция.
Третий эксперт сказал, что на втором месте Англия, а на третьем Франция.
После чемпионата выяснилось, каждый из экспертов был прав только в одном своем
утверждении. Какое место на чемпионате заняли Англия, Германия, Бразилия и Франция?
В ответе перечислите без пробелов места участников в указанном порядке стран.
3. В соревнованиях по гимнастике участвовало пять девушек: Света, Маша, Наташа,
Рита, Вера. Об итогах соревнований имеется пять высказываний, про которые
известно, что в каждом из них одно утверждение истинно, а другое ложно:
1)
2)
3)
4)
5)
Первое место заняла Вера, а Наташа была второй.
Первое место заняла Света, а Рита оказалась третьей.
Рита на последнем месте, а Маша была предпоследней.
Маша была действительно четвертой, а первой – Света.
Пятой была Наташа, а Маша на первом месте.
Какие места в соревновании заняли участницы? Напишите в ответе первые буквы имен
участниц в порядке занятых ими мест (например, МНРСВ).
4. Андрей, Виктор, Миша и Николай приехали учиться в Москву из Киева, Ростова
Саратова и Тамбова (имена и города приведены по алфавиту). Друзья про них
высказали следующие утверждения:
1) Андрей приехал из Киева, Миша из Ростова.
2) В Ростове живет Андрей, Виктор приехал из Тамбова.
3) Николай приехал из Ростова, а Виктор живет в Саратове.
Определите, кто из какого города приехал, если стало известно, что половина каждого
утверждения истинна, а половина – ложна?
Используя первые буквы имен и городов, напишите, где живут Андрей, Виктор, Миша и
Николай (например, АТВКНСМР).
5.
Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.
- Это английская машина марки «Феррари», - сказал Андрей.
- Нет, машина итальянская марки «Понтиак», - возразил Денис.
- Это «Сааб», и сделан он не в Англии, - сказал Марат.
Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в
одном из двух высказанных предположений. Какой же марки этот автомобиль и в
какой стране он изготовлен?
6.
Три свидетеля дали показания, что преступники скрылись с места преступления:
а) на черном «бьюике»;
б) на синем «форде»;
в) не на черном «крайслере».
Каждый из них в чем-то одном ошибался. На какой машине скрылись преступники?