Разработка урока по алгебре "Формулы сокращенного умножения"

«Формулы сокращенного
умножения»
Алгебра 7 класс
«Формулы сокращенного умножения»
Крупнова Г.Н., учитель математики
МБОУ СОШ №32
«У математиков существует свой
язык- это ФОРМУЛЫ»
С. В. Ковалевская
(1850г. - 1891г.)
Предлагаемый урок является уроком обобщения и систематизации знаний,
заключительным этапом усвоения формул сокращенного умножения.
От восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию
понятий, их категорий и систем, от них к усвоению более сложной системы знаний.
Тип урока:
Урок обобщения и
систематизации знаний.
Цель урока:
Систематизировать знания обучающихся
по данной теме для дальнейшего овладения
техникой преобразования алгебраических
выражений с использованием формул
сокращенного умножения.
Оборудование:
-мультимедийное
оборудование;
-компьютерная презентация;
-учебник
«Алгебра
7
класс»,
(Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.
Нешков, С.Б. Суворова М.: Просвещение 2011г.);
-раздаточный материал;
-оценочные листы.
Задачи урока:
-выявить качество знаний обучающихся;
-обобщить знания по теме «Формулы
сокращенного умножения»;
- развивать познавательный интерес к предмету;
-формировать умение преодолевать трудности
при решении задач;
-формировать навыки рационального счета;
-формировать навыки самоконтроля
взаимоконтроля;
-формировать аналитическую деятельность.
Формы и методы обучения.
Формы организации учебной
Методы обучения,
деятельности обучающихся
используемые на уроке







Фронтальный опрос
Работа в парах
Групповая работа
Индивидуальная работа
Игра
Самостоятельная работа




Словесный (беседа,
объяснение) метод
Наглядный метод
Частично-поисковый
метод
Метод учебной работы
по применению знаний
на практике
Метод проверки и оценки
знаний, умений и
навыков
*Формы и методы обучения выбраны в соответствии с типом урока.
Структура урока








Организационный момент -1 минута.
Актуализация опорных знаний - 2 минуты.
Воспроизведение и коррекция опорных знаний – 9
минут.
Повторение и анализ основных фактов – 5 минут.
Обобщение и систематизация знаний и их
применение для выполнения новых практических
заданий-20 минут.
Систематизация теоретических знаний - 5 минут.
Подведение итогов урока - 2 минуты.
Домашнее задание - 1 минута.
Организационный момент
(1 минута)
Предварительная организация класса: проверка отсутствующих,
состояние рабочих мест, рабочей позы и внешнего вида
обучающихся. Учитель настраивает обучающихся на успешную
работу.
Дидактические
задачи
Подготовка к
уроку,
активизация
деятельности
обучающихся
Деятельность
учителя
Создание
комфортной
рабочей
обстановки
Деятельность
учащихся
Проверка
готовности
рабочего места к
уроку, настрой на
успешную работу
Метод
Словесный
Формы
Фронтальная
II. Актуализация опорных знаний(3 минуты)
С помощью беседы учитель осуществляет психологическую
подготовка обучающихся: сосредоточение внимания, осознание
значимости предстоящей деятельности. Обозначая проблему,
пробуждает интерес к уроку.
Наш сегодняшний урок посвящен
ФОРМУЛАМ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ.
На протяжении многих уроков мы
с вами изучали формулы
сокращенного умножения и пришли
к выводу, что работать с ними
необходимо очень внимательно.
Актуализация опорных знаний
.
Сегодня на уроке мы еще раз увидим, какая
удивительная сила заключается в изученных формулах и как
они работают при преобразовании выражений. Хорошее
знание формул позволит применять их в различных
математических ситуациях.
Девизом нашего урока я выбрала слова академика
Н.А. Александрова:
«Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас
«формальность», а чтобы вы творчески подходили к
применению их на практике».
Актуализация опорных знаний
Попробуй выполнить устно
.
Вычислить :
201 * 199.
Найти значение выражения:
125-(5-3х)*(25+15х+9х 2), при х=-4/3.
Разложить на множители:
9в8 - 25 а6
III.
Воспроизведение и коррекция
опорных знаний ( 9 минут )
Воспроизведение и коррекция знаний по теме осуществляются через устное
повторение формул сокращенного умножения (игра кубик-экзаменатор),
выполнение проверочных тестов с последующей самопроверкой и
взаимопроверкой. При обсуждении результатов выявляются пробелы
и производится их коррекция.
Устное повторение формул
сокращенного умножения
Давайте вспомним изученные
нами формулы сокращенного
умножения и отведем им
почетное место на доске
(вызванные ученики, бросая
кубик-экзаменатор, записывают
на заранее отведенное место на
доске выпавшую формулу и
устно формулируют ее).
Развертка
кубика-экзаменатора :
(а + в)2
а2-2ав + в2
(а-в)3
а3 - в3
(а-в)(а+в)
а3- 3а2в+3ав2в2
Воспроизведение и коррекция
опорных знаний
Тест 1
Обучающимся предлагается тест на проверку формул
сокращенного умножения и умения воспринимать их на слух.
Вариант 1:
1.Квадрат суммы двух выражений.
2. Произведение суммы двух
выражений и неполного квадрата
разности.
3. Разность квадратов двух
выражений.
4. Квадрат первого выражения
минус удвоенное произведение
первого и второго выражений
плюс квадрат второго выражения.
5. Разность кубов двух
выражений.
6. Куб суммы двух выражений.
7. Произведение разности двух
выражений и их суммы.
Вариант 2:
1.Произведение разности двух
выражений и их суммы.
2. Квадрат первого выражения
плюс удвоенное произведение
первого и второго выражений
плюс квадрат второго выражения.
3. Сумма кубов двух выражений.
4. Произведение разности двух
выражений
и неполного квадрата суммы.
5.Куб разности двух выражений
6. Квадрат разности двух
выражений.
7. Разность квадратов двух
выражений
Воспроизведение и коррекция
опорных знаний
Учитель читает выражение, входящее в одну из формул,
а обучающиеся записывают соответствующий ей номер
(формулы пронумерованы).
1. а 3 + в 3
2. (а – в) 2
3. а 2 – в 2
4. а 3 – в 3
5. (а + в) 2
6. (а - в)3
7. (а + в)3
Поверка теста
Для проверки теста учитель показывает карточки с правильным
набором цифр, ученики проверяют свою работу и заносят
в оценочный лист количество верно выполненных заданий.
Ответы:
1-й вариант: 5 1 3 2 4 7 3
2-й вариант:
3 5 1 4 6 2 3
Тест 2
На экран проецируются равенства. Ученики должны записать
ответы («+», если равенство верно; «–», если равенство
неверно) в заранее заготовленную таблицу.
Вариант 1
1) 4а 2 - 9в2=(2а - 3в)(2а + 3в)
2) (2а -3в)2=4а2 - 12ав + 9в2
3) (2а – 3в)3=8а3 -18а2в+18ав2+27в3
4) (m + 4n)2=m2 + 8mn + 16n2
5) (a + в)2=(а - в)2
6) 8х3+1=(2х+1)(4х2-2х+1)
7) 64а3-в3=(4а+в)(16а2- 4ав+в2)
8) у2-10у+25=(у+5)2
9) (а-в)2=в2-а2
Вариант 2
1) 4х2 -1= (2х -1)2
2) (х - 2у)2 = х2 +4у2
3)(х + 2у)3= х3 + 6х2у+6ху2 + 8у3
4) (c - d)2=(d-c)2
5)(2х+y)2= 4х2+4ху+у2
6) 27а3+1= (3а+1)(9а2+3а+1)
7) c3-8d3=(c-2d)(c2+2cd+4d2)
8) 9m2-6mn-n2= (3m –n)2
9) (а-в)(а-в)=а2-в2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Для проверки теста учитель
проецирует ответы на экран.
Осуществляется взаимопроверка, результаты которой
обучающиеся заносят в оценочный лист.
Вариант 1
+
+
-
+
-
+
-
-
-
Вариант 2
-
-
+
+
+
-
+
-
-
После проверки учитель комментирует правильные равенства,
проецируя их на экран.
Учитель анализирует выполненную работу и
комментирует равенства, проецируя их на
экран.
Вариант 1
1) 4а 2 - 9в2=(2а - 3в)(2а + 3в)
2) (2а -3в)2=4а2 - 12ав + 9в2
3-18а22в+18ав22
3 3
8а3-18а
3) (2а – 3в)3=8а
в+18ав -27в
+27в
4) (m + 4n)2=m2 + 8mn + 16n2
2)
2
(а-2+в)
2ав+в
5) (a + в)2=(а
6) 8х3+1=(2х+1)(4х2 - 2х+1)
7) 64а3-в3=(4а+в)(16а
(4а-в)(16а22-4ав+в
+4ав+в22))
8) у2-10у+25=(у+5)
(у-5)22
2-а
2
2-2ав+в
2)
9) (а-в)2=в(а
Вариант 2
(2х-1)(2х+1)
1) 4х2 -1= (2х
-1)2
2)
-4ху+4у
2 2+4у
2
2) (х - 2у)2 = х(х
3) (х + 2у)3= х3 + 6х2у +6ху2+ 8у3
4) (c - d)2=(d-c)2
5)(2х+y)2= 4х2+4ху+у2
2-3а+1)
(3а+1)(9а2+3а+1)
6) 27а3+1= (3а+1)(9а
7) c3-8d3=(c-2d)(c2+2cd+4d2)
-6mn+n22= (3m –n)2
8) 9m22-6mn-n
9) (а-в)(а+в)
(а-в)(а-в)=а2-в2
IV. Повторение и анализ основных
фактов – 5 минут
На данном этапе урока знания не только систематизируются
и обобщаются, но также свертываются и автоматизируются.
Обучающиеся работают в группах, используется метод проверки
и оценки знаний, умений и навыков.
Задание 1 (работа в группах)
Обучающиеся разбиваются на 3 группы и собирают из заранее
заготовленных карточек верные равенства. Обучающиеся
должны дать объяснение, почему две карточки не содержат пары
(фронтальная работа).
Карточки - задания
(а + в)2
25в2-40ав+16в2
а3-в3
а2 + в2
4в2 - 36а2
(а2-в2)
а2-ав+в2
а3+в3
а2+2ав+в2
(5в - 4а)2
(а - в)(а + в)
(в +2с)3
(а+в)(а2-ав+в2)
в3-125а3
8в3-18а2в+18ав2-27а3
64х2+48ху+9у2
(а-в)(а2+ав+в2)
(а-в)2
(2в-6а)(2в+6а)
(8х+3у)2
(2в - 3а)3
(а + в)2
(в-5а)(в2+5ав+25а2)
в3+6в2с+6вс2+8с3
Проверка
Проверив выполненную работу в группе, учащиеся
проставляют в оценочные листы количество правильно
составленных равенств.
(а + в)2
= а2+2ав+в2
4в2 - 36а2 = (2в-6а)(2в+6а)
а3-в3
= (а-в)(а2+ав+в2)
(а2-в2)
= (а - в)(а + в)
(а-в)2
=
(в-а)2
(в-5а)(в2+5ав+25а2) =
(2в - 3а)3 = 8в3-18а2в+18ав2-27а3
(в +2с)3 =
в3+6в2с+6вс2+8с3
Почему данные
выражения лишние
?
25в2-40ав+16в2 = (5в - 4а)2
(а+в)(а2-ав+в2) =
в3-125а3
а3+в3
(8х+3у)2 = 64х2+48ху+9у2
а2-ав+в2
а2 + в2
V. Обобщение и систематизация знаний и
их применение для выполнения новых
практических заданий - 20 минут.
Учитель возвращается к проблемному вопросу, который был
поставлен в начале урока
Попробуй выполнить устно
Вычислить :
201
* 199.
.
Найти значение выражения:
125-(5-3х)*(25+15х+9х 2), при х=- 4/3.
Разложить на множители:
9в8 - 25 а6
Обобщение и систематизация знаний и их
применение для выполнения новых
практических заданий
Учитель предлагает обсудить решение заданий
(фронтальная работа):
1. Вычислить устно:
201*199=( + ) (
- )=
.
2
-
2
Обобщение и систематизация знаний и их
применение для выполнения новых
практических заданий
Решение:
Действительно, можно поставить вместо
число 200, а вместо
- число 1 и воспользоваться
формулой разности квадратов а2-в2=(а - в)(а + в), и
тогда получим
201*199=(200 + 1)(200 - 1)=2002-12 = 40000-1 = 39999
Обобщение и систематизация знаний и их
применение для выполнения новых
практических заданий
На экран проецируется подсказка
(формула разности кубов)
а3-в3= (а-в)(а2+ав+в2)
Во время фронтальной беседы обсуждается выполнение данного
задания, после чего на экран проецируется решение.
Найти значение выражения:
125-(5-3х)*(25+15х+9х 2), при х=-4/3.
Решение:
125-(5-3х)*(25+15х+9х 2)=125-(125-27х3)=
=125-125+27х3=27х3
При х=-4/3 получаем 27*(-64/27)=-64.
.
Обобщение и систематизация
знаний
и их применение для выполнения новых
практических заданий
На экран проецируется подсказка
(формула разности квадратов)
а2-в2 =(а - в)(а + в)
Разложить на множители:
9в8 - 25 а6 = ( * )2 - ( * )2 =
Обучающимся предлагается самостоятельно продумать
выполнение задания.
Один из обучающихся объяснят решение задания.
Обобщение и систематизация знаний и их
применение для выполнения новых
практических заданий.
1.
2.
3.
4.
№ 970 (а, г, ж)
№ 971 (а, б, в)
№ 981(а, б, в)
№ 989 (а, б)
Индивидуальная работа
по карточкам
Учитель раздает учащимся карточки с дифференцированными
заданиями по мере выполнения работы:
Карточка 1
1. Разложить на множители:
а)Х4+10х2+25
б)4а4-12а2+9
2. Упростить выражение:
(а-2в)3+6ав(а-2в)
3. Заполни пропуски:
в) (…)3 – (…)3 = (3х – 4у)(……………..)
г) (5х + …)2 = … + … + 9
4. Найти значение выражения:
Карточка 2
1. Разложить на множители:
а)16х4-81у4
б)2,25m6- 49/100 с4
2.Упростить выражение:
(3в+а)3-9ав(в+а)
3. Заполни пропуски:
а) … – 16ав + … = ( … – 1)2
б) … – 4а4 = (…..)(3в + …)
4. Найти значение выражения:
1/3(8,573-5,573)- 3*8,57*5,57
Индивидуальная работа
по карточкам
Оценки за практическую работу и работу по карточкам
обучающиеся получают на следующем уроке.
Карточка 3
1.Вычислить 108*92;
2. Представить в виде
многочлена:
а) 5у(у2-3)(у2+3);
б)(2а-5)2-(5а-2)2.
в) (…-3в)3=125а3-…+…-…
3. Докажите, что значение
выражения не зависит от
переменной:
(а - 3)(а2-8а + 5) - (а - 8)(а2 - 3а + 5)
Карточка 4
1. Найти значение выражения:
0,7832-0,2172
2. Представить в виде многочлена:
(х+у+1)(х+у-1)
3. Представьте в виде квадрата
двучлена:
а) а4-8а2+16,
б)а6в2+12а3в+36
4. Представить в виде многочлена
(5х + …)3 = … + … + …+27
Физпауза
Для предупреждения утомления, снятия эмоциональной
напряженности обучающихся учитель проводит физпаузу
(используются элементы технологии здоровьесбережения).

Зарядка для глаз (слайд)
Физпауза
Для предупреждения утомления, снятия эмоциональной
напряженности обучающихся учитель проводит физпаузу
(используются элементы технологии здоровьесбережения).
Зарядка для глаз
VI. Систематизация теоретических
знаний - 5 минут.
На данном этапе используется фронтальная форма работы,
наглядный и частично-поисковый методы.
Для подведения итога и анализа усвоенных знаний учитель
предлагает обучающимся задание на «подведение объекта
под понятие». Выполняя его, обучающиеся учатся выделять
понятия (в данном случае формулы), устанавливают, при каких
условиях данный объект может быть отнесен к данному понятию,
обладает ли данный объект признаками, характерными для
понятия. Выполнение задания требует анализа, осмысления
изученного материала. При выполнении его требуются
«смысловое» (без вычислений) решение задач.
1. Учащиеся выбирают из имеющихся на доске формул формулы
сокращенного умножения.
2. Соотносят предложенные выражения с формулами сокращенного
умножения.
Смотрите следующие
слайды
(а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3
S=ав
Формулы
а3+в3=(а+в)(а2 ав+в2)
а2-в2=(ав)(а+в)
S=V t
(а-в)3=а3
-3а2в+3ав2-
в3
Р=4а
V=а
3
а3-в3=(ав)(а2ав+в2)
а2+2ав+в2=(
а+в)2
а2-2ав+в2=(ав)2
Р=2(а+в)
V=ав
с
4х2-(2х+1)(1-2х)
(4в-8)3
Выражения
16х2+81у2-72ху
(х+4)(х2 -4х+16)-24
Х3-6х2у+6ху2-8у3
(5к3+6)2
1—216р3
(2х3- у)2
44вс+121в2+4с2
(х-2)(х2+2х+4)
Х3-9х2у+9ху2-27у3
C3+d6
VII. Подведение итогов урока
По результатам работы обучающиеся вносят баллы
в оценочные листы
Разность квадратов
двух выражений
а2-в2=(ав)(а+в)
612 - 392
0,36 - 0,81m2
Квадрат суммы
двух выражений
а2+2ав+в2=(
а+в)2
Квадрат разности
двух выражений
а2-2ав+в2=(ав)2
(4 m + n3)2
44вс+121в2+4с2
4х2-(2х+1)(1-2х)
(5к3+6)2
(-2х3+5а2)(-5а2-2х3)
- 4х(1 + 2х3)2 + 15х4
(2m2-11n)2
(2х3- у)2
16х2+81у2-72ху
(4-5р)2=(3-5р)2-3
Подведение итогов урока
Знание формул сокращенного умножения, умение видеть их в
задачах, позволит в дальнейшем без особого труда использовать
формулы в различных математических ситуациях.
Куб суммы двух
выражений
Сумма кубов
двух выражений
а3+в3=(а+в)(а2ав+в2)
Куб разности
двух выражений
Разность кубов
двух выражений
(а - в)3=а3 - 3а2в+3ав2- в3
а3-в3=(ав)(а2+ав+в2)
(а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в
3
(х+4)(х2 - 4х+16)-24
Х3 - 9х2у + 9ху2- 27у3
(х-3у)(х2+3ху+9у2)
х9+3х6у3+3х3у6+у9
(х+3)(х2- 3х+9)
Х3- 6х2у+6ху2- 8у3
(х-2)(х2+2х+4)
Х6+3х4у2+3х2у4+у6
m3+0,064n3
(3а-в)3
1—216р3
(3а+2с)3
C3+d6
Х3+у3+3ху(х+у)
(4в-8)3
х6у3-с3
Подведение итогов урока
За работу на уроке обучающиеся выставляют оценки
в оценочные листы
Оценочный лист
Оценочный лист _____________________________ (Ф.И. учащегося)
Тест 1 _____________________ (количество правильных ответов, самопроверка)
Тест 2
_____________________(количество правильных ответов, взаимопроверка)
Работа в группе ____________ _____________ (количество правильных ответов)
Фронтальный опрос ___________________________________ (количество баллов)
Оценка _______ (ученик)
Оценка ___________(Учитель)
Критерии оценивания:
от 33-27 баллов «5»;
от 23-26 баллов «4»;
от 15-22 баллов «3»
VIII. Домашнее задание
Учитель дает инструктаж по выполнению домашней работы.
В домашнее задание включены упражнения, подобные тем, которые
обучающиеся выполняли на уроке, а также задание на повторение
(повторяется умножение многочлена на многочлен) для подготовки
обучающихся к новой теме «Преобразования целых выражений».
№ 970 (б, д, е);
№ 971 (г, д, е);
№ 981(д, е, ж);
№ 989 (в, г);
№ 903 (а).
«Открытия рождаются там, где кончается знание учителя, и
начинается новое знание ученика»
К.А.Федин