Маетматика универсальный_ПИМНО

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.6 МАТЕМАТИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА ПО
СПЕЦИАЛЬНОСТИ
050708.65 – Педагогика и методика начального образования с доп. специальностью
(иностранный язык, информатика, социальная педагогика)
1.Цель, задачи, место курса в общей системе подготовки специалиста.
Цель курса – обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки будущего
учителя начальных классов по математике для успешного обучения и воспитания
младших школьников, углубление математических знаний студентов, математических
положений, на основе которых строится начальный курс математики, как по ныне
действующим программам, так и с учетом возможного внедрения в начальную школу
новых разделов математики.
Задачи обучения:
- раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить их
представление о роли и месте математики в изучении окружающего мира;
- создать условия для овладения студентами фундаментальными понятиями тех разделов
современной математики, которые необходимы учителю для успешной работы в школе;
- способствовать развитию логического мышления;
- освоение основного математического аппарата и способов построения математических
теорий;
- развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой
математической литературой;
- развитие математической культуры будущих учителей.
В результате освоения программы курса «Математика» студент
должен знать:
- основные математические понятия
(множества, операции над множествами; соответствия, бинарные отношения и
отображения, их основные свойства; высказывания, предикаты, операции над ними,
кванторы, умозаключения и их виды, разбиение множества на классы; теоремы, их
структура и виды; основные правила и методы решения комбинаторных задач,
определение и свойства отношения делимости, основные признаки делимости и т.п.);
- основные теоретические положения математики, идеи построения и эволюции
фундаментальных математических теорий (элементы теории множеств, комбинаторики,
логики).
должен уметь:
- пользоваться научными знаниями для понимания теоретических положений школьного
курса математики (теоретико-множественные идеи построения математики в начальной
школе);
- доказывать основные математические факты;
- применять математические теории для построения математических доказательств
(использование элементов логики, умения строить умозаключения и проверять их);
- подкреплять теоретические положения разнообразными примерами (в том числе и
доступными ученикам начальных классов);
владеть навыками:
- решения простейших комбинаторных задач;
- анализа структуры определений понятий;
- анализа простейших рассуждений;
- решения и обоснования решений уравнений и неравенств с одной переменной.
2. Объем дисциплины и виды учебной работы:
№
п/п Шифр и наименование
специальности
1
2
3
4
5
050708 ПиМНО,
информатика
050708 ПиМНО,
информатика
050708 ПиМНО,
английский язык
050708 ПиМНО,
английский язык
050708 ПиМНО,
информатика
050708 ПиМНО,
информатика
050708 ПиМНО,
английский язык
050708 ПиМНО,
английский язык
050708 ПиМНО,
информатика
Кур
с
Семе
стр
Вид
итоговог
о
контрол
я
Виды учебной работы в часах
1
1
Трудо
емкос
ть
80
Всего
аудит
.
40
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
–
Сам.
работ
а
40
18
22
к/р
1
2
80
40
20
20
–
40
экзамен
2
3
80
40
10
30
–
40
к\р
2
4
80
40
6
34
–
40
зачет
3
5
90
48
12
36
–
42
зачет
3
6
90
44
14
30
–
46
экзамен
4
7
60
24
6
18
–
36
экзамен
4
8
80
36
16
20
–
44
к/р
5
9
60
24
8
16
–
36
экзамен
3. Содержание дисциплины.
3.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
1 курс
№
Количество часов
п\п Наименование раздела, темы Всего ЛК
ПР
ЛБ
Сам. Работа
ауд.
1 семестр
1. Элементы теории множеств.
40
18
22
–
40
1.1. Множества, подмножества;
4
2
2
–
6
их задание, изображение,
равенство множеств
1.2. Операции над множествами,
10
4
6
–
8
свойства операций.
1.3. Разбиение множества на
4
2
2
4
классы.
1.4. Элементы комбинаторики.
6
2
4
–
6
1.5. Соответствия между
8
4
4
–
10
элементами множеств.
Отображения и их свойства.
1.6. Бинарные отношения на
8
4
4
–
6
множестве. Свойства
бинарных отношений.
2 семестр
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Элементы алгебры.
Выражения, их
тождественные
преобразования.
Числовые равенства и
неравенства.
Уравнения с одной и двумя
переменными.
Неравенства с одной и двумя
переменными.
Итого:
Наименование раздела, темы
Элементы математической
логики.
Математические понятия, их
объем и содержание.
Высказывания, операции над
ними.
Предикаты, операции над
предикатами.
Высказывания с кванторами.
Равносильность и
следование предложений.
Структура теорем и их виды.
Умозаключения и их виды.
Дедуктивные
умозаключения, их схемы.
Способы математических
доказательств.
Натуральные числа.
Аксиоматическая теория
натурального числа.
Теоретико-множественное
толкование натуральных
чисел.
Натуральное число как мера
величины.
Позиционные и
непозиционные системы
счисления. Десятичная СС.
Алгоритмы арифметических
действий в десятичной
системе счисления.
Позиционные системы
счисления, отличные от
десятичной.
40
6
20
2
20
4
–
–
40
10
4
2
2
–
6
14
8
6
–
12
16
8
8
–
12
80
38
2 курс
42
–
80
Всего
ЛК
ауд.
3 семестр
40
10
Количество часов
ПР
ЛБ
Сам. работа
30
–
40
6
2
4
–
6
5
1
4
–
5
5
1
4
–
5
5
1
4
–
5
6
7
2
1
4
6
–
–
6
7
6
2
4
–
6
4 семестр
40
6
9
4
34
5
–
–
40
4
6
1
5
–
6
4
1
3
–
6
7
–
7
–
8
7
–
7
–
8
7
–
7
–
8
Итого:
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
1.3.
Наименование раздела, темы
Делимость натуральных
чисел.
Отношение делимости и его
свойства.
Признаки делимости.
Наименьшее общее кратное
и наибольший общий
делитель. Их свойства.
Свойства простых чисел.
Решето Эратосфена.
Способы нахождения НОК и
НОД.
Рациональные
положительные числа.
История создания теории Q+.
Измерение отрезков.
Эквивалентные дроби.
Сложение в множестве Q+,
его свойства.
Действия умножения,
вычитания и деления в
множестве Q+.
Аксиоматическая теория
множества Q+. Десятичные
дроби.
Свойства десятичных
дробей. Перевод из
десятичных в обыкновенные
и наоборот.
Итого:
Наименование раздела, темы
Действительные числа.
История создания теории
R+. Измерение отрезков.
Несоизмеримые отрезки.
Множество R+, его свойства.
Отношение порядка в
множестве R+.
Операции в множестве R+,
их свойства.
80
16
3 курс
Всего
ЛК
ауд.
5 семестр
48
12
64
–
Количество часов
ПР
ЛБ
80
Сам. работа
36
–
42
10
4
6
–
8
10
8
2
2
8
6
–
–
6
10
8
2
6
–
10
12
2
10
–
8
6 семестр
44
14
30
–
46
6
4
2
–
8
10
2
8
–
10
10
2
8
–
10
6
4
2
–
8
12
2
10
–
10
92
26
4 курс
66
–
88
Всего
ЛК
ауд.
7 семестр
24
6
4
2
Количество часов
ПР
ЛБ
18
2
–
Сам. работа
36
6
4
1
3
8
8
1
7
12
1.4.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
3.
3.1
Измерение площадей.
Площадь криволинейной
трапеции.
Алгебраические операции
и алгебры.
Алгебраические операции в
множестве. Частичные
алгебраические операции.
Алгебры. Свойства
алгебраических операций.
Некоторые роды алгебр.
Итого:
Наименование раздела, темы
Геометрические фигуры на
плоскости.
История возникновения и
развития геометрии.
Аксиоматическое
построение геометрии.
Свойства основных
геометрических фигур на
плоскости.
Геометрические
преобразования.
Преобразования множеств.
Геометрические
преобразования, их
примеры.
Группа перемещений
плоскости. Осевая
симметрия, ее свойства.
Параллельный перенос,
операции над
параллельными переносами.
Повороты плоскости.
Центральная и поворотная
симметрия.
Гомотетия и подобие на
плоскости.
Геометрические фигуры в
пространстве.
Изображение
геометрических фигур в
пространстве.
Многогранники.
Итого:
8
2
6
8 семестр
36
16
20
–
44
12
6
6
–
12
10
4
6
–
18
14
6
60
22
5 курс
8
38
–
–
14
80
Всего
ЛК
ауд.
9 семестр
10
Количество часов
ПР
ЛБ
Сам. работа
1
–
–
4
1
2
–
2
–
24
1
–
–
4
1
3
–
4
1
3
–
4
1
3
–
4
1
3
–
6
1
2
–
8
8
16
–
36
3.2. Содержание разделов дисциплины.
Элементы теории множеств.
Тема 1. Множества и операции над ними.
Множества, элементы множеств. Способы задания множеств. Подмножество
множества. Способы изображения множеств, диаграммы Эйлера-Венна. Равенство
множеств, свойства равенства, доказательство равенства множеств. Операции над
множествами: объединение пересечение, разность множеств, дополнение подмножества
до множества. Упорядоченные пары, декартово произведение двух множеств и его
график.
Тема 2. Элементы комбинаторики.
Понятие кортежа, равные кортежи, примеры кортежей. Декартово произведение n
множеств, примеры. Основные правила комбинаторики: правило сложения правило
умножения.
Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки без повторений.
Сочетания без повторений.
Тема 3. Соответствия между множествами.
Соответствия между двумя множествами, их виды. Отображения и их свойства
(сюрьективность, иньективность и биективность). Функции, способы задания функций.
Прямая и обратная пропорциональности. Бинарные отношения и их свойства. Отношения
эквивалентности, строго и нестрогого порядка.
Элементы алгебры.
Тема 1. Выражения. Числовые равенства и неравенства.
Понятие выражения. Числовые выражения и выражения с переменными. Область
определения выражения с переменными. Тождественные преобразования выражений.
Числовые равенства, их свойства. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.
Тема 2. Уравнения и неравенства.
Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения и преобразования.
Теоремы о равносильности уравнений. Неравенства с одной переменной. Теоремы о
равносильности неравенств. Понятие об уравнениях и неравенствах с двумя
переменными.
Элементы математической логики.
Тема 1. Математические понятия и предложения.
Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Математические
предложения. Высказывания и операции над ними. Одноместные предикаты, операции
над одноместными предикатами. Понятие о многоместных предикатах и операциях над
ними. Высказывания с кванторами.
Тема 2. Теоремы и способы их доказательства.
Отношения следования и равносильности между предложениями. Структура теорем,
их виды. Умозаключения и их виды. Основные схемы дедуктивных умозаключений.
Способы математического доказательства (прямые и косвенные, полная и неполная
индукция).
Натуральные числа.
Тема 1. Аксиоматическая теория построения множества натуральных чисел.
Аксиоматический способ построения теории. Система аксиом Пеано, ее модели,
построение множества N натуральных чисел. Операции в множестве N и их свойства.
Упорядоченность множества N. Множество Z целых неотрицательных чисел.
Тема 2. Теоретико-множественный смысл натурального числа.
Понятие натурального числа с теоретико-множественной точки зрения.
Упорядоченность множества N, смысл арифметических действий в множестве N c
теоретико-множественных позиций.
Тема 3. Натуральное число как мера величины.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Смысл натурального
числа, полученного в результате измерения величин. Смысл действий в множестве N,
полученных в результате измерения величин.
Тема 4. Системы счисления.
История возникновения систем счисления и натурального числа. Позиционные и
непозиционные системы счисления. Десятичная система счисления, запись чисел в ней.
Алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления в десятичной системе счисления.
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.
Делимость в множестве натуральных чисел.
Тема 1. Отношение делимости и его свойства.
Понятие отношения делимости между двумя натуральными числами. Делитель и
кратное. Теорема о количестве делителей числа. Простые и составные числа. Свойства
отношения делимости.
Тема 2. Признаки делимости.
Теоремы о делимости суммы и произведения чисел. Признаки делимости на 2,3,4,5,9.
Признак делимости Паскаля.
Тема 3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
Понятие общего кратного и наименьшего общего кратного. Общий делитель и НОД
чисел. Свойства НОК и НОД.
Тема 4. Простые числа, их свойства. Решето Эратосфена.
Теорема о разложении составного числа в произведение простых множителей.
Способы нахождения простых чисел. Решето Эратосфена.
Тема 5. Нахождение НОК и НОД.
Способ нахождения НОК и НОД с помощью канонических разложений чисел.
Способы нахождения НОД: с помощью канонического разложения чисел на простые
множители и алгоритма Евклида.
Положительные рациональные числа.
Тема 1. Создание теории Q+.
История создания теории множества положительных рациональных чисел. Различные
подходы к построению теории Q+. Измерение отрезков и необходимость расширения
множества натуральных чисел. Понятие об эквивалентных дробях.
Тема 2. Сложение в множестве Q+.
Множество положительных рациональных чисел как классов эквивалентных дробей.
Теорема о равенстве двух чисел из Q+. Определение сложения в множестве
положительных рациональных чисел, его свойства (коммутативность, ассоциативность,
сократимость, монотонность).
Тема 3. Умножение, вычитание и деление в Q+.
Задача об измерении отрезка новой единицей длины. Понятие умножения в множестве
Q+, его свойства. Понятие неравенства чисел в Q+, свойства отношения «<» в множестве
Q+. Вычитание и деление в множестве Q+ как действий, обратных сложению и
умножению.
Тема 4. Аксиоматическая теория множества Q+.
Множество Q+ как расширение множества N. Аксиоматическое построение множества
положительных рациональных чисел. Свойства множества Q+.
Тема 5. Десятичные дроби.
Понятие десятичной дроби. Чистые и смешанные десятичные дроби. Свойства
десятичных дробей. Необходимое и достаточное условие того, чтобы несократимая дробь
m
была десятичной. Перевод десятичных дробей в обыкновенные. Перевод
n
обыкновенных дробей в десятичные. Теоремы о периоде.
Действительные числа.
Тема 1. История создания теории R+.
Эволюция теории действительного числа: основные исторические подходы,
сложившиеся в математике. Понятие о несоизмеримых отрезках. Теорема о
несоизмеримости диагонали единичного квадрата со стороной.
Тема 2. Множество R+, его свойства.
Положительные действительные числа и бесконечные десятичные дроби. Задача об
измерении длины отрезка. Приближенные значения действительного числа по недостатку
и по избытку. Отношение порядка в R+.
Тема 3. Операции в множестве R+.
Сложение и умножение в множестве действительных положительных чисел. Их
свойства: коммутативность, ассоциативность и сократимость. Дистрибутивность операции
умножения относительно сложения. Вычитание и деление как операции, обратные
сложению и умножению. Их свойства. Аксиоматическая теория множества R+.
Тема 4. Измерение площадей.
Измерение величин. Понятие поля измерения величины. Отношение равновеликости.
Понятие площади фигуры, квадрируемости фигуры. Измерение площадей. Площадь
прямоугольника. Площадь ступенчатой фигуры. Площадь криволинейной трапеции.
Алгебраические операции и алгебры.
Тема 1. Алгебраические операции в множестве.
Алгебраические операции в множестве. Примеры алгебраических операций.
Компоненты алгебраической операции, унарные, бинарные, полинарные операции.
Частичная алгебраическая операция в множестве X, область ее определения. Замкнутость
подмножества относительно данной алгебраической операции.
Тема 2. Алгебры и свойства алгебраических операций.
Понятие алгебры. Примеры алгебр. Изоморфные алгебры. Примеры изоморфизма
алгебр. Основные свойства алгебраических операций: ассоциативность, коммутативность,
дистрибутивность, сократимость. Понятие обратной операции, их примеры. Свойства
обратных операций. Нейтральный и поглощающий элементы относительно данной
алгебраической операции. Симметричные элементы относительно алгебраической
операции, примеры таких элементов.
Тема 3. Некоторые роды алгебр.
Понятие группы, примеры групп. Понятие кольца, примеры колец. Свойства
алгебраических операций в кольце. Коммутативные и ассоциативные кольца. Числовые
кольца. Понятие поля, примеры полей. Числовые поля, их примеры. Операции в числовом
поле.
Геометрические фигуры на плоскости.
Тема 1. История возникновения и развития геометрии.
Из истории возникновения и развития геометрии в Древнем Вавилоне, Египте и
Греции. «Начала» Евклида. Аксиоматическое построение геометрии. Неевклидовы
геометрии. Геометрия Лобачевского.
Тема 2. Свойства геометрических фигур на плоскости.
Понятие геометрической фигуры как множества точек. Плоские и пространственные
фигуры. Выпуклые и невыпуклые геометрические фигуры. Основные плоские
геометрические фигуры и их свойства.
Геометрические преобразования плоскости.
Тема 1. Преобразования множеств. Геометрические преобразования.
Понятие преобразования множеств, их примеры. Графы преобразований множеств.
Тождественные и обратные преобразования. Композиция преобразований множеств.
Группа преобразований множеств, примеры. Понятие геометрического преобразования.
Тема 2. Группа преобразований плоскости. Осевая симметрия.
Перемещения плоскости как частный случай геометрического преобразования. Группа
перемещений плоскости. Конгруэнтность плоских фигур. Свойства конгруэнтных фигур.
Достаточные условия равенства треугольников.
Осевая симметрия относительно прямой, ее свойства. Осевая симметрия как
перемещение плоскости. Фигуры, симметричные относительно прямой, оси симметрии
фигур, примеры.
Тема 3. Параллельные переносы, операции над ними.
Параллельные переносы на плоскости. Вектор, его длина, направление. Коллинеарные
и неколлинеарные векторы. Теорема о связи композиции симметрий относительно двух
прямых и параллельным переносом. Свойства параллельного переноса. Теорема о
необходимом и достаточном условии того, чтобы геометрическое преобразование было
параллельным переносом. Операции над параллельными переносами. Группа
параллельных переносов.
Тема 4. Повороты плоскости. Центральная и поворотная симметрия.
Повороты плоскости вокруг точки. Теорема о связи поворота и композиции двух
осевых симметрий. Группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки.
Коммутативность композиции поворотов вокруг одной и той же точки на плоскости.
Центральная и поворотная симметрия, ее свойства. Группа самосовмещений плоскости.
Бордюры и орнаменты.
Тема 5. Гомотетия и подобие на плоскости.
Геометрические преобразования подобия и сжатия. Гомотетия с положительным
коэффициентом, ее свойства. Группа гомотетий с положительным коэффициентом.
Преобразование подобия. Связь перемещения и преобразования подобия. Группа подобия.
Преобразование сжатия к прямой.
Геометрические фигуры в пространстве. Многогранники.
Тема 1. Изображение геометрических фигур в пространстве. Многогранники.
Основные пространственные геометрические фигуры. Многогранники и их
изображение. Цилиндр, шар, конус и их изображение. Виды многогранников. Теорема
Декарта-Эйлера о многогранниках.
3.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
Наименование
Форма самостоятельной
раздела дисциплины.
работы.
Тема.
1. Операции над
Доказательство свойств,
множествами,
иллюстрация с помощью
свойства операций.
диаграмм Эйлера-Венна
2. Понятие множества.
Самостоятельная работа по
Способы задания
теме
множеств.
3.
Бинарные отношения
и их свойства.
1.
Математические
Разработка и заполнение
таблицы «Свойства
бинарных отношений и их
примеры»
Самостоятельная работа по
Кол-во
часов
Форма контроля
выполнения с/р
6
на практическом
занятии
1
4
проверка и
выполнение
работы над
ошибками
к зачету
6
Проверка на
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
понятия. Отношения
между понятиями.
теме, изучение,
конспектирование
практическом
занятии
Высказывания,
операции над ними.
Решение задач на
распознавание
объектов
Предикаты, операции
над предикатами.
Конъюнкция и
дизъюнкция.
Высказывания с
кванторами.
Отрицание
высказываний и
высказывательных
форм
Структура теорем и
их виды.
Необходимые и
достаточные условия.
Умозаключения и их
виды. Дедуктивные
умозаключения, их
схемы. Способы
математических
доказательств.
Аксиоматическая
теория натурального
числа.
Метод
математической
индукции. Деление с
остатком.
Теоретикомножественное
толкование
натуральных чисел.
Сложение и
вычитание,
умножение и деление
целых
неотрицательных
чисел.
Натуральное число
как мера величины.
Понятие числа.
Операции над
числами.
Десятичная система
счисления, операции
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
5
Проверка,
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
5
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
5
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
19
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
4
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
6
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
упражнений.
6
Проверка и
выполнение
работы над
ошибками
Самостоятельная работа по
теме, выполнение
24
Проверка и
выполнение
над числами в
позиционных
системах счисления.
Позиционные
системы счисления,
отличные от
десятичной.
упражнений.
работы над
ошибками
Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы
последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой схеме:
Практическое занятие
Тема: «Число элементов объединения, разности и декартова произведения двух
конечных множеств»
Работа на занятии
1. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8
человек занимаются и в той, и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в
волейбольной, ни в баскетбольной секции?
2. В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки
коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните,
как зто может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? ... только монеты?
3. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько
учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не
посещающих занятий хора или лыжной секции?
4. В группе туристов, состоящей из 100 человек, 10 человек не знали ни немецкий,
ни французский языки, 75 знали немецкий, 83 знали французский. Сколько туристов
знали два языка?
5. Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3 красных
многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигурок. Сколько среди них красных
треугольников?
6. В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них
говорят только на французском, двое – только на немецком. Сколько человек говорят на
двух языках – французском и немецком?
7. Правильно ли представлено на рисунке 24 условие
следующей задачи: «Из 100 человек английский язык изучают
28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий 8, английский и французский – 10, немецкий и французский –
5. Все три языка изучают три студента. Сколько студентов
изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни
одного языка?
8. Решите задачу из задания 7.
9. В школе 70 учеников. Из них 27 ходит в драмкружок, 32 поют в хоре, 22
увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке
8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в
хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
10. Даны 40 чисел. Из них 10 чисел кратны 3, 15 чисел кратны 2, 20 чисел не кратны
ни 2, ни 3. Сколько среди данных 40 чисел, кратных 6?
11. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал
книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В
– 22, книгу С – также 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С – 32, В или С – 31; все
три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочли только по одной книге?
Сколько учащихся не читали ни одной из этих трех книг?
Практическое занятие № 1
ТЕМА: Математические понятия. Объем и содержание понятия.
Цель:
овладеть рядом понятий и закономерностей, обеспечивающих логическую грамотность
будущего учителя и создающих условия для успешного усвоения курса математики;
итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: объем и
содержание понятия; родо-видовые отношения между понятиями; определение понятия;
явные и неявные определения; требования к определению понятия;
усвоение этих понятий предполагает также умение оперировать ими при решении
задач,
в частности, умение устанавливать родо-видовые отношения между известными
понятиями, анализировать логическую структуру определений и решать задачи на
распознавание принадлежности объекта объему данного понятия.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Какие свойства объектов или явлений считают существенными?
2. Что понимают под содержанием понятия?
3. Что понимают под объемом понятия?
4. Как связаны между собой объем и содержание понятия?
5. Какой объем понятий: «цифра», «однозначное число», «прямоугольник»?
6. Установите, какие из фигур принадлежат объему понятия четырехугольник.
7. Назовите пять существенных свойств понятия: а) треугольник; б) прямоугольник; в)
квадрат.
8. Какие из нижеприведенных свойств являются существенными, а какие
несущественными для трапеции: а) две стороны параллельны; б) основания
горизонтальные; в) оба угла при большем основании острые; г) оба угла при меньшем
основании тупые; д) сумма внутренних углов 360°.
9 .
В каком случае можно утверждать, что понятие а - родовое по отношению к
понятию b? Приведите примеры таких понятий а и b.
10. Известно, что понятие х – видовое по отношению к понятию у. Переформулируйте
данное утверждение, используя другую терминологию.
11. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а и b,
если: а) а – «треугольник», b – «прямоугольный треугольник»; б) а – «прямая», b
– «отрезок»; в) а – «равнобедренный треугольник», b – «тупоугольный треугольник».
12.
Покажите при помощи кругов Эйлера, что понятие «прямоугольник» – видовое по
отношению к понятию «четырехугольник» и назовите свойства четырехугольников,
которыми обладают прямоугольники.
Работа на занятии
1.
Проверка подготовленности студентов к занятию.
2.
Решение задач
1. Установите, в каких случаях верно утверждение: «Понятие в есть обобщение понятия
а»:
а) а – «натуральное число», в – «целое число»; б) а – «квадрат», в –
четырехгольник»; в) а – «луч», в – «прямая»; г) а – «высота треугольника», в –
«треугольник».
2. Какие из нижеприведенных свойств являются существенными для понятия
«прямоугольник»: а) параллельность противоположных сторон; б) равенство
противоположных сторон; в) наличие прямого угла; г) цвет; д) перпендикулярность
диагоналей; е) соотношение длин сторон?
3. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, в и с,
если: а)
а – «натуральное число», кратное 4», в – «натуральное число, кратное 5», с –
«натуральное число»; б) а – «трехзначное натуральное число», в – «натуральное число,
кратное 3», с - «натуральное число, кратное 4».
4. Назовите 10 понятий, изучаемых в начальном курсе математики. Есть ли среди них такие,
которые находятся в отношении рода и вида?
5. Выясните, какие существенные свойства понятий «прямоугольник», «сложение»,
«деление с остатком» изучаются в начальном курсе математики.
Проверочная работа:
1. Каков объем понятий: "двузначное число" и "отрезок"? Назовите не менее двух
существенных свойств этих понятий.
2. Какие из нижеприведенных пар понятий находятся в отношении рода и вида: а)
"треугольник" и "многоугольник"; б) "однозначное число" и "трехзначное число; в)
"прямоугольник" и "ромб"?
3. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий a, в и с,
если:
А) а – «однозначное число», в – «трехзначное число», с – «натуральное число»;
Б) а – «равнобедренный треугольник», в – «треугольник», с – «равносторонний
треугольник».
Практическое занятие № 2
ТЕМА: Высказывание. Логические операции. Формулы логики
высказываний.
Законы логики.
Цель:
- Научиться среди предложений выделять высказывания, устанавливать истинные или
ложные высказывания; среди высказывании находить элементарные и составные
высказывания; в составных высказываниях выделять элементарные; составлять
таблицу истинности для составных высказываний.
- Итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий:
высказывание, отрицание высказывания, конъюнкция, дизъюнкция, импликация,
эквиваленция, элементарное (простое) и составное высказывания; порядок
выполнения логических операций; законы логики.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Какое утверждение называется высказыванием? Как обозначается
символом?
2.
Простое (элементарное) высказывание, составное высказывание.
3.
Определение пяти логических операций.
4.
Формула логики высказываний. Порядок выполнения логических операций.
5.
Таблицы истинности формулы.
6.
Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Равносильные
формулы. Законы логики.
7.
Законы де Моргана, закон контрапозиции, закон противоречия, закон
исключения третьего, закон силлогизма.
,A

B
,A

B
,A

B
,A

B
8.
Прочитайте следующие записи: A
9.
Выясните, какие из следующих предложений являются высказываниями, а
какие
ложными: А) 347 < 125, Б) Зх - 2 = 4, В) Какая сегодня температура воздуха в
Мурманске?, Г) Число кратно 5, Д) x2 3x 7, Е) Пейте томатный сок! Ж) Существуют
люди, имеющие 4 ноги, 3) Волга впадает в Каспийское море.
10.
Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные: А) число
17 не делится на 5; Б) число 12 делится на 3 и на 4; В) число 7 является делителем
числа 14; Г) 4  2 или 4  2 ; Д) если число делится на 6. то оно делится на 2.
11.
Следующее высказывание расчленить на простые высказывания и записать с
помощью символов логических операций: «Если светит солнце и море синеет, то весла
пенят воду или парус белеет».

q

И
,p

q

Л
,p

q

И
12.
Дано: p
. Установить значения истинности p и q.

q
–
q
p
13.
Сформулировать и доказать закон контрапозиции, т.е. p
тождественно-истинно].

p
 (закон расширенной
p

q

r

r

q
14.
Докажите равносильность формул 
контрапозиции).
Практическое занятие № 3
ТЕМА: Конъюнкция и дизъюнкция. Отрицание.
Цель:
Научиться среди предложений выделять конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание
высказываний и предикатов, устанавливать истинность высказывания, а для предикатов
находить множества истинности; составлять таблицы истинности для составных
высказываний, содержащих логические связки «неверно, что», «не», «и», «или» (знаки
 ,  и отрицание).
Итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий:
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание высказываний и предикатов, множество истинности
конъюнкции, дизъюнкции, отрицание предикатов и формул
.
T
T
T
, TA  TA
A

B
A
B
T
T
T
,
A

B
A
B
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Найдите значение истинности высказываний: а) 9  3 и 9  3 ; б) 13  5
2.
На множестве R заданы предикаты С(х): « х< 4» и D(х): « (х–3) (х+4) = 0»
а) Сформулируйте конъюнкцию этих предикатов и найдите множество ее
истинности.
б) Изобразите множества истинности предикатов С(х) и D(х) с помощью кругов
Эйлера к заштрихуйте множество истинности предиката С(x)D(x)
3.
Не находя множеств истинности предикатов К(y): «у <4» и L(у): «у –
двузначное число», заданных на множестве R, определить принадлежат множеству TK  L
числа 8 и 12.
4.
Известно, что если высказывание В - истинно, то D - ложно. Достаточно ли
этого, чтобы утвердить, что высказывание D является отрицанием высказывания В?
5.
На множестве Z заданы предикаты А(х): « x  3 », В(х): « x  3 », С(х):« x  3 ».
Являются ли предикаты В(х) или С(х) отрицанием предиката А(х)?
Работа на занятии
1.
Проверка подготовленности студентов к занятию.
2.
Решение задач.
Практическое занятие № 4
ТЕМА: Кванторы. Отрицание высказываний, содержащих кванторы
Цель:
научиться среди предложений выделять высказывания с кванторами; читать
высказывания, полученные из предикатов при помощи кванторов существования,
единственности, общности;
доказывать утверждения с кванторами; строить отрицания высказываний,
содержащих кванторы.
итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: кванторы
__________
_____
общности, существования, единственности и формул: 
A

,

x

X
(
x
)
x

X
__________
__________
____ _____
.




A
(
x
)

x

X
A
(
x
)


x

X
A
(
x
)
Вопросы и задания для самоконтроля

Прочитайте высказывания: а)
__________
_____
__________
_____
xXA(x), б) xXA(x), в) 
xXA(x), г)
_____
_____
xXA(x), д) xXA(x), е) xXA(x).

Запишите следующие высказывания:
а) все элементы множества X обладают свойством Р;
б) некоторые элементы множества X обладают свойством Р;
в) некоторые элементы множества X не обладают свойством Р;
г) ни один элемент из множества X не обладает свойством Р.
 Какие из следующих высказываний содержат квантор общности, а какие – квантор
существования? а) все кустарники являются растениями; б) существуют числа,
кратные 3; в) в любом равностороннем треугольнике высоты совпадают с
биссектрисами; г) каждое натуральное число является целым; д) в некоторых
городах России число жителей превысило 1 млн.; е) хотя бы в одной группе первого
курса есть студенты, окончившие педучилище.
 Сформулируйте отрицания следующих высказываний и установите, что истинно –
само высказывание или его отрицание: а) некоторые параллелограммы имеют центр
симметрии; б) все параллелограммы имеют центр симметрии; в) существует
параллелограмм, не имеющий осей симметрии; г) диагонали любого ромба не равны
между собой; д) всякий прямоугольник является квадратом; е) в некоторые числа
кратны 2 или 7; ж) все числа положительны или отрицательны.
Практическое занятие № 5
ТЕМА: Отношения следования и равносильности. Необходимые и достаточные условия.
Цель:
научиться находить предикаты, которые находятся в отношении следования,
равносильности; знать, что если А (х) = > В (х), то ТА С" Тв , а если А(х) < = >В (х), то ТА =
Тв ; читать записи: А(х) = > В (х), А(х) <=> В (х) различными способами; знать какое
условие А(х) или В(х) для какого является необходимым или достаточным, если А(х) =>
В(х).
итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: Отношения
следования и равносильности, необходимое условие, достаточное условие, необходимое и
достаточное условия.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Известно, что высказывания: а/ А(х) = >В(х), б/ В(х)= >А(х) истинны. В каком
отношении находятся множества Т А и Т в?
2. На множестве X={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} заданы предикаты А(х): "х: 4" и В(х): "х ; 2".
а/ Найдите значения истинности высказываний А(а) и В(а) при каждом из значений а
СХ.
б) На основании ответов, полученных в пункте а/, выясните, истинно ли
высказывание "Из А(х) следует В(х)". Если да, то запишите этот факт, используя символ
= >.
в) Можно ли утверждать, что истинно высказывание «Из В(х) следует А(х)»?
3. Вставьте вместо многоточия слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и
достаточно»: а/ для того чтобы сумма двух чисел была больше 20, ..., чтобы хотя
бы одно слагаемое было больше 10; б/ Для того чтобы разность двух чисел была
четной, ..., чтобы обе компоненты вычитания были четными; в/ для того чтобы 5а
было равно 0,..., чтобы а=0.
Практическое занятие № 6
ТЕМА: Строение теоремы. Виды теорем.
Цель:
- научиться записывать с помощью символов математические теоремы; выделять
составные части теорем: преамбулу, условие, заключение; формулировать по
отношению к теореме А(х) = >В(х) обратную данной (В(х) => А(х);
противоположную данной (А(х) = > В(х); обратную противоположной (В(х) = > А(х).
- итогом изучение данной темы должно быть усвоение следующих понятий: преамбула,
условие, заключение теоремы; обратная данной теореме; противоположная данной;
обратная противоположной.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Выделить преамбулу, условие и заключение в теореме Пифагора: «Пусть а, в, с стороны треугольника, лежащие соответственно против углов А, В, С; во всех
треугольниках, если угол С прямой, то с^ = а^ + в^». Записать теорему с помощью
символов. Сформулировать теорему, противоположную теореме Пифагора.
2. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то четырехугольник - параллелограмм». Сформулируйте теоремы,
являющиеся обратной и противоположной обратной.
3. Верна ли следующая теорема: «Если произведение двух целых чисел делится на 15,
то хотя бы один из множителей делится на 15»? Верна ли обратная теорема?
Практическое занятие № 1
ТЕМА: Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Определение натурального
числа и операций над числами.
Цель:
овладеть научными основами аксиоматического построения системы натуральных
чисел; знать определение натурального числа и операций над числами; иметь представление
об аксиоматическом методе в математике.
итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий:
аксиоматический метод, аксиоматическая теория построения системы натуральных
чисел, интерпретация (модель) системы аксиом Пеано; сложение, умножение,
деление, вычитание натуральных чисел; законы операций сложения, умножения,
вычитания.
усвоение этих понятий предполагает также умение оперировать ими при решении
задач, в частности, умение устанавливать является ли данное множество моделью
системы аксиом Пеано, применять законы сложения, умножения и вычитания, объяснять
каждый случай применения.
Вопросы и задания для самоконтроля
 В чем суть аксиоматического метода построения теории?
 Попытайтесь объяснить суть аксиоматического метода на примере школьного
курса геометрии.
 Какими свойствами обладает отношение «непосредственно следовать за»?
Сформулируете эти свойства. Является ли указанное отношение отношением
порядка?
 Вычислите наиболее рациональным способом значения выражений и объясните,
какие законы сложения были при этом использованы: а) 25 + 19 + 175 + 181, б) 945 +
139 4- 261 + 155, в)1809 + 393 + 678 + 191 + 1607, г)
101 • 265, д) 13 • 57
+ 13 • 43, е)8 • 973 • 125, ж) 17 • 99.
 Какие понятия являются основными в аксиоматической теории натурального числа?
 Сформулируйте аксиоматическое определение натурального числа.
Работа на занятии
1.
Проверка подготовленности студентов к занятию.
2. Сообщение по теме: «Аксиоматический метод в математике».
3. Решение задач.
1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?
2. Верно ли, что аксиома – это предложение, которое не требует доказательства?
3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько
аксиом из этого курса. Свойства каких понятии в них описываются?
4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие
параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны
предшествовать понятию «параллелограмм».
5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура
теоремы и что значит доказать теорему.
6. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N
существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а»?
7. Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы  ,
.
8. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется
элемент множества N, ... ».
Практическое занятие № 2
ТЕМА: Метод математической индукции.
Цель:
знакомство и овладение методом доказательства утверждений о натуральных числах,
называемого методом математической индукции.
итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятии: метод
математической индукции, аксиома индукции, начало индукции, индуктивный переход.
усвоение этих понятий предполагает также умение оперировать ими при решении
практических заданий, в частности, умение доказывать истинность утверждений.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Опишите в общем виде процесс доказательства методом математической индукции.
Из скольких этапов он состоит?
2.
Используя метод математической индукции, докажите, что для любого
натурального числа п истинны утверждения: 1 + 5 + 9 + . . . + ( 4 n - 3 ) = n ( 2 n - l ) ,
1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + ... + п(3п + 1) = п(п + I) 2
Практическое занятие № 3
ТЕМА: Деление с остатком.
Цель:
- овладеть понятиями: деление с остатком, неполное частное; уяснить, что частное двух
натуральных чисел существует не всегда; условие деления с остатком а = bg + г, где 0 < г <
b; деление с остатком выполняется для любых натуральных чисел однозначно.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: деление с
остатком, неполное частное, остаток, условие выполнения деления с остатком.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Какие остатки могут получиться при делении числа на 5? При делении на 7?
2. Запишите общий вид чисел, дающих при делении на 9 остаток 2.
3. Назовите три натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как
называются эти числа и каков их общий вид.
4. Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком
37 на 5, 32 на 7, 83 на 4. Выполните соответствующие записи.
5. При делении с остатком числа а на 15 получили неполное частное 10. Каково
наибольшее возможное значение делимого.
6. При делении с остатком числа 100 на натуральное число b получили остаток, равный
6. Найдите число b .
7. При делении чисел а, b и с на 7 получаются остатки соответственно 1,4 и 5. Какой
остаток при делении на 7 дает сумма а + b + с ?
8. Разбейте множество натуральных чисел от I до 27 на классы чисел, дающих
одинаковые остатки при делении на 5. Сколько классов получилось?
Практическое занятие № 4
ТЕМА: Теоретико-множественный подход к построению системы целых
неотрицательных чисел. Количественное натуральное число и нуль.
Отношение «меньше»
Цель:
- овладеть научными основными теоретико-множественного подхода к
построению системы целых неотрицательных чисел; знать определение отрезка
натурального ряда (Na), количественного натурального числа.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: отрезок
натурального ряда, количественное число, порядковое число, счет, взаимнооднозначное отображение множества на отрезок натурального ряда, отношение
«меньше» и применение их при решении практических задании.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Запишите все элементы множеств N2 и N8. Как называются эти множества?
2. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество: а)
{1,3,5,6,7},
б)
{ 2 , 3 , 4 , 5 } , в ) {l, 2, 3,4, 5, 6, 7}, г) {0, 1,2,3 }, д ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 4 , 6 } , e ) { l ,
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 }. Почему?
3. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте условия,
которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.
4. Приведите примеры двух задании из учебников математики для начальных
классов, в которых число выступает как характеристика: а) порядка; б) количества.
5. Докажите, что отношение «больше» является транзитивным.
6. Докажите, что отношение «меньше» является отношением строгого порядка.
7. Приведите примеры множеств, эквивалентных: а) множеству пальцев на руке; б)
множеству страниц в школьной тетради.
8. Соедините следующие пары множеств знаком « = », если они равны, и знаком «  »,
если они эквивалентны:
а) А – множество сторон треугольника, В – множество углов треугольника.
б) А – множество колец на пне дерева, В – множество лет, прожитых деревом.
в) А – множество различных букв в слове «колос», В – множество О, Л, С, К».
г) А – множество натуральных чисел кратных 10 и меньше 101, В – множество
натуральных чи сел, являющихся точными квадратами и меньших 101.
9. Для следующих множеств составьте эквивалентные им отрезки натурального
ряда чисел: а) А ={красный, синий, желтый}, б) А = {а, б, в, г, д, е, ж}, в) А –
множество игроков футбольной команды; г) А – множество страниц школьной тетради.
Практическое занятие № 5
ТЕМА: Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
Цель:
- овладеть научными основами теоретико-множественного подхода к построению системы  0 ;
знать определение суммы и разности целых неотрицательных чисел; понимать, что сложение
связано с операцией объединения множеств, а вычитание – с дополнением подмножества В до
множества А ( B  A ).
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: сложение целых
неотрицательных чисел, сумма, вычитание, разность и применение их при решении
практических заданий.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Объясните, каков теоретико-множественный смысл суммы: а) 2 + 3 = 5, 6)4 + 0 = 4
2.
Запишите коммутативный закон сложения целых неотрицательных чисел и дайте
теоретико-множественное истолкование.
3.
Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением, дайте
возможную наглядную иллюстрацию их условия: а) Нина сорвала 8 слив, Дима - 4. Сколько
всего слив сорвали Дима и Нина вместе? б)
Из коробки взяли 6 красных карандашей и
4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?
4.
Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл равенств: а) 8 - 4 = 4; б)
4 – 4 = 0; в) 3 - 0 = 3.
5.
Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются действием вычитания,
дайте возможную наглядную иллюстрацию их условия: а) В корзине было 10 морковок, 3 из
них отдали кроликам. Сколько морковок осталось? б) На столе 8 чашек, причем их на три
больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе? в) На верхней полке шкафа 7 книг, а
на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?
6. Может ли сумма двух целых неотрицательных чисел быть равной:
а)
одному из слагаемых; б) нулю.
7. Может ли сумма двух натуральных чисел быть равной: а) одному из слагаемых; б) нулю.
8. Как изменится сумма, если: а) одно из слагаемых увеличить на 2; б) каждое из двух
слагаемых увеличить на 2; в) каждое из двух слагаемых увеличить в 2 раза?
Практическое занятие № 6
ТЕМА: Умножение и деление целых неотрицательных чисел.
Цель:
- овладеть научными основами теоретико-множественного подхода к построению системы
Zo; знать определение произведения и разности целых неотрицательных чисел; понимать,
что произведение целых неотрицательных чисел может быть определено двумя
способами, деление (2 подхода) связано с разбиением множества на классы.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: умножение целых
неотрицательных чисел, произведение, частное, деление и применение их при решении
практических заданий.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму и,
используя его, покажите, что: а) 2 • 4 = 8; б) 3 • 1 = 3; в) 5 • 0 = О.
2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово
произведение множеств и, используя его, объясните, что: а) 2 • 4 = 8; б) 3• 1 = 3; в) 5 • 0
= 0.
3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются действием умножения:
а) На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно
пришить
на 7 таких пальто?
б) Ученица прочитала в первый день 9 страниц книги, а во второй день - в 2 раза больше, чем
в
первый. Сколько страниц книги прочитала ученица во второй день?
в) Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги. Это в 2 раза меньше, чем
зеленой.
Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?
4.
Как изменится произведение двух целых неотрицательных чисел, если один из
множителей увеличить в 2 раза?
5.
Каков теоретико-множественный смысл равенств: а) 6 : 3 = 2, б) 5 : 1 = 5?
6.
Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются действием деления:
а) 12 редисок связали в пучки, по 6 редисок в каждый. Сколько получилось пучков?
б) 5 ученикам раздали поровну 10 тетрадей. Сколько тетрадей получил каждый?
7. Как изменится частное, если: а) делимое и делитель умножить на одно и то же число; б) не
изменяя делителя, делимое увеличить в k раз; в) не изменяя делимого, делитель увеличить в
t раз?
Практическое занятие № 7
ТЕМА: Натуральное число как результат измерения величин. Понятие числа.
Операции над числами.
Цель:
- овладеть научными основами теории натурального числа как результата измерения величин;
выяснить суть натурального числа как меры величины; а также смысл арифметических
действий над натуральными числами.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: натуральное число
как мера величин (длина, площадь, объем), сумма, разность, произведение, частное
натуральных чисел как меры величин и обосновывать выбор действия при решении
задач с различными величинами.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. При измерении различных величин получили: 6 см, 6 см2, 6 см3, 6 ч, 6 с. Какие величины
измеряли? Что показывает в каждом случае число 6 ?
2. Как изменится значение длины отрезка, если: а) единицу длины уменьшить в 5 раз; б)
единицу длины увеличить в 3 раза; в) единицу длины уменьшить в полтора раза?
3. Какой смысл имеет натуральное число 9, если оно получено в результате измерения:
4. а) длины отрезка; б) площади фигуры; в) массы тела; г) промежутка времени.
5. Обоснуйте выбор действия при решении каждой из следующих задач:
а) С первой грядки собрали 5 кг клубники, а со второй - 3 кг. Сколько килограммов
клубники собрали с двух грядок?
б) Сестре 4 года, а брат на 3 года старше. Сколько лет брату?
в) От мотка провода длиной в 22 м отрезали сначала 5 м провода, а затем еще 7 м. Сколько
метров провода осталось в мотке?
г) В первом ящике было 12 кг печенья, а во втором на 3 кг меньше. Сколько
килограммов печенья было во втором ящике?
д) Для столовой привезли 12 банок яблочного сока по 3 литра в каждой. Сколько литров сока
привезли в столовую?
е) Гречневую крупу фасуют в пакеты по 2 кг в каждый. Сколько пакетов потребуется, если
расфасуют 50 кг крупы?
ж) Масса шести банок сельди равна 18 кг. Какова масса одной банки?
Практическое занятие № 8
ТЕМА: Системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления.
Цель:
- овладеть знаниями о системах счисления, позиционных (история возникновения и
развития) и непозиционных (история); десятичной системой счисления - система которая в
настоящее время повсеместно используется.
- итогом изучения данной темы должно быть усвоение следующих понятий: система счисления;
позиционная и непозиционная системы счисления; десятичная система счисления, запись
чисел в позиционных системах счисления, отличных от десятичной.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Что представляет собой запись числа в системе счисления с основанием Р ?
2. Запишите число в виде суммы степеней основания с соответствующими
коэффициентами: а) 30245; б) 76108; в) 111012.
3. Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 347,8025,37952,1110,223.
4. Запишите в десятичной системе счисления числа: 128; 1448.
5. Запишите в двоичной системе числа: 27, 125, 306.
6. Какова запись чисел 158; 628; 223 в двоичной системе счисления?
7. Сколько цифр необходимо для записи чисел: а)
в двоичной системе счисления; б) в
восьмеричной системе счисления; в) в Р - ичной системе счисления.
8. При записи числа р37012а4, где а означает 10, а р – 14, использована наибольшая
из цифр системы счисления. По какой системе счисления записано это число?
9.
Запишите в римской нумерации следующие числа: 39, 97, 194, 173, 5069, 256, 781, 39056.
10. Запишите в десятичной системе счисления числа:
CLV, CXIV, XCVI, VVVDLXXI, VCDXXIX, VDCCCLXXIV.
11. Следующие числа запишите кратко в соответствующей системе счисления:
а) 7 • 93 + 6 • 92 + 5; б) 2 • З5 + З4 + 2 • З2 + 1; в) 2 • 124 + 9 • 123 + 8 • 12 + 6; г) 75 + 72 + 7;
д)184+182 + 3; е)4-54 + 53 + 3 - 5 + 2.
12. Запишите и прочитайте наименьшее и наибольшее пятизначные числа в системе
счисления с основанием р = 2, 5, 7, 12. 13. Для данного числа х назовите
предшествующее и непосредственно следующие за ним числа: а) х = 110 2 ; б) х =
23445 ; в) х = 186а 14 , где а =13.
Практическое занятие № 9
ТЕМА: Операции над числами в позиционных системах счисления.
Цель:
- овладеть операциями над многозначными числами в позиционных системах
счисления.
- итогом изучения данной должно быть усвоение следующих понятий: сложение,
вычитание, умножение, деление многозначных чисел в позиционных системах
счисления; выполнение действий над многозначными числами с опорой на
таблицы сложения и умножения однозначных чисел.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.
Составьте таблицы сложения и умножения однозначных чисел в
двоичной, троичной, пятеричной системах счисления.
2.
Проверьте,
правильно ли выполнены действия в троичной системе
счисления: 12023 + 213 = 20003
Вместо звездочек поставьте пропущенные цифры: 21 * 023
5*578 *1235
3.
а) +*1212 3
б) +*3258
в) +422*5
*2*0213
*16*48
*34*15
4. Выполните вычитание: а) 47258 - 6478 , б)11000111012 -10011001112, в)210211 3 -12021з,
Практическое занятие
ТЕМА: Делимость целых неотрицательных чисел.
1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем
числа 70.
2. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 - делитель числа 672.
Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.
3. Запишите множество делителей числа.
а) 24; б) 13; в) 1.
4. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} задано отношение «иметь одно
и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?
5. Постройте умозаключение, доказывающее, что:
а) число 19 является простым;
б) число 22 является составным.
6. Докажите или опровергните следующие утверждения:
а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое
делится на это число.
б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не
делится на это число.
в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на
это число.
г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на
это число, то и сумма не делится на это число.
7. Верно ли, что:
а) a m и b n => ab mn ;
б) a n и b n => аb n ;
в) ab n => a n или b n .
Практическое занятие
ТЕМА: Признаки делимости.
1. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 4;
в) делятся на 2 и не делятся на 4;
г) делятся и на 2 и на 4.
2. Верно ли утверждение:
а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно
делилось на 4?
б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4?
3. Из ряда чисел 72, 312, 522, 483, 1197 выпишите те, которые:
а) делятся на 3;
б) делятся на 9;
в) делятся на 3 и не делятся на 9;
г) делятся и на 3 и на 9.
Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. Докажите его.
4. Докажите признаки делимости на 5 и на 3.
5. Сформулируйте признак делимости на 25 и докажите его.
6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:
а) 284 + 1440 + 113;
в) 284 + 1441 + 113;
б) 284 + 1440 + 792224;
г) 284 + 1441 + 113 + 164.
7. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.
а) 360 – 144; б) 946 – 540; в) 30240 – 97.
8. Верно ли, что для делимости числа х на 8 в десятичной системе счисления
необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось трехзначное число, образованное
последними тремя цифрами десятичной записи числа х?
Практическое занятие
ТЕМА: НОК И НОД.
1. Найти нод и нок данных чисел, представив их в каноническом виде:
а) 948 и 624, б) 120, 540, 418.
2. Используя алгоритм Евклида, найти нод чисел.
а) 846 и 246,
б) 585 и 1960,
в) 15283 и 10013.
3. Верно ли, что: а) D (448, 656) = 16, К (578, 8670) = 8670.
4. Докажите, что числа 432 и 385 взаимно простые.
5. Найти нод всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр 1, 2. 3, 4, 5
(цифры в записи чисел не повторяются).
6. Даны числа 36 и 45.
а) Найдите все общие делители этих чисел. б) Можно ли назвать все их общие кратные?
в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.
г) Чему равны D(36, 45) и К(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?
7. Верны ли записи:
а) D(32, 8) = 8 и К(32, 8) = 32;
б) D(17, 35) = 1 и К(17,35) = 595;
в) D(255, 306) = 17 и К(255, 306) = 78030.
8. Найдите К(а, b ), если известно, что: а) а = 47, b = 105 и D(47, 105)= 1;
б) а = 315, Ь = 385 и D(315, 385) = 35.
9. Сформулируйте признаки делимости на 12, 15, 18, 36, 45, 75.
10. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся
на 12.
11. Делятся ли на 18 числа 1548 и 942?
12. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное
число делилось на 15.
13. Найдите цифры а и b числа 72а 3b , если известно, что это число делится на 45.
14. Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих
произведений делятся на 30:
а) 105  20;
б) 47·12·5; в) 85·33·7.
15. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений
делятся на 36.
а)72 + 180 + 252;
в) 180 + 252 + 100;
б) 612 - 432;
г) 180 + 250 + 200.
16. Докажите, что при любом натуральном п истинны утверждения:
а) п(п+ l)(п+2) 6;
б) п(п + l)(п + 2)(п + 3)
12.
Практическое занятие
ТЕМА: Расширение понятия числа.
17
23
7
72
1. Как установить, равны ли дроби: а)
и
; б) и
?
19 27
8 108
2. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
1
1
7
5
15
23
а) и
;
б)
и
;
в)
и
.
3 102
16 844
171 270
3. Найдите несократимую дробь, равную следующей:
108
402
780
455
 6451
4
385
 3382
5
а)
,
б)
,
в)
;
г)
; д)
.
144
455
2730
707
2
194
2
Дома: Задачник. стр. 153, № 2, 3, 4.
Практическое занятие
ТЕМА: Арифметические действия с положительными рациональными числами.
12
1. Рациональное число представлено дробью
. Может ли оно быть представлено
26
84
42
дробью
? А дробью
?
182
78
234
387
425
2. Какие из следующих дробей несократимые: а)
, б)
, в)
?
357
504
537
3. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых
дробей; выполненные преобразования обоснуйте.
31  3 39
1 2 3
7 2 11
 1 5 3
  , г)    .
  ,
а)   ,
б)
в)
80 16 80
7 21 7
10 15 30
16 7 16
4. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых
дробей; выполненные преобразования обоснуйте.
9 7 5
17 8 26
7 3 8
  , б)
  ,
а)
в)    .
10 8 6
13 9 51
8 4 13
5. Сравните числа:
7
11
8
8
9
7
13
17
а)
и
, б) и
, в)
и
, г)
и
.
15 15
9 11
40 30
24
36
1 1
6. Найдите три дроби, которые заключены между дробями и .
5 3
7. Найдите значения следующих выражений:
73 11 1
3  9 3 8
2
26 1
97
  ,
   ,
а)
б)
в) :   .
15 15 5
5 10 5 9
31
1 2
13
8
8. Решите задачи арифметическим способом.
1
а) Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили
2
1
1
прямоугольника, потом , затем . Весь ли прямоугольник закрасили?
4
8
1
1
б) Мальчик отпил чашки кофе и долил молока, затем отпил чашки и опять долил
6
3
1
молока, потом отпил еще
чашки и снова долил молока. Наконец, он допил кофе с
2
молоком. Чего больше выпил мальчик – кофе или молока?
в) Двум машинисткам было поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка
3
5
перепечатала
всей рукописи, а вторая –
всей рукописи. Сколько страниц в
7
14
рукописи, если первая машинистка перепечатала на 7 страниц больше, чем вторая?
1
г) В первом вагоне в 1 раза больше груза, чем во втором. Если из первого вагона
2
4
1
выгрузить 5 т, а во второй добавить 14 т, то груза в вагонах будет поровну. Сколько
5
5
тонн груза в каждом вагоне?
2
145
17
9. Какие из данных чисел являются дробными: а) ;
б)
;
в)
;
7
27
1
34
г)
?
2
10. Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получилось – больше или
меньше числа 2? А если умножить на неправильную дробь?
11. Может при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число меньше 1;
больше 1?
12. Решить задачу арифметическим способом.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли одновременно
3
навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час на
км больше другого.
4
С какой скоростью шел каждый, если через 2 часа после выхода расстояние между ними
1
стало 7 км?
2
Практическое занятие
ТЕМА: Действительные числа.
1
1. Сравнить числа: 10 и 3 . Представим данные числа в виде десятичных
3
1
, 333... Сравним полученные десятичные
0
3
,1
6
2
2
7
7
..., 3 33
дробей: 1
3
1
дроби: 3  10 .
3
2
23
, 4125... Возьмем десятичные
2. Найти три первых десятичных знака суммы
11
приближения слагаемых с четырьмя десятичными знаками:
2
0
,1
8
1
8
 
0
,1
8
1
9
,
1
1
2
,
3
4
1
2

2
,
3
4
1
2
5
.
.
.
2
,
3
4
1
3
.
2
2
,
5
2
3
0

2
,
3
4
1
2
52
.
.
.

,
5
2
3
2
.
1
1
2

2
,3
4
1
2
5
.
.
.
2
,5
2
3
.
.
..
Значит,
1
1
2
23
, 4125... Возьмем
3. Найти два первых десятичных знака произведения
11
десятичные приближения множителей с тремя десятичными знаками:
2
0
,1
8
1
 
0
,1
8
2
,
1
1
2
,
3
4
1

2
,
3
4
1
2
5
.
.
.
2
,
3
4
2
.
2
0
,
4
2
3
7
2
1


2
,
3
4
1
2
50
.
.
.

,
4
2
6
2
4
4
.
1
1
2
0
,
4
2
3

2
,
3
4
1
2
5
.
.
.

0
,
4
2
6
.
1
1
Значит,
2
2
,3
4
1
2
5
...
0
,4
2
....
1
1
Рекомендуемая литература:
Основная:
1. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика: в 2 кн.: учеб. пособие для студ. высш.
пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.
2. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика. Упражнения и задачи: учеб. пособие для
студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.
3. Архипов В.М., Касатонов А.М. Математика. – Минск: Высшая школа, 1976.
4. Бобков Л.Ю. Математика. Учебное пособие для учит. нач. кл. и студентов МГПИ. –
Мурманск, 1999. ч. II.
5. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М., Рождественская В.Б., Стойлова Л.П. Математика.
Учебное пособие для студентов нач. кл. / - М: Просвещение, 1977.
6. Стабильные учебники по математике для начальных классов.
7. Стойлова Л.П. и др. Целые неотрицательные числа. – М., Просвещение, 1986.
8. Стойлова Л.П. Математика. Учебник для студентов высших пед. уч. заведений. –
М.: Академия, 2000.
9. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Теоретические основы начального курса
математики. Учебное пособие для учащихся педучилищ. – М: Просвещение, 1988.
10. Стойлова Л.П.. Виленкин Н..Я., Лаврова Н.Н. Математика. Учебное пособие для
студентов ф-та нач. кл. – М: Просвещение, 1990.
11. Столяр А.А. и др. Математика. – Минск: Высшая школа, 1976.
Дополнительная литература:
1. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М., 1971.
2. Гусев В.А., Иванов А. И., Шабалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и
физики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
3. Гусев В.А., Иванов А.И., Шебалин О.Д. Изучение величин. – М.: Просвещение,
1981.
4. Депман И.Я. История арифметики. – М.: Учпедгиз, 1959.
5. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить. – М.: Просвещение, 1986.
6. Игнатьев В.А., Игнатьев Н.И., Шор Я.А. Сборник задач и упражнений по
математике для педучилищ. – М.: Просвещение, 1966.
7. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1979.
8. Лихтарников Л.М. Первое знакомство с логикой. – СПб: Лань, 1997.
9. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. - Мурманск: МГПИ, 1997.
10. Математика. / Под ред. А.А.Столяра. – Минск: Высшая школа, 1976. – ч. 2.
11. Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Л. Пособие по математике для
студентов факультетов начальных классов. – М.-Воронеж: МОДЕК, 1998.
12. Нешков К.И., Пышкало А.М., Рудницкая В.Н. Множества, отношения, числа,
величины. – М.: Просвещение, 1978.
13. Пышкало А.М., Стойлова Л.П. и др. Теоретические основы начального курса
математики. – М.: Просвещение, 1974.
14. Пышкало А.М., Стойлова Л.П. Основы начального курса математики. – М.:
Просвещение,1988.
15. Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Нечаев В.А. Арифметика рациональных чисел. – М.:
Просвещение, 1971.
16. Статьи из журналов «Начальная школа», «Математика в школе».
17. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика. – М.: Просвещение.
1990.
18. Столяр А.А. Логическое введение в математику. – Минск, 1971.
19. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. – Минск: Высшая школа, 1975. – ч.1.
20. Фомин С.В. Системы счисления. – М.: Наука, 1987.
21. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение,
1989.
Задачники:
1. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник- практикум по математике. Учебное
пособие для студентов-заочников факультета нач. классов. – М.: Просвещение, 1985.
2. Лаврова Н.Н., Виленкин Н.Я., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике.
Учебное пособие для студентов-заочников факультета нач. классов. – М.:
Просвещение, 1977.
Примерный перечень вопросов к зачету
1. Высказывания. Отрицание и конъюнкция высказываний, примеры.
2. Высказывания. Дизъюнкция, импликация и эквиваленция высказываний,
примеры.
3. Предикаты, область определения и область истинности предиката, примеры.
Логические операции над предикатами.
4. Отношение следования и равносильности между предикатами. Необходимые и
достаточные условия.
5. Строение теоремы, виды теорем, примеры.
6. Аксиоматическое построение теории, свойства системы аксиом. Система
аксиом для построения множества натуральных чисел.
7. Сложение в множестве натуральных чисел, свойства сложения.
8. Умножение в множестве натуральных чисел, его свойства.
9. Вычитание и деление в множестве натуральных чисел.
10. Метод математической индукции, примеры его применения.
11. Теорема о делении с остатком.
12. Теоретико-множественный подход к построению системы натуральных
чисел.
13. Количественный и порядковый смысл натурального числа.
14. Теоретико-множественный смысл суммы и разности натуральных чисел.
15. Теоретико-множественный смысл произведения и числового натуральных чисел.
16. Натуральное число как результат изменения величины.
17. Системы счисления. Десятичная система счисления.
18. Алгоритм сложения натуральных чисел в десятичной системе счисления.
19. Алгоритм умножения натуральных чисел в десятичной системе счисления.
Алгоритм вычитания и деления натуральных чисел в десятичной системе
счисления.
20. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Действия в них,
примеры.
Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из
составляющих частей итоговой государственной аттестации).
Математические понятия, их объем и содержание
1 Сформулировать определение биссектрисы угла. Указать в нем родовое понятие и
видовое отличие. Выявить логическую структуру видового отличия.
Решение. Определение биссектрисы угла: «Биссектрисой угла называется луч,
выходящий из вершины угла и делящий его пополам». Родовое понятие в этом
определении – «луч», а видовое отличие – свойство: «выходить из вершины угла и делить
его пополам». Видовое отличие представляет собой конъюнкцию двух свойств: «выходить
из вершины угла» и «делить угол пополам».
2 Выяснить, является ли понятие с: «многоугольник» обобщение понятия d:
«треугольник».
Решение. Выясним, является ли D собственным подмножеством множества С. По
определению D  C , если каждый элемент множества D является элементом множества
С. Так как высказывание «Всякий треугольник есть многоугольник» истинно, то D  C . В
то же время множество многоугольников не равно множеству треугольников, т.е. D  C .
Высказывания и предикаты, операции над ними. Конъюнкция и дизъюнкция
1. Выяснить, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие –
предикатами:
а) 567 456,
б) 3x 2  4,
в) Какая сегодня температура в Мурманске?
г) число кратно 5.
Решение. а) Предложение 567 456является высказыванием, т.к. можно утверждать, что
оно ложно.
б) Предложение 3x 2  4 является предикатом, т.к. это предложение содержит
переменную х и при подстановке конкретных значений переменной обращается в
высказывание. Например, x  4 получаем высказывание 3 424.
в) Предложение «Какая сегодня температура в Мурманске?» не является
высказыванием. т.к. относительно вопросительных предложений бессмысленно ставить
вопрос об их истинности или ложности. Данное предложение не является и предикатом,
т.к. не содержит переменную.
г) Несмотря на то, что в предложении «Число кратно 5» переменная не содержится в
явном виде, это предложение является предикатом, т.к. оно становится высказыванием
при подстановке конкретных чисел.
2. Найти значение истинности высказываний: а) 9  3 и 9  3 , б) 13  5 .
Решение. а) Данное высказывание представляет собой конъюнкцию высказываний
« 9  3 » и « 9  3 ». Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то по
определению конъюнкции будет ложным и все высказывание.
б) Высказывание « 13  5 » является дизъюнкцией высказываний « 13  5 » и «13  5 ».
Так как и первое и второе высказывания ложны, то по определению ложна и вся
дизъюнкция.
Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
1. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик
справился с контрольной работой».
Решение. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при
помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слова «хотя
бы один». По правилу построения отрицания высказываний с кванторами надо квантор
общности заменить квантором существования, а квантор существования – квантором
общности и поставить перед глаголом частицу «не». Получаем: «Найдется такой класс, в
котором ни один из учеников не справился с контрольной работой».
2. Какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие –
предикатами: а) найдется такое х, что x  y  2 . б) для любых x и y имеет место
xyyx.
Решение. Выявим логическую структуру этих предложений.
а) Предложение «Найдется такое х, что x  y  2 » может быть записано в виде:

xy2. Так как квантором связана только переменная х, то рассматриваемое
x
R
предложение является одноместным предикатом.
б) Предложение «Для любых x и y имеет место xyyx» можно записать в




x

R

y

R
x

y

y

x
виде 
. Здесь обе переменные являются связанными, –
следовательно, это высказывание.
Теоремы и способы их доказательства
1. Доказать, что высказывание «Из того, что x  3 следует, что x  5 » истинно.
Решение. Для доказательства истинности данного высказывания достаточно показать, что
множество истинности предиката x  3 включается в множество истинности предиката
x  5 . Множествами истинности предикатов « x  3 » и « x  5 » являются соответственно


, то этим требуемое

;3
;5
числовые промежутки  ; 3 и  ; 5 . Но так как 
утверждение доказано.
2. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то четырехугольник – параллелограмм». Сформулировать теоремы,
являющиеся обратной и противоположной данной.
Решение. Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «В
четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение:
«Четырехугольник – параллелограмм». Меняя местами условие и заключение, получим
теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то в нем две
противоположные стороны равны и параллельны». Заменяя условие и заключение
исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в
четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то
четырехугольник не параллелограмм».
Умозаключения и их виды. Дедуктивные умозаключения, их схемы.
1. Проверить, правильны ли следующие умозаключения:
а) Если четырехугольник – ромб, та его диагонали взаимно перпендикулярны. ABCD –
ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.
б) Если число делится на 4, та оно делится на 2. Числа 22 делится на 2. Следовательно,
число 22 делится на 4.
Решение. а) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его
логическую форму, для чего введем следующие обозначения. Пусть С(х):
«четырехугольник х – ромб», а D(х): «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде: С (х) => D (х), вторую – С(а), а
заключение – D(а). Таким образом, форма данного умозаключения такова:



C
x
D
x,C
a
. Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное

D
a
умозаключение правильное.
б) В этом случае легко заметить, что обе посылки в умозаключении истинны, а
заключение ложно. А это означает, что умозаключение неправильное.
Аксиоматическая теория построения множества натуральных чисел
1. Числа a и b при делении на 8 дают соответственно остатки 3 и 5. Какой остаток
получится, если разделить на 8 произведение ab ?
Решение. Число a при делении на 8 дает в остатке 3 и поэтому имеет вид: a  8q 3,
q   0 . Аналогично: b 8p 5, p   0 . Рассмотрим произведение этих чисел:






a

b

8
q

3

8
p

5

64
pq

40
q

24
p

15

8
8
pq

5
q

3
p

1

7

8
t

7
.
a
b
Таким образом, установлено, что произведение данных чисел и при делении на
8 дает в остатке 7.
2. Доказать, что для любого натурального числа истинно равенство
2



1

4

2

7

3

10

...

n
3
n

1

n
n

1
.
Решение. При n  1 данное утверждение истинно: в левой части равенства имеем:
1  4  4 , в правой: 111 4.
2
Докажем теперь, что если данное утверждение истинно при n  k , т.е.
2



1

4

2

7

3

10

...

k
3
k

1

k
k

1
, то оно истинно и при n  k  1, т.е.









1

4

2

7

3

10

...

k
3
k

1

k

1
3
k

4

k

1
k

2
.






1

4

2

7

3

10

...

k
3
k

1

k

1
3
k

4
В выражении
сумма первых k
2
слагаемых по предположению равна k k  1 , что дает возможность привести данное
2





. Дальнейшие преобразования полученного
k

1

k

1
3
k

4
выражение к виду: k
выражения приводят к следующему:
2
2
2




















k
k

1

k

1
3
k

4

k

1
k
k

1

3
k

4

k

1

k

4
k

4

k

1
k

2
.
2
 










4

2

7

3

10

...

k
3
k

1

k

1
3
k

4

k

1
k

2
Таким образом, 1
, что и
требовалось доказать. На основании доказанного заключаем, что данное утверждение
истинно для любого натурального числа n .
2