Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА экономико-математические методы и прикладные модели Вариант № 9 Студент: факультет учетно-статистический, специальность бухгалтерский учет, анализ и аудит, вечерняя группа, 3 курс № личного дела Преподаватель: Арланцева Елена Руслановна Калуга – 2009 г. Содержание Задача 1………….. Задача 2………….. Задача 3…………. Задача 4…………… 2 Задача 1 При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса задан в таблице. Таблица 1 Норма затрат ресурсов на товары Ресурсы 1-го вида 2 1 4 0 1 2 3 4 2-го вида 2 2 0 4 Общее количество ресурсов 12 8 16 12 Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.. Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему? Решение Имея данные о прибыли от реализации каждого вида продукции, преобразуем Таблицу 1 в Таблицу 2. Таблицу 2 Норма затрат ресурсов на товары Ресурсы Общее количество 1-го вида 2-го вида ресурсов 1 2 2 12 2 1 2 8 3 4 0 16 4 0 4 12 3 Прибыль от продажи 2 3 1. Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть х1 и х2 - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для получения максимальной прибыли. Тогда экономико-математическая модель будет иметь вид: F(X)= 2x1 +3x2 → max, при ограничениях в количестве ресурсов. X = (x1;x2) – вектор, при котором F(X) → max и выполняются ограничения 2 х1 2 х2 12 х 2х 8 1 2 4 х1 16 4 х2 12 х1 ≥ 0, х2 ≥ 0. Для получения решения графическим методом строим прямые: 2 x1 2 x2 12 1x1 2 x2 8 x1 0 6 x1 0 8 x2 6 0 x2 4 0 4 x1 16 4 x2 12 x1 4 x2 3 4 Область допустимых решений: заштрихованная плоскость. Строим прямую: 2 x1 3 x2 0 x1 0 -3 x2 0 2 И вектор c (2;3) Максимум ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от прямой 2 x1 3 x2 0 по направлению вектора c . Он достигается либо в точке А, либо в точке В. Найдем их координаты: 1x1 2 x2 8 x1 0 А (0; 4) 1x1 2 x2 8 2 x 2 x 12 2 1 4 x1 16 В (4; 2) Теперь найдем значение целевой функции в каждой точке: f A f 0;4 2 0 3 4 12 5 f B f 4;2 2 4 3 2 14 Таким образом, максимум функции достигается в точке В. Для того, чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида. Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой 2 x1 3 x2 0 по направлению вектора c . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0. Значит, для того, чтобы получить минимально возможную прибыль (в данном случае вообще не получить ее) необходимо не производить продукцию. 6 Задача 2 Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице. Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья Тип сырья А Б В Г I II III 2 1 3 1 5 0 0,5 3 6 4 0 1 Цена изделия 7,5 3 6 12 2400 1200 3000 Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида; - оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед. 7 Решение. 1) Пусть необходимо изготовить x1 единиц изделия А, x2 единиц изделия Б, x3 единиц изделия В и x4 единиц изделия Г. Прямая оптимизационная задача на максимум прибыли имеет вид: f x 7,5 x1 3x2 6 x3 12 x4 max 2 x1 x2 0,5 x3 4 x4 2400 x 5 x 3 x 1200 1 2 3 3 x1 6 x3 x4 3000 xi 0 Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные: A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D E F G Задача 2 Значения переменных Коэф. целевой ф - ии Х1 0 7,5 X2 0 3 X3 0 6 X4 0 12 ЦФ =СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B5:E5) Ограничения I II III 2 1 3 1 5 0 0,5 3 6 4 0 1 Левая часть =СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B8:E8) =СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B9:E9) =СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B10:E10) A 2 3 4 Значения переменных 5 Коэф. целевой ф - ии 6 7 Ограничения 8 I 9 II 10 III B C Х1 D X2 E X3 F Правая часть 2400 1200 3000 G X4 0 7,5 0 3 0 6 2 1 3 1 5 0 0,5 3 6 0 ЦФ 12 0 Левая часть 4 0 1 0 0 0 Правая часть 2400 1200 3000 Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»: 8 В результате будет получена следующая таблица: A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D E F G Задача 2 Х1 Значения переменных Коэф. целевой ф - ии Ограничения I II III X2 X3 X4 0 7,5 0 3 400 6 2 1 3 1 5 0 0,5 3 6 550 ЦФ 12 4 0 1 9000 Левая часть Правая часть 2400 2400 1200 1200 2950 3000 Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 9000 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц изделии А и Б, 400 единиц изделий В и 550 единиц изделий Г. 2) Строим двойственную задачу в виде: 9 v y b y min A yc T y y1; y2 ; y3 , где b 2400;1200;3000 2 1 0,5 4 A 1 5 3 0 3 0 6 1 2 1 AT 0,5 4 c 7,5;3;6;12 1 3 5 0 3 6 0 1 Запишем двойственную задачу: v y 2400 y1 1200 y2 3000 y3 min 2 y1 y2 3 y3 7,5 y 5y 3 2 1 0,5 y1 3 y2 6 y3 6 4 y1 y3 12 yi 0 Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи: 2 0 1 0 0,5 400 4 550 2400 1 0 5 0 3 400 0 550 1200 3 0 0 0 6 400 1 550 2950 3000 Так как третье неравенство выполняется как строгое, то y3 0 Так как x3 0 и x4 0 , то получаем систему уравнений: 0,5 y13 y 2 6 y3 6 4 y1 y3 12 y 0 3 10 Решение системы: y1 3 , y2 1,5 , y3 0 min v y 2400 3 1200 1,5 3000 0 9000 max f x 3) В двойственной задаче y3 0 , так как III вид ресурсов является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции. 4) а) Наиболее дефицитным является I вид ресурсов, так как его двойственная оценка ( y1 3 ) является наибольшей. б) При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида увеличение выручки составит: 100 3 150 1,5 75 ден.ед. И она составит: 9000 75 9075 ден.ед. Определим изменение плана выпуска из системы уравнений: 0,5 x3 4 x4 2400 100 3 x3 1200 150 То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид: x1 0 x2 0 x3 350 x4 581,25 max f x 9075 в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед. Затраты на изготовление единицы изделия Д составят: 2 y1 4 y2 3 y3 2 3 4 1,5 3 0 12 Так как затраты на производство изделия превышают его стоимость ( 12 10 ), то включение в план изделия Д нецелесообразно. 11 Задача 3 Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y. Требуется: 1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат). 2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга. A= 0,4 0,2 0,3 0,2 0,1 0,0 0,2 0,1 0,0 180 Y= 200 160 Решение. Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL. 1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат B ( E A) 1 , где 1 0 0 E 0 1 0 — единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной 0 0 1 12 функции EXCEL «МОБР» получим: 2,045 0,523 0,614 B= 0,455 1,227 0,136 0,455 0,227 1,136 Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна. 2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле X B Y . С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим: 570,91 X= 349,09 309,09 Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения xij aij X j . Получим: 228,36 69,82 92,73 xij= 114,18 34,91 0,00 114,18 34,91 0,00 Заполняем схему баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга: Производящие Потребляющие предприятия предприятия 1 2 3 1 228,36 69,82 92,73 Конечная Валовая продукция продукция Yi Xi 180,00 570,91 13 2 114,18 34,91 0,00 200,00 349,09 3 114,18 34,91 0,00 160,00 309,09 114,18 209,45 216,36 540,00 570,91 349,09 309,09 Условно чистая продукция Zj Валовая продукция Xj 1229,09 14 Задача 4 В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице: Номер Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9) варианта 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 43 40 36 38 34 31 28 25 Требуется: 1) Проверить наличие аномальных наблюдений. 2) Построить линейную модель Y (t ) a0 a1t , параметры которой оценить МНК ( Y (t ) - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 3) Построить адаптивную модель Брауна1 Y (t ) a0 a1k с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α. 4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7). 5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. 6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%). 7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. 1 Пункт 3 выполняют только студенты специальности 060400 15 Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений использовании компьютера представить представить в таблицах соответствующие (при листинги с комментариями). Решение. 1) Построим ряд первых разностей, используя формулу: Vi yi 1 yi t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 45 43 40 36 38 34 31 28 25 − -2 -3 -4 2 -4 -3 -3 -3 График первых разностей приблизительно стационарен и имеет вид: V Аномальных наблюдений во временном ряду нет. 2) Построим линейную модель вида Y p t a0 a1t Параметры a0 и a1 можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений: 16 n n a0 n a1 t Yt t 1 t 1 n n n a0 t a1 t 2 t Y t 1 t 1 t 1 А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу: Затем используем пункт Регрессия настройки «Анализ данных» 17 В результате будет получена следующая таблица: 18 Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: Y p t 47,639 2,417 t Построим график эмпирического и смоделированного рядов: 19 3) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу: 20 Оценку адекватности проведем по следующим показателям: Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле: 2 16 n 29 2 16 9 29 p n 2 1,96 9 2 1,96 2 90 3 90 3 Так как для данной модели p 3 2 , то условие выполнено. Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле: n Et Et 1 d t 2 2 n Et2 26,056 2,216 11,756 d 4 d 4 2,216 1,784 t 1 Критические значения статистики: d1 1,1 и d 2 1,4 . Так как d 2 d 2 , то условие выполнено. 21 Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS – критерий: n RS Emax Emin S , где S Et 2 t 1 n 1 11,756 1,212 9 1 RS 2,444 1,972 1,212 3,644 Так как RS 2,7;3,7, то условие выполнено. Таким образом, построенная модель адекватна. 4) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле: Eотн 1 n Et 21,9 100 % 2,4 n t 1 Yt 9 Так как Eотн 5% , то построенная модель обладает хорошим уровнем точности. 5) Построим адаптивную модель Брауна. Расчетное значение показателя в момент времени t определяется по формуле: Y p t a 0 t 1 a1 t 1 k , где k – количество шагов прогнозирования (обычно k=1) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза: E t Y t Y p t используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам: a 0 t a 0 t 1 a1 t 1 E t 1 2 a1 t a1 t 1 E t 1 2 а) Примем 0,4 , тогда 1 1 0,4 0,6 . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: a0 47,639 a1 2,417 Расчет проведем с помощью MS Excel: 22 В результате получим следующую таблицу: t yt 0 a 0 t a1 t 47,639 -2,417 Y p t E t 1 45 45,080 -2,453 45,222 -0,222 2 43 42,866 -2,393 42,627 0,373 3 40 40,170 -2,469 40,473 -0,473 4 36 36,613 -2,741 37,702 -1,702 5 38 36,514 -2,080 33,872 4,128 6 34 34,156 -2,150 34,434 -0,434 7 31 31,362 -2,311 32,006 -1,006 8 28 28,379 -2,479 29,052 -1,052 23 9 25 25,324 -2,623 10 25,900 -0,900 22,701 Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели: В результате получим таблицу: yt yt yt yt yt 45 45,222 0,222 0,493 2 43 42,627 0,373 0,867 3 40 40,473 0,473 1,182 4 36 37,702 1,702 4,727 5 38 33,872 4,128 10,864 6 34 34,434 0,434 1,275 7 31 32,006 1,006 3,246 t y 1 yt 100% 24 8 28 29,052 1,052 3,756 9 25 25,900 0,900 3,598 30,008 Eотн 1 n Et 30,008 100 % 3,334 % n t 1 Yt 9 б) Примем 0,7 , тогда 1 1 0,7 0,3 . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в Y p t E t линейной модели: a0 47,639 a1 2,417 Получим следующую таблицу: yt t 0 a 0 t a1 t 47,639 -2,417 1 45 45,020 -2,526 45,222 -0,222 2 43 42,954 -2,278 42,494 0,506 3 40 40,061 -2,609 40,677 -0,677 4 36 36,131 -3,321 37,451 -1,451 5 38 37,533 -0,778 32,810 5,190 6 34 34,248 -2,128 36,755 -2,755 7 31 31,101 -2,677 32,120 -1,120 8 28 28,038 -2,884 28,424 -0,424 9 25 25,014 -2,960 25,154 -0,154 10 22,054 Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели: t y 1 45 2 43 3 40 4 36 5 38 yt yt yt yt yt 45,222 0,222 42,494 0,506 1,176 40,677 0,677 1,691 37,451 1,451 4,032 32,810 5,190 13,658 yt 100% 0,493 25 6 34 7 31 8 28 9 25 36,755 2,755 8,104 32,120 1,120 3,614 28,424 0,424 1,515 25,154 0,154 0,615 34,898 Eотн n 1 Et 34,898 100 % 3,878 % n t 1 Yt 9 Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром 0,4 . 6) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу: 26 Оценку адекватности проведем по следующим показателям: Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле: 2 16 n 29 2 16 9 29 p n 2 1,96 9 2 1,96 2 3 90 3 90 Так как для данной модели p 4 2 , то условие выполнено. Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле: n Et Et 1 d t 2 2 n t 1 Et2 57,778 2,462 23,466 d 4 d 4 2,462 1,538 Критические значения статистики: d1 1,1 и d 2 1,4 . Так как d 2 d 2 , то условие выполнено. 27 Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS – критерий: n RS Emax Emin S , где S Et 2 t 1 n 1 23,466 1,713 9 1 RS 4,128 1,702 1,713 3,403 Так как RS 2,7;3,7, то условие выполнено. Таким образом, построенная модель адекватна. 7) Строим прогноз по построенным моделям: Линейная модель. Точечный прогноз на следу ющие две недели имеет вид: Yn 1 47,639 2,417 9 1 23,47 Yn 2 47,639 2,417 9 2 21,05 Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности p 0,7 и v n 2 9 2 7 ) равен: t 1,119 Найдем предельную ошибку для первой недели: t S 1 1 nk t 1 9 1 5 n 1,119 1,212 1 1,48 2 n 9 60 t t t 1 Для второй недели: t S 1 1 nk t 1 925 n 1,119 1,212 1 1,49 2 n 9 60 t t t 1 Строим доверительный интервал на первую неделю: Y10 23,47 1,48;23,47 1,48 Y10 21,99;24,95 Строим доверительный интервал на вторую неделю: Y11 21,05 1,49;21,05 1,49 Y11 19,59;22,54 28 Адаптивная модель Брауна. Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид: Yn 1 Y10 25,324 2,623 1 22,701 Yn 2 Y11 25,324 2,623 2 20,078 Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности p 0,7 и v n 2 9 2 7 ) равен: t 1,119 Найдем предельную ошибку для первой недели: t S 1 1 nk t 1 9 1 5 n 1,119 1,713 1 2,092 2 n 9 60 t t t 1 Для второй недели: t S 1 1 nk t 1 925 n 1,119 1,713 1 2,106 2 n 9 60 t t t 1 Строим доверительный интервал на первую неделю: Y10 22,701 2,092;22,701 2,092 Y10 20,6;24,8 Строим доверительный интервал на вторую неделю: Y11 20,078 2,106;20,078 2,106 Y11 18,0;22,2 8) Построим на графике исходный ряд данных, а также построенные линейную модель и адаптивную модель Брауна, а также прогноз по обоим моделям: 29 Y(t) 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 Y(t) Адаптивная модель Брауна Линейная модель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t 30