15 Бородин М.Ю

Анализ режимов
преобразователей
частоты с рекуперацией
энергии
Бородин Михаил Юрьевич, доц., к.т.н.,
Бородин Евгений Михайлович, к.т.н.,
Бортников Михаил Евгеньевич
1
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Активный выпрямитель
В
предлагаемой
работе
рассматривается
активный
выпрямитель
напряжения
(АВН),
работающий
на
нагрузку
типа
звена
постоянного
тока
преобразователя частоты (ПЧ)
для
асинхронного
электропривода.
Предполагается,
что
АВН
реализован
на
быстродействующих
IGBT
ключах,
шунтированных
обратными
диодами,
а
алгоритмы
управления
обеспечивают
как
выпрямительный,
так
и
рекуперативный
энергетические режимы.
Схема силовых цепей
активного выпрямителя
2
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Активный выпрямитель
Рассматривается
новый
подход к анализу процессов в
активном
выпрямителе
напряжения.
Предложена u*пк.х
математическая
модель
активного
выпрямителя
в
2U
0
форме системы интегральных
уравнений. Модель пригодна
для
случая
разрывных
*
управляющих и возмущающих u пк.y
воздействий. Показано, что
решение
этой
системы
сводится к решению системы
линейных уравнений.
3
2

f
1
pLр+ Rр
x
ix
iн
Lр
ud
k
Lр

f
y
U
y
1
pLр+ Rр
id
1
pC
iy
3
2
2U
0
Структурная схема математической
модели активного выпрямителя
3
ud
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Математическая модель активного выпрямителя
d
X = AX + BZ
dt
, где
X =,(ix ,iy , ud )T
Z = (ux ,uy, un )T
Матрицы А и В применительно к АВН
имеют вид:

r
 
l


A    k

 3u *
 nk . x
 4U 0Cd
k

r
l
*
3unk
.y
4U 0Cd
*

u nk
 .x 
2U 0l 
*

u nk
.y


2U 0l  ,

0 

1 1 1
B  diag  , ,
 l l Cd



4
(1)
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Переход к интегральным уравнениям -1
Перепишем систему дифференциальных уравнений (1) в следующем виде,
уединив слева их линейную часть
*
u nk
1
l d
l
.x
ud  u x
  ix  ix   k i y 
2U 0 r
r
 r  dt
r
*
u nk
1
l d
l
.y
ud  u y
  i y  i y   k ix 
2U 0 r
r
 r  dt
r
(2)
*
*
3
u
3unk
d
1
nk
.y
.x
ud 
ix 
iy 
iн
dt
4U 0Cd
4U 0Cd
Cd
Для первых двух уравнений системы (2) дифф. оператор имеет вид
F{u}   A 
где A и B - произвольные действительные константы.
du
 Bu
dt
Для последнего уравнения системы (2) дифф. оператор имеет вид
D{u} 
du
dt
5
ξ
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Переход к интегральным уравнениям -2
Для оператора
F{u}   A 
du
 Bu
dt
функция Грина будет иметь вид
(t   )  0;
0,

G (t ,  )   1
B

exp
 (t   ) , (t   )  0;
A
A


(3)
ξ
Можно видеть, что она является решением уравнения
F{u} = d (t, x )
где x
0…Т.
- точка внутри отрезка времени
Аналогичным образом, для дифференциального оператора вида D{u}=du/dt функция Грина
будет иметь вид
0,   x
H (t ,  )  
1,   x
(4)
6
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Переход к интегральным уравнениям -3
Домножим левую и првую части системы (2) на соответствующие функции Грина (3),(4) и
проинтегрируем их по отрезку времени.
Получим
d
dG (t ,  )
 du



A


Bu
G
(
t
,

)
dt

A

uG
(
t
,

)

Au
dt   BuG (t ,  )dt 
0  dt
0 dt

dt

0
T
T
 AuG(t ,  )
T
dG (t ,  )


  u  A
 BG (t ,  ) dt ,
0
dt

0 
T
T
()
откуда с учетом свойств дельта-функции,
 du

A


Bu
0  dt
G(t ,  )dt AuG(T ,  )  AuG(0,  )  u 
T
(5)
Аналогично, для оператора дифференцирования :
T
du
0 dt H (t,  )dt u(T ) H (T ,  )  u(0) H (0,  )  u( )
7
(6)
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Переход к интегральным уравнениям -4
С учетом того, что
уравнений :
G (t ,  )  0
при
t 
, получим следующую систему интегральных

*
 l 
unk
1 
l
ix ( )   ix (0)G(0,  )    k i y  . x ud  u x G(t ,  )dt
r
2U 0 r
r 
r
0  
*

 l
unk
1 
l
.y
i y ( )   i y (0)G (0,  )     k ix 
ud  u y G (t ,  )dt
2U 0 r
r 
r
0 
 r
*
*
 3unk
3
u
1 
nk
.y
.x
ud ( )  ud (0)   
ix 
i y  un  dt
4U 0Cd
Cd 
0
 4U 0Cd

8
(7)
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Дискретизация интегральных уравнений
В соответствии с методом квадратур, заменим интегралы суммированием по отрезкам
интегрирования :
*
N
 l 

unk
l
.x
ix ( i )   ix (0)G (0,  i )    k i y (ti ) 
ud (ti )G (t j ,  i )ti 
2U 0 r
r
j 1  r 

1 N
  u x (ti )G (t j ,  i )ti
r j 1
*
N
 l 

unk
l
.x
i y ( i )   i y (0)G (0,  i )    k ix (ti ) 
ud (ti )G (t j ,  i )ti 
2U 0 r
r
j 1  r 

1 N
  u у (ti )G (t j ,  i )ti
r j 1
*
N 3u *
 3unk

nk . y
.x
ud ( i )  ud (0) H (0,  i )   
ix (t j ) H (t j ,  i )ti  
i y (t j )H (t j ,  i )ti 
j 1  4U 0Cb
j 1 4U 0Cb

N
1

un (t j )H (t j ,  i )ti
j 1 Cd
N
9
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Дискретизация интегральных уравнений. Матричный вид -1
Lx = f
(8)
где
x = (i1x ...ixN ,i1y ...iyN , u1d ...udN )T
1 N
1 N
0
f  (i   u x (t j )G (t j , 1 )t j ...ix   u x (t j )G (t j ,  N )t j ,
r j 1
r j 1
0
x
1 N
1 N
0
i   u y (t j )G (t j , 1 )t j ...ix   u y (t j )G (t j ,  N )t j ,
r j 1
r j 1
0
y
N
N
1
1
0
u 
ud (t j )H (t j , 1 )t j ...u d  
u d (t j )H (t j ,  N )ti ,
j 1 C d
j 1 C d
0
d
10
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Дискретизация интегральных уравнений. Матричный вид -2
Матрица L имеет вид:
 A IX
 IX
L B
 C IX

Aij
IX
A IY
B IY
C IY
AUD 

UD
B 
0 
 1, (i  j, j  N , J  N )
 0, (i  j, j  N , J  N )


 G (T ,  i ), ( j  N , i  N )
1  G (T ,  i ), ( j  N , i  N )
Bij
Bij
IY
UD
l
  k G (t j ,  i )ti
r
B IY = A IY
Aij
IY
Aij
l
  k G (t j ,  i )ti
r
UD
U * pk . x

k G (t j , i )ti
2U 0 r
U * pk . x

k G (t j , i )ti
2U 0 r
Вычислительные эксперименты показали, однако, что использование записи уравнения в форме (8)
требует значительного объема памяти, использование итерационных методов при этом неэффективно.
11
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Дискретизация интегральных уравнений.
Рекуррентная форма-1.
Можно видеть, что система интегральных уравнений (3) является,
фактически системой уравнений типа Вольтерра II-го рода:

xn
U ( )   K ( ,t )U (t )dt  f ( )
0
i
U (i )   K (i ,t )U (t )  f (i )
0
xi
x1
 , t  [0, T ]
, где [0,T] — промежуток времен

— точка наблюдения.
U
— искомая функция;
K ( ,t ) — ядро интегрального уравнения
t, c
12
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Дискретизация интегральных уравнений.
Рекуррентная форма-2.
Дискретизация интегрального уравнения в методе квадратур
 U n   K n1
U   K
 n 1   ( n 1)1
   

 


  
 U1   K11
Kn2
K ( n 1) 2


0
K n3
K ( n 1)3


0
 K nn   U n   f n 
 0  U n 1   f n 1 
        

 

       
 0   U1   f1 
Варианты вычисления коэффициентов в методе квадратур
Формула прямоугольников:
Формула трапеций:
Ki, j  K (i ,t j )h
i 1
h
h
h
U i  K (i 1 ,ti 1 )U i 1  /(1  K (i ,ti ))   ( K (i ,t j 1 )U j 1  K (i ,t j )U j )
2
2
j 2 2
Вычислительные эксперименты показали, что
использование формулы прямоугольников приводит к значительному снижению точности.
Поэтому, далее во всех расчетах использовалась формула трапеций.
13
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Сопоставление
решения задачи
времени -1.
чувствительности
методов
Коши к дискретизации по
Условие устойчивости явного метода Рунге-Кутты: h<2,73Tmin, где Tmin —
наименьшая постоянная времени исследуемой системы.
14
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Сопоставление
решения задачи
времени -2.
чувствительности
методов
Коши к дискретизации по
15
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Сопоставление
решения задачи
времени -3.
чувствительности
методов
Коши к дискретизации по
Можно видеть, что, хотя метод квадратур более чувствителен к увеличению шага по времени,
чем метод Рунге-Кутты для системы ОДУ, он в то же время сохраняет работоспособность
в зоне неустойчивости метода Рунге-Кутты.
16
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Заряд конденсатора-1
17
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Заряд конденсатора-2
Можно видеть следую
18
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Заряд конденсатора-3
Кривая расчета методом Рунге-Кутты смещена вниз на 50 В из-за полного
совпадения
19
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Прием нагрузки-1
Наброс нагрузки. Ix.
График метода квадратур сдвинут на 50 А относительно метода Рунге-Кутты
20
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Прием нагрузки-2
Наброс нагрузки. Iy.
График метода квадратур сдвинут на 50 А относительно метода Рунге-Кутты
21
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Перевод в режим рекуперации-1
Наброс нагрузки в отрицательную сторону. Ix.
График метода квадратур сдвинут на 50 А относительно метода Рунге-Кутты
22
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Рекуперация-2
Наброс нагрузки в отрицательную сторону. Iy.
График метода квадратур сдвинут на 50 А относительно метода Рунге-Кутты
23
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Рекуперация-3
Наброс нагрузки в отрицательную сторону. Напряжение.
График метода квадратур сдвинут на 50 В относительно метода Рунге-Кутты
24
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Перевод преобразователя
в режим генерации реактивной мощности-1
Весь переходный процесс. Выделенный рамкой участок – на следующем
слайде
25
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Перевод преобразователя
в режим генерации реактивной мощности-2
Выделенный на предыдущем слайде участок
26
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Примеры расчетов. Перевод преобразователя
в режим генерации реактивной мощности-3
Напряжение, весь переходный процесс. График, полученный методом РунгеКутты, смещен вверх на 50В
27
Бородин М.Ю.
Анализ режимов преобразователей частоты с рекуперацией энергии
Выводы
1.
Выполнено моделирование основных режимов активных выпрямителей. Инструментарий –
аппарат интегральных уравнений . Эталонные расчеты выполнены методом Рунге – Кутта.
2. Обнаружены преимущества подхода при решении задачи моделирования:
Преимущества:
отсутствие дифференцирования в уравнениях , что существенно при разрывных управляющих и
возмущающих сигналах;
устойчивость при большом шаге по времени
меньшая чувствительность к дискретизации по времени. Например, к увеличению шага по
сравнению с методами численного решения ДУ;
получение решения в виде ряда, распараллеливание вычислений при реализации СУ;
в спектральной области;
3. Перспективы использования метода интегральных уравнений:
Инструментарий распараллеливания алгоритмов. Задача моделирования - вычисление определенного
интеграла. Задача построения системы управления – решение получается в виде ряда, члены
которого могут вычисляться параллельно. Представление сигналов, обеспечивающее как
временную, так и частотную локализацию (например, вейвлетов), позволяет разделить задачу на
ряд паралелльно решаемых подзадач, относящихся к разным частям спектра;
Представление сигналов в ИУ математически родственно спектральному, структура уравнения
идентична уравнению свертки Фурье. . Модель ОУ и система управления могут быть получены в
спектральной области. Возможен синтез систем принципиально иной структуры.
Недостатки метода:
сравнительно большой объем вычислений.
-бОльшая по сравнению с ДУ погрешность на начальном этапе расчета;
при использовании мат. описания в форме ИУ использование спектрального представления сигналов
.
28