Тема 16: «Теория массового обслуживания»

© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД
06.05.2016
20:39
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§1. Введение
§2. Системы массового
обслуживания с отказами
§3. Системы массового
обслуживания с ожиданием
© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД
§4. Замкнутые системы
массового обслуживания
© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Теория массового обслуживания
(ТМО) помогает решать задачи,
связанные с оптимизацией процессов
обслуживания на железнодорожном
транспорте, и является основой
проектирования и анализа систем
массового обслуживания (СМО).
К таким СМО относятся: вагонные
депо; кассы продажи пассажирских
билетов; железнодорожные станции;
информационные системы и т.д.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Системы, в которых, с одной стороны,
возникают массовые запросы (требования)
на выполнение каких-либо видов услуг, а
с другой стороны, происходит
удовлетворение этих запросов, называются
системами массового обслуживания.
Система массового обслуживания включает
следующие элементы: источник требований,
входящий поток требований, очередь,
обслуживающее устройство (обслуживающий
аппарат, канал обслуживания), выходящий
поток требований.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§1. Введение
Системы массового обслуживания
классифицируют по разным признакам.
Одним из признаков является ожидание
требования начала обслуживания. В
соответствии с этим признаком системы
подразделяются на следующие виды:
1) системы массового обслуживания с
потерями (отказами);
2) системы массового обслуживания с
ожиданием;
3) системы массового обслуживания с
ограниченной длиной очереди;
4) системы массового обслуживания с
ограниченным временем ожидания.
06.05.2016
20:39
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Системы массового обслуживания, у
которых требования, поступающие в
момент, когда все приборы
обслуживания заняты, получают отказ
и теряются, называются системами с
потерями или отказами.
Системы массового обслуживания, у
которых возможно появление как
угодно длинной очереди требований к
обслуживающему устройству,
называются системами с ожиданием.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Системы массового обслуживания,
допускающие очередь, но с
ограниченным числом мест в ней,
называются системами с ограниченной
длиной очереди.
Системы массового обслуживания,
допускающие очередь, но с
ограниченным сроком пребывания
каждого требования в ней, называются
системами с ограниченным временем
ожидания.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
По числу каналов обслуживания
СМО делятся на одноканальные и
многоканальные.
По месту нахождения источника
требований СМО делятся на разомкнутые,
когда источник находится вне системы, и
замкнутые, когда источник находится в
самой системе. К последнему виду
относится, например, станочный участок,
в котором станки являются источником
неисправностей, а, следовательно, и
требований на их обслуживание.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Одной из форм классификации
систем массового обслуживания
является кодовая (символьная)
классификация Д. Кендалла. При этой
классификации характеристику
системы записывают в виде трех,
четырех или пяти символов, например,
А|B|S, где А – тип распределения
входящего потока требований, В – тип
распределения времени обслуживания,
S – число каналов обслуживания.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§1. Введение
Для экспоненциального распределения
принимают символ М, для любого
(произвольного) распределения символ G. Запись М|М|3 означает, что
входящий поток требований
пуассоновский (простейший), время
обслуживания распределено по
экспоненциальному закону, в системе
имеется три канала обслуживания.
Четвертый символ указывает
допустимую длину очереди, а пятый —
порядок отбора (приоритета) требований.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания
с отказами
СМО с отказами является
такая система, в которой
приходящие для
обслуживания требования, в
случае занятости всех каналов
обслуживания, сразу ее
покидают.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания с отказами
Вероятности состояний
системы определяются
из выражения:

Pk 
* P0
k!
где k = 1, 2, …, N;
N – общее число каналов;
k



– нагрузка;
 - интенсивность входящего потока
требований;
µ - интенсивность (производительность)
одного канала (прибора) обслуживания;
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания с отказами
А вероятность отсутствия
требований P0 определяется из
выражения:


P0   
i
!
i

0

N
i



1
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания с отказами
К основным характеристикам качества
обслуживания рассматриваемой СМО
относятся:
N
• вероятность отказа
 N!
Pотк  PN 
N
i

i!

i 0
• среднее число занятых узлов
обслуживания M
зан   * (1  PN )
• среднее число свободных узлов
обслуживания M  N  M
св
зан
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания с отказами
В системах с отказами события отказа
и обслуживания составляют полную
группу событий, отсюда:
Pотк  Pобс  1
Относительная пропускная
способность определяется по формуле:
Q  Pобс  1  Pотк  1  PN
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§2. Системы массового обслуживания с отказами
Абсолютная пропускная способность
СМО с отказами равняется:
A   * Pобс
Коэффициент занятости узлов
обслуживания определяется
отношением средним числом
занятых каналов к
общему числу каналов:
M зан
Kз 
N
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания
с ожиданием
СМО с ожиданием
аналогична системе массового
обслуживания с ограниченной
длиной очереди при условии,
что граница очереди
отодвигается в бесконечность.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Вероятность состояний СМО с
ожиданием находят по формулам:
Pk 
Pk 

k
k!
* Po

для k = 1, 2, …, N
k
N !* N
kN
* Po
для k = N + 1, …, N + k, …, N + ∞
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
При ρ / N > 1 наблюдается явление
«взрыва» – неограниченный рост
средней длины очереди, поэтому для
определения P0 должно выполняться
ограничивающее условие ρ / N > 1, и с
учетом его запишем выражение:
N 1




Po   


 k  0 k ! N !*( N   ) 
N
k
1
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
К основным характеристикам
качества обслуживания СМО с
ожиданием относят:
Вероятность наличия очереди Pоч ,
т.е. вероятность того, что число
требований в системе больше числа
узлов:
Pоч 

N 1
N !*( N   )
* P0
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Вероятность занятости всех узлов
системы Pзан :
N
Pзан 

( N  1)!*( N   )
* P0
Среднее число требований
в системе МТР :
MTP
N 1


* (N  1  )

 P0 *   

2
 k  0 k! ( N  1)!*( N   ) 
N 1  k
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Средняя длина очереди Mоч :
M оч

N 1
* P0

2
( N  1)!*( N   )
Среднее число свободных каналов
обслуживания Мсв :
N
M св  P0 *  k *
k 1

k
( N  k )!
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Среднее число занятых каналов
обслуживания Мзан :
M зан  N  M св
Коэффициент простоя K0 и
коэффициент загрузки Kз каналов
обслуживания системы:
M св
K0 
N
M зан
Kз 
N
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Среднее время ожидания
начала обслуживания
Тож для требования,
поступившего в систему:


*
P
0
2
 * ( N  1)!*( N   )
N
Т ож
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Общее время, которое проводят
в очереди все требования,
поступившие в систему
за единицу времени Тоож :
Т оож 

N 1
( N  1)!*( N   )
*
P
0
2
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Среднее время Ттр , которое
требование проводит в системе
обслуживания:
Т тр  Т ож  
Суммарное время, которое
в среднем проводят в системе
все требования, поступившие
за единицу времени Тстр :
Т стр  Т оож  
1
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Задача 1. В порту имеется два причала
для разгрузки грузовых судов.
Интенсивность потока судов равна 0,8
судов в сутки. Среднее время разгрузки
одного судна составляет 2 суток.
Предполагается, что очередь
ожидающих разгрузки судов может
быть неограниченной длины.
Найти среднее время пребывания
судна в порту.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
Решение: Имеем: m = 2, λ = 0,8 сут-1,
1
  1 / Т обс  0,5сут ,
р   /   0,8 / 0,5  1,6,
Находим:
N 1
N 


Po   


 k  0 k! N !*( N   ) 
k
 1,6 1,6

1,6
 1 



1!
2! 2!( 2  1,6) 

2
3
1

1
 0,11
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§3. Системы массового обслуживания с ожиданием
m 1
M ож
P0 * 
1

*

2
m * m!
(1   / m )

0,11 * 1,63
2 * 2 * (1  0,8)
Т ож  М ож /   3,5
Итак, T ож  3,5сут.
2
 2,8
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
06.05.2016
20:39
§4. Замкнутые системы массового
обслуживания
В замкнутых системах массового
обслуживания источник требований
находится внутри системы, и
интенсивность потока требований
зависит от состояния самой системы.
Чаще всего потоком требований в
такой системе является поток
неисправностей от некоторой группы
работающих устройств.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Пусть имеется m работающих
устройств, которые могут
выходить из строя за счет
неисправностей. Имеется также
N приборов (каналов) обслуживания
этих требований. В качестве таких
каналов могут выступать и люди.
Обычно предполагают, что N < m.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Обозначим через S0 состояние,
при котором все устройства работают,
а приборы обслуживания не заняты;
S1 - состояние, при котором одно
устройство вышло из строя
и обслуживается одним прибором
обслуживания; SN – N устройств
не работают, и все приборы заняты
обслуживанием; Sm - все устройства
не работают, из них N обслуживаются
и (m – N ) ждут обслуживания.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Вероятности состояний замкнутой
системы определяются следующими
зависимостями:
k 1
 (m  j )
Pk 
j0
*  * P0 для k = 1, 2, …, N
k
k!
k 1
 (m  j )
Pk 
j 0
N !* N
kN
 * P0
k
для k = N+1,N+2,…,m
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
k 1
k 1


 (m  j )
 (m  j )


N j0
m
j0
k
k

P0  1  
*  
*
k

N
k!
 k 1

k  N  1 N !* N




1
Средняя длина очереди:
m
M оч  
k  N 1 N
( k  N ) * m!
kN
* N !*( m  k )!
*  * P0
k
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Коэффициент простоя требований в СМО:
K пр
M оч

m
Среднее число требований в СМО:
m
 N
k k
M    kC m    k *
k  N 1
 k 1
*
N
где

*   * P0
* N !*( m  k )!

m!
kN
k
k
– коэффициент бинома Ньютона.
Cm
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Среднее число свободных каналов Мсв
и коэффициент простоя каналов К0 :
N
M св   ( N
k 0
k
 k ) * Cm
M св
K0 
N
*  * P0
k
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Вероятность занятости каналов
обслуживания:
Pз  1  Р0
Абсолютная пропускная
способность:
А   * Рз
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Задача 2. Автозаправочная станция
представляет собой СМО с одним каналом
обслуживания - одной колонкой. Площадка
при станции допускает пребывание в очереди
на заправку не более трех машин одновременно.
Если в очереди уже находится три машины,
очередная машина, прибывшая к станции,
в очередь не становится, а проезжает мимо.
Поток машин, прибывающих для заправки,
имеет интенсивность λ = 1 маш /мин. Процесс
заправки продолжается в среднем 1,25 мин.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Определить:
• вероятность отказа;
• относительную и абсолютную
пропускную способности СМО;
• среднее число машин, ожидающих
заправки;
• среднее время ожидания машины в
очереди;
• среднее время пребывания машины на
АЗС, включая обслуживание.
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Имеем одноканальную систему с
отказами.
В системе имеется один канал, на
который поступает поток заявок с
интенсивностью λ = 1 маш /мин. Поток
обслуживания имеет интенсивность:
1
1
M 
 0,87 маш / мин
t 1,25 мин
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
S0 - канал свободен;
S1 - канал занят.
Составим систему уравнений:
 * P0  M * P1

 P0  P1  1
, тогда
предельные вероятности системы:
M
0,87

1
P0 

 0,465 P1 

 0,535
M
1  0,87
  M 1  0,87
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Вероятность отказа: P1 = 0,535
Относительная пропускная
способность СМО:
Q = 1 – Pотк = 1 – 0,535 =0,465 маш /мин.
Абсолютная пропускная способность
СМО:
A = λ * Q = 1 * 0,465 = 0,465 маш /мин.
Среднее число заявок за среднее время
обслуживания одной заявки (машины):

1


 1,15 маш.
M 0,87
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Среднее число машин, ожидающих
их заправки:
m
M
 ( k  n) * Pk
k  n1
где n = 1 – число обслуживающих
сирегатов (колонок);
m = 3 – число обслуживаемых
сирегатов (машин на площадке
ожидания);
,
Тема 16: «Теория массового
обслуживания»
§4. Замкнутые системы
06.05.2016
20:39
массового обслуживания
Pk – вероятность того, что колонка занята
(P1 = 0,535), или свободна (P0 = 0,465 );
М  2 * 0,465  3 * 0,535  2,54 маш.
Среднее время ожидания машины в
очереди:
tM
1
1


 0,39 мин .
M 2,54
Среднее время пребывание машины на
АЗС включая обслуживания:
t пр  tож  tоб  0,39  1,25  1,64 мин .