Модели со стохастическими регрессорами

Модели со стохастическими
регрессорами
Ранее мы предполагали, что COV(xi,ui)=0
На практике это не всегда справедливо
Причины:
1. В моделях временных рядов, регрессоры
являются функциями времени, что приводит к их
корреляции со случайными возмущениями
2. Регрессоры измеряются с ошибками т.е
являются случайными величинами
3. Использование лаговых переменных
Возможны три ситуации:
1. В уравнениях модели отсутствует корреляция
между регрессорами и случайным возмущением
(COV(xi,ui)=0 (оценки несмещенные и эффективные)
2. Регрессоры не коррелируют со случайными
возмущениями в текущих наблюдениях, но коррелируют со
случайными возмущениями в предыдущих наблюдениях:
COV(xi,ui)=0, CОV(xi,ui-1)≠0 (Оценки смещенные на
небольших выборках и состоятельные на выборках
большого объема)
3. Регрессоры коррелируют со случайными
возмущениями в текущих уравнениях наблюдений:
СOV(xi,ui)≠0 (Оценки смещенные и неэффективные)
Рассмотрим модель вида:
y t  a0  a1 xt  a2 y t 1  ut
(1.1)
Система уравнений наблюдений для модели (1.1)
y 1  a0  a1 x1  a2 y 0  u1 
y 2  a0  a1 x 2  a2 y 1  u 2 

y 3  a0  a1 x 3  a2 y 2  u 3 
.......... .......... .......... ...... 
y n  a0  a1 x n  a2 y n 1  u n 
y 1  f 1 u1
y 2  f 2 u1 ,u 2 
(1.2)
.......... .......... ..
y n 1  f n 1 u1 ,u 2 ,..., u n  2 
Лаговая переменная yt-1 коррелирует со случайным
возмущением в предыдущих наблюдениях
Модель (1.1) частный случай авторегрессионных
моделей
В эконометрике существуют две полезные двойственные
концепции, использование которых приводит к моделям с
лаговыми переменными:
1. Модель адаптивных ожиданий
2. Модель частичной корректировки
Спецификация простейшей модели адаптивных
ожиданий:



e
e
e
x t 1  x t  ( x t  x t )

2
2
Mut   0; Mut   u 

y t  a0  a1xet 1  ut
(2.1)
Переменные:
хt –реально наблюдаемая переменная
xet – ожидаемое значение переменной xt
В системе уравнений (2.1)
1. Текущее значение переменной yt объясняется
будущим ожидаемым значением xet+1 переменной xt
2. Второе уравнение системы (2.1) моделирует
процесс адаптации ожидаемого значения xet+1 к
реальному
Константа λ характеризует скорость адаптации xet+1 к
реальному значению xt
Запишем второе уравнение системы (2.1) в виде:
x   xt  1   x
e
t 1
e
t
(2.2)
λ=1 - адаптация ожиданий происходит мгновенно
λ=0 - адаптация не происходит вообще
Xet+1 интерпретируется как средневзвешенное значение
переменных xt и xet
Внимание. На первый взгляд модель (2.1) не имеет
практического применения имеет в спецификации не
наблюдаемую переменную.
Однако, если рекуррентно применить к (2.2) это же
соотношение, то получим:
x   x  1   x
 1    x
e
t 1
t
3
e
t 3
   1    ,
i
i
2
t 1
e
 1    x
e
t 2

(2.3)
 ...
i  1,2,3,...
(2.4)
Коэффициенты (2.4) – члены бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. При этом

 i  1
i 1
(2.5)
Функцию (2.4) целочисленного аргумента i называют
распределением лагов Койка
Подставив равенство (2.3) в первое уравнение модели
(2.1), получим модель адаптивных ожиданий в форме
модели распределенных лагов
yt  a0  a1( xt  1    xt 1  1   
e
 1   
3
x
e
t 3
2
x
e
t 2

 ...)  ut Mut   0 Mu   u 0    1
2
(2.5)
2
Здесь a0, a1, λ, σu – неизвестные параметры модели
a1 – предельное значение эндогенной переменной
модели (2.1) в долгосрочном периоде
a1λ – предельное значение переменной yt в
краткосрочном периоде
Модель (2.5) строится методом последовательных
приближений:
1. Переменная xet-1 аппроксимируется конечной суммой:
x
e
t 1
L,     x
 1    x t 1  ...  1    x t L
L
t
2. Задаются значением максимального лага
3. Задают набор значений параметра λ, например, (0.1,
0.001, 0.0001)
4. Для каждого λ рассчитывается значение переменной
Значение максимального лага «L» подбирается из
условия стабильности значений параметров в ответ на
изменение «L»
Запишем с учетом (2.2) первое уравнение системы (2.1)


yt  a0  a1  xt  1    xt  ut
e
(2.6)
То же уравнение в предшествующий момент времени
имеет вид:
y
 a0  a1 xt  ut 1
e
t 1
(2.7)
Умножив (2.7) на (1-λ), его можно привести к виду:
1  a x  1   y
e
1
t
t 1
 1   a0  1   ut 1
(2.8)
Раскрывая скобки в уравнении (2.6) и подставляя в него
правую часть уравнения (2.8), получим эквивалентную
форму модели (2.1)
y   a   a x  1  y
t
0
1
t
t 1
 ut  1  ut 1
(2.9)
Уравнение (2.9) называется преобразованием Койка
модели адаптивных ожиданий
Здесь лаговая переменная yt-1 замещает всю
бесконечную последовательность распределения Койка
Однако COV(yt-1,ut)=-(1-λ)σ2u≠0
Приемлемый метод оценки модели (2.9) – ММП!
Кейнсианская модель потребления прогнозирует, что с
ростом располагаемого дохода, средняя склонность к
потреблению снижается
C
APC 
 a0  a1
YT YT
(2.10)
Данный прогноз получил название «вечной стагнации»
Однако, практика опровергло этот прогноз
Следовательно Кейнсианская модель потребления
слишком проста для моделирования этого процесса
Фридмен предположил, что доход Yt и потребление Ct
имеют следующую структуру
Yt  Y  v t ;
e
t
Ct  C  ut
P
t
(11)
где: Yet – постоянная или ожидаемая часть дохода;
vt – нерегулируемая или случайная часть дохода;
CPt – постоянная часть потребительских расходов
ut – случайная часть потребительских расходов
При этом: M(ut)=M(vt)=0
Фридмен предположил, что постоянная часть текущих
потребительских расходов CPt полностью определяется
ожидаемой частью текущего дохода Yet
e

C a1 Yt
P
t
(2.12)
А ожидаемый уровень дохода подвержен процессу
адаптации к реальному значению Yt
Y Y
e
e
t
t 1


  Yt  Yt 1
e
0   1
(2.13)
Комбинируя (2.11), (2.12) и (2.13), получим модель
Фридмена потребительских расходов:
e
Ct  a1 Y t  ut
e
e
e
Y t  Y t 1  Y t  Y t 1
Mut   0
0   1
 u   
2
2
t
(2.14)
u
В результате Фридменская модель потребления в
преобразовании Койка имеет вид:
Ct   a1 Yt  1 Ct 1  ut  1 ut 1
(2.15)
Задача. Оценить модель потребления Фридмена для
экономики России
Исходные данные
ПотребГОД ление ВВП (Y)
(С)
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
719,8
691,2
736,0
735,3
736,8
698,0
758,8
850,7
902,7
975,5
1428,5
1368,9
1595,9
1293,7
1406,8
1547,5
1634,8
1555,1
1818,7
2011,7
Ct-1
719,8
691,2
736,0
735,3
736,8
698,0
758,8
850,7
902,7
Ct   a1 Yt  1 Ct 1  ut  1 ut 1
0,66401 0,1798
0
0,20373 0,0973 #Н/Д
0,99804 39,767 #Н/Д
1784,83
7 #Н/Д
5645063 11070 #Н/Д
Результаты оценки
модели
Ct  0.18 Yt  0.66 Сt 1 
Вид модели
(0.097) (0.20) (39.8)
  1  0.664  0.336 Склонность к потреблению
в краткосрочном
0.18
 0.53
a1 
долгосрочном периодах
0.336
В экономической практике часто приходится
моделировать не фактические значения эндогенной
переменной, а ее ожидаемое или целевое значение
Такие модели получили название модели частичной
корректировки
Общий вид такой модели следующий:
 *
y t  a0  a1 x t  ut

*



y t  y t 1
y t y t 1

2



M

0
M
u
u
t
t



0   1
(3.1)
В спецификации модели (3.1):
y*t –желаемое значение эндогенной переменной в
текущий момент времени
yt-1 – значение эндогенной переменной в
предыдущий период времени
xt – текущее значение экзогенной переменной
При этом значения переменной y*t наблюдению не
поддаются
Равенство во втором уравнении модели(3.1) моделирует
процесс настройки реального уровня эндогенной
переменной на ее ожидаемый уровень
Константа λ характеризует скорость настройки
Второе равенство модели можно записать так:
y t   y t 1    y t 1
*
(3.2)
При λ=1 настройка происходит мгновенно
При λ=0 Настройка не осуществима
Отметим, что спецификация (3.1) содержит четыре
неизвестных параметра: а0, а1, λ, σu
yt – средневзвешенное желаемого уровня эндогенной
переменной и фактическим ее значением в предыдущем
периоде
Подставив первое уравнение модели (3.1) в (3.2)
получим выражение:
yt  a0   a1  xt  1    yt 1   ut
(3.3)
Модель (3.3) имеет стохастический регрессор yt-1, однако
он не коррелирует со случайным возмущением ut , но
коррелирует со случайным возмущением ut-1
Поэтому оценку модели (3.3) необходимо проводить по
выборке большого объема
Оценив параметры модели (3.3), получим оценки всех
необходимых параметров: λ, а0 и а1
Модель корректировки уровня сбережений Лизера
Год
Доход
Yt
Сбере
жения
St
Сбере
Доход
жения
Yt
St
Год
1946
8,8
0,36
1955
15,5
0,59
1947
9,4
0,21
1956
16,7
0,90
1948
10,0
0,08
1957
18,6
0,82
1949
10,6
0,20
1958
19,7
1,04
1950
11,0
0,10
1959
21,1
1,53
1951
11,9
0,12
1960
22,8
1,94
1952
12,7
0,41
1961
23,9
1,75
1953
13,5
0,50
1962
25,2
1,99
1954
14,3
0,43
1963
26,0
2,03
1964
26,8
2,40
Спецификация модели
*
St  a0  a1 Yt  ut
(4.5)
где: S*t –ожидаемый уровень сбережений в текущем
году
Используется предположение:
*



λ
St St 1
St  St 1
(4.6)
Подставляя (4.5) в (4.6) после преобразования получим
St  λ a0  λ a1Y t  1 λSt 1  εt
(4.7)
Вводя новые значения параметров:
   a0
   a1
(4.8)
  1 
спецификация (4.7) принимает вид:
St     Yt   St 1  t
(4.9)
Оценка спецификации (4.9) по имеющимся данным
S t  0.865  0.089Y t  0.326 S t 1  εt
 0.246 
 0.023 
 0.2 
2
R  0.942
 0.154 
Возвращаемся к исходным параметрам согласно (4.8)
λ  1  μ  1  0.326  0.674
a1 
β 0.089

 0.132
λ 0.674
a0 
α  0.865

 1.283
λ
0.674
Выводы:
1. В моделях со стохастическими регрессорами
возникают проблемы с выполнением четвертой
предпосылки теоремы Гаусса-Маркова
2. К этому виду моделей относятся модели с
лаговыми эндогенными переменными в качестве
регрессоров
3. Уменьшение влияния не «полного»
невыполнения четвертой предпосылки на оценки
моделей достигается за счет увеличения объема выборки
4. На практике наибольшее распространение
получили модели «частичной корректировки» и
«адаптивного ожидания»